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Ciencia

I. ESTUDIO GENERAL. Función que asigna un número real a cada cuerpo sólido limitado por una superficie cerrada. Constituye, junto con el área (v.), el punto de partida para una elaboración más general, tal como se hace modernamente, de la llamada Teoría de la medida (V. INTEGRACIÓN).

La primera noción de v. debe referirse al caso de tratarse de un poliedro, esto es, al sólido limitado por una superficie poliédrica o formada por caras poligonales. En principio parece que se podría seguir con estos cuerpos la misma técnica que cuando se definía el área de los polígonos planos; hacemos, pues, expresa referencia al artículo ÁREA, aun cuando no se especifique en cada momento de un modo explícito.

Así como el triángulo era la figura básica adoptada en el problema del área de los polígonos, de tal modo que cada polígono podía descomponerse en triángulos, en el caso del v. de un poliedro la figura básica que aparece de modo natural es el tetraedro; de forma análoga, todo poliedro puede descomponerse en tetraedros tales, que dos cualesquiera de ellos no tengan puntos interiores comunes, y se dirá que el poliedro dado es suma de los tetraedros o que éstos constituyen una descomposición del poliedro.

Pues bien, dos poliedros son equivalentes por descomposición cuando existen descomposiciones en tetraedros de uno y otro tales que cada tetraedro de una de las descomposiciones es igual a un tetraedro de la descomposición del otro poliedro. Junto a ésta se define también, como en el caso del área, la equivalencia por complemento, diciendo que dos poliedros son equivalentes en este sentido cuando pueden representarse como diferencia de dos poliedros equivalentes por descomposición. Admitido el postulado de Arquímedes, ambos conceptos de equivalencia coinciden; la denominaríamos simplemente, en ese caso, equivalencia finita.

Esto, que parece proporcionar un método para una fundamentación rigurosa del concepto de v. paralela a la que nos permitió definir el área, cae en defecto desde el comienzo debido a un hecho casi inesperado. En efecto, así como en los polígonos se verificaba que dos triángulos que tuvieran la misma base e iguales alturas eran equivalentes, propiedad que era esencial para el desarrollo de la teoría, aquí ocurre que dos tetraedros con la misma base e iguales alturas pueden no ser equivalentes por descomposición ni por complemento. Esto lo demostró M. Dehn en dos artículos aparecidos en 1900 y 1902, con lo que resolvió el problema que había propuesto Hilbert, el cual ya había expresado la sospecha de la imposibilidad de que la teoría del v. y la del área tuvieran un fundamento análogo.

Se impone, pues, establecer una nueva definición de equivalencia, distinta de la equivalencia finita. Puede ser la equivalencia por paso al límite de algunos autores, o bien la equivalencia en el sentido de Cavalieri adoptada por W. Süss. Dos tetraedros se dirán equivalentes, en el sentido de Cavalieri, si sus bases son equivalentes por complemento (v. ÁREA) y sus alturas iguales. Dos poliedros serán equivalentes por descomposición, en el mismo sentido de Cavalieri, si admiten cada uno de ellos una descomposición en tetraedros de modo que los tetraedros de una descomposición sean equivalentes, en el sentido de Cavalieri, con los correspondientes tetraedros de la otra. Y serán equivalentes por complemento, en el sentido de Cavalieri, si se pueden expresar como diferencia de poliedros equivalentes por descomposición en dicho sentido de Cavalieri. Esta equivalencia de Cavalieri contiene evidentemente a la equivalencia finita y, como en ésta, admitido el postulado de Arquímedes, coinciden la equivalencia por descomposición y por complemento.

Establecida ya esta nueva noción de equivalencia, el proceso resulta paralelo al que indicábamos en el área. Para un tetraedro cualquiera se demuestra con facilidad, con la técnica derivada de la semejanza de triángulos, que el producto del área de una cara por la altura correspondiente a ella es un valor intrínseco que no depende de la cara elegida. A ese valor, multiplicado por un número k, arbitrario pero fijo, se le llama v. del tetraedro. Y se llamará v. de un poliedro a la suma de los v. de todos los tetraedros obtenidos en una descomposición cualquiera de dicho poliedro. Para que tenga sentido esta definición, se demuestra que tal suma no depende de la descomposición en tetraedros efectuada.

Ahora se puede comprobar que dos poliedros equivalentes, por descomposición o por complemento, en el sentido de Cavalieri, tienen el mismo v. y que, recíprocamente, dos poliedros que tienen el mismo v. son equivalentes. Con esto queda ya cerrado el ciclo que nos habíamos propuesto. Sólo falta asignar un valor a k, lo que equivale a elegir un poliedro cuyo v. consideremos como unidad; habitualmente se toma como tal el cubo de lado unidad, y esto supone, como es fácil ver, adoptar para k el valor 1/3.

Estudio analítico. En la exposición que hemos hecho se ha podido ver que el concepto de v., aun manteniéndonos en un nivel propio de la Geometría elemental, no ha sido esclarecido hasta principios de este siglo. Formalmente, en cambia, el cálculo del v. de las figuras más importantes estaba resuelto. La asunción de la Geometría elemental o euclídea por parte de la Geometría analítica (v. GEOMETRÍA), permitió expresar en coordenadas, mediante una formulación analítica adecuada, el v. de los poliedros fundamentales. Tal expresión sería en este momento irrelevante, si no hubiera dado lugar a generalizaciones importantes del concepto de volumen.

Supuesto el paralelepípedo ABCDA’B’C’D’ de la figura y considerando las tres aristas que tienen un vértice común, al A por ejemplo, se toman los vectores definidos por ellas, con origen en A: AB, AD y AA?. Pues bien, el producto mixto de esos tres vectores, o sea, el producto escalar del primero por el vector producto vectorial (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII) de los otros dos, es igual, salvo un factor constante, al v. del paralelepípedo. Tal factor constante depende de la base del espacio vectorial (v.) y será la unidad si tal base está formada por tres vectores de módulo uno y perpendiculares dos a dos. Es inmediato que el volumen del tetraedro ABDA’, tres de cuyas aristas son las que se habían elegido en el paralelepípedo, es la sexta parte de éste.

Una primera observación a hacer es que el producto mixto puede ser negativo; esto no significa sino que el orden en que se han tomado los vectores AB, AD y AA define en el espacio una orientación distinta de la definida por los tres vectores de la base. El v. obtenido expresa, entonces, no sólo el aspecto cuantitativo, dado por el valor absoluto del producto mixto, sino también un aspecto cualitativo, el de la orientación que el orden en que se dan las aristas produce en el espacio.

Además, teniendo en cuenta que el producto mixto de tres vectores se obtiene mediante un determinante de tercer orden, cuyas filas están formadas por las coordenadas de cada uno de esos vectores, se consigue inmediatamente una generalización del concepto de v. a espacios de cualquier número de dimensiones, n: la figura correspondiente al paralelepípedo estaría definida por n vectores linealmente independientes con un origen común, y su v. vendría dado por el determinante de orden n cuyas filas se compongan de las coordenadas de esos vectores; en el caso del plano, sería esa figura un paralelogramo y su v. sería el área, que queda así englobada en una misma teoría del volumen.

Ahora bien, un determinante, cada una de cuyas filas puede considerarse formada por las coordenadas de un vector, respecto de una cierta base B del espacio vectorial, se obtiene como resultado de aplicar a dichos vectores el tensor formado por el producto exterior de los vectores de la base dual de B. Esta proporciona el medio de definir el v. para cuerpos no poliédricos, sino limitados por superficies curvas. Basta tener en cuenta que, localmente, puede sustituirse el entorno de un punto por el entorno del mismo en el espacio tangente (v. GEOMETRÍA VI), lo que permite definir el elemento de v., o v. de un paralepípedo infinitesimal. Pero en el espacio tangente la base dual es dx, dy, dz, de modo que el tensor de volumen sería, eventualmente multiplicado por un factor: dx ? dy ? dz. Y lo mismo para otro número de dimensiones. El paso a v. de un cuerpo se resolvería ya por un problema de integración ’(v.).

V. t.: ÁREA.

J. J. ETAYO MIQUEO.

BIBL.: D. HILEERT, Fundamentos de la Geometría, Madrid 1953; S. CAmARA, Elementos de geometría analítica, Madrid 1945; H. R. PITT, Integration, Measure and Probabílity, Londres 1963.