Volumen FÍS.

Categoria:

Física

II. MÉTODOS DE CÁLCULO. El v. es una magnitud asignada a un cuerpo que determina, de alguna forma, su espacialidad (v. I). Uno de los problemas que surgen al estudiar el v. de un cuerpo es su determinación concreta, es decir, adaptada a la singularidad de su figura. Problema cuya solución elemental es la que se tratará primeramente.

1. Cálculo del volumen de cuerpos. sencillos. 1°) Principio de Cavalieri. A Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo, se debe el método que permite calcular el v. de un cuerpo cortado en "curvas" cerradas simples por un sistema de planos paralelos. Su trascripción a un lenguaje matemático más o menos moderno es el siguiente: se supone, p. ej., que el cuerpo (sólido) está limitado por dos planos paralelos perpendiculares al eje x en x=a y x=b. A continuación se descompone el cuerpo (idealmente) en zonas de espesor Ax mediante planos perpendiculares al eje x; el v. total V de dicho cuerpo será la suma de los v. de estas zonas (fig. 1). Sea eV el v. del cuerpo comprendido entre los planos x y x+Ox. Si A’ y A" son las áreas respectivas de las secciones mínima y máxima del cuerpo entre x y x+Ax, se tiene que

A’Ax,<OV,<x+?x.

Por tanto, V=?A(xi) ?x

será el v. total del cuerpo. Si se hace ahora ex tender a cero y ? (x;) es una función continua de.

xi (a = xi = b),

todas las sumas tendrán el mismo límite y puesto que una sucesión particular de estas sumas tiene a V como límite, se deduce que las otras sumas darán también el valor V. Si se tiene en cuenta la definición de integral definida (v. INTEGRACIÓN) todo esto se puede poner de la siguiente forma:

V= amo J A(x)O.= f A(x) dx

2°) Volumen de un cuerpo en revolución. Sea y=f(x) (a<x<,b)

un arco de curva unívoca e integrable, que se hace girar alrededor del eje x; el cuerpo de revolución resultante (fig. 2) tendrá en el punto x una sección de área

A(x)=,ry2=7rf(x)2,

y, por tanto, su v., teniendo en cuenta [1], será b Vx=arJ f(x)2dx x=a Si además x=g(y) es también unívoca, se tendrá que el v. del cuerpo de revolución generado por g(y) al girar en torno al eje y es Ya La Vy=vr £g(y)2dy=IrJ _ x2f(x)dx Y=Ya x-a Con ya=f(a)

y=f(x), que se hace girar alrededor del eje y (fig. 3). El v. generado se puede obtener de la siguiente forma, 1°) Setoma el trozo de área comprendida entre x y x+Ox, que al girar alrededor del eje y, genera un sólido de radio interior x y exterior x+áx volumen AV. Siendo la base del mismo una corona circular de radio interior rl=x y exterior r2=x+Ax. El área de la corona vale r2+rl DA=ar(r2-ri)=2ar) 2(r2-r1)=2aráx, en donde r2+rl Ox 2 2 - es el radio medio de la corona y 27rr es la longitud de la circunferencia asociada. 2°) En un anillo cilíndrico de altura constante y, con base la corona circular, se tiene que el v. es AV=altura X base =yáA, donde la altura del anillo toma los valores comprendidos entre y y y+Dy, luego YAA,< áV, (y +áy)27rrAx.

El v. total V se halla comprendido entre la suma inferior b ( Oxs= LJ~ yzqr+ x-- 2 ) 0x a y la suma superior S= I (y+dy)2Tr (x-1- 2 ) áx. a

Cuando Ax tiende a cero, ambas sumas tienden a la si. guiente integral como límite. Luego el límite común será igual al volumen V; es decir, V= lím s= lím S= f

y-2írxdx= f 27rxf(x)dx.

acero x->o

2. Volumen de un conjunto compacto. Una generalización más abstracta del cálculo de v. sencillos se va a exponer para la determinación del v. de cuerpos no regulares, asociables desde el punto de vista matemático a conjuntos compactos del espacio euclídeo tridimensional (v. GEOMETRÍA vi). Para ello es necesario primero enunciar el problema en términos generales de integrapión de funciones medibles en conjuntos compactos del espacio euclídeo n-dimensional R".

Sea

1,<s<n.

Entonces R" puede ser considerado como el producto cartesiano

Rs x Rn-s.

Se denotará

x=(X , k’)

donde

x’=(x1, ..., xs) E Rs,’

es decir, es un punto del espacio euclídeo s-dimensional Yy

x"=(xs+1. xn) E Rn_s

es decir, un punto del espacio euclídeo (n-s)-dimensional. Sea A un conjunto acotado (fig. 4) y

A(x’)=x" I (x’, x") E A, L=x’JA(x’) no es vacío.

Sea f una función cuyo dominio contiene A. Para cada x’EL fija sea

quien designe a la función cuyo valor en cada x" E A(x’)

es f(x , X’).

Si ahora A es compacto (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS IV) y f es continua en A. Entonces A(x’) y L son compactos y f(x’, ...) es continua.

Sea

g(x )= Jf(x , x’) dg,z-s(x"), A(z~)

donde gn_s(x") es la medida (V. INTEGRACIÓN) definida sobre el conjunto A(x’), Entonces la integral de f sobre A es igual a la integral de g sobre L. De forma más precisa: Sea f una función continua en un conjunto compacto A. Entonces

A f f(x) J¡ ..(x)= f g(X) dlzS(x< L

Como corolario de este teorema se tiene que el volumen de A o, lo que es equivalente, la medida w,= de A es b£n(A)= L l¿n-s[A(x )] dl as(x ).

Para n=3 y s=1 la ecuación [2] se convierte en V(A)=1¿3(A)=w2[A(u)] dizi[3l

donde se ha hecho

x’=xl=u,

siendo

t¿2[A(u)]

el área del conjunto A(u) (intersección del conjunto tridimensional A y el plano xl=u). La ecuación [3] es entonces una generalización de la ecuación [1], que daba el método de cálculo para v. sencillos. Para esclarecer la aplicación a la ecuación [3] se tiene el siguiente ejemplo: Sea

s=n-1.

Se supone A tiene la forma particular A=x I h(x) <xn