Vectorialess, Métodos. II. Cálculo Vectorial.

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Matemáticas

1. Introducción. El cálculo vectorial es actualmente una parte esencial de la preparación matemática indispensable que ha de poseer tanto el científico como é1 técnico. Se van a exponer brevemente los métodos del mismo, así como su alcance en la resolución de determinados problemas.

Los orígenes de esta importante rama de la Matemática se remontan a los intentos de buscar representaciones geométricas para las magnitudes algebraicas imaginarias. Así, p. ej., pueden verse tanteos en este sentido, a partir del s. XVII, en autores como John Wallis, el cual en su Álgebra (1673) introduce el eje imaginario, concepto en el que más adelante vuelve a insistir Caspar Wessel, que en su Representación analítica de la dirección (1799) utiliza v-1 como unidad del referido eje imaginario. En 1853, sir William Rowan Hamilton emplea la nomenclatura de cuaterniones en la representación de ciertas magnitudes, y un contemporáneo suyo, el matemático Hermann Grassmann, publica su obra sobre análisis espacial Teoría de la extensión, nueva disciplina matemática, en donde se desarrollan, desde un punto de vista filosófico, las bases de una Geometría no métrica aplicable a un espacio n-dimensional, que comprende muchos puntos de lo que posteriormente será el álgebra vectorial y tensorial (o. c. en bibl.). Basándose en las ideas fundamentales de Grassmann y Hamilton, J. Willard Gibbs crea las bases de lo que hay conocemos como álgebra y análisis vectoriales. Sus trabajos, que inicialmente circulaban como comunicaciones privadas y que provocaron no pocas controversias, han sido recogidos por Edwin B. Wilson en un libra de inestimable valor en la divulgación de esta importante rama de la Matemática. Posteriormente, teóricos como Einstein, Kron, Riemann, Lipschitz, Levi-Civita, etc., han generalizado los métodos propios del cálculo vectorial creando una nueva disciplina, mucho más potente, conocida como Cálculo tensorial.

2. Funciones vectoriales. Hasta ahora se han considerado, dentro del álgebra vectorial (v. I), operaciones puramente algebraicas sin hacer ninguna hipótesis sobre la naturaleza de los vectores que intervenían en ellas. Sin embargo, existen muchos problemas físicos en los cuales los vectores que intervienen están sometidos a una determinada ley de variación espacial, temporal o de ambos tipos a la vez. Así, p. ej., el vector que representa al campo eléctrico puede variar con la posición espacial, y la velocidad de una partícula puede hacer lo propio con el tiempo. Todo esto lleva a la necesidad del concepto de función vectorial y a generalizar las operaciones propias de la teoría de funciones (v. FUNCIONES I), tale como derivación e integración, y a la definición de nuevas e importantes operaciones, como se tendrá ocasión de comprobar. Los principales tipos de funciones que se van a considerar son:

Función escalar de una variable vectorial o de punto, que es la función de naturaleza escalar, con un valor definido para cada punto del espacio de existencia d la misma. En este caso se dice que tenemos un campo escalar. Ejemplos de esta clase de funciones son el potencial eléctrico (V. ELECTROSTÁTICA), el potencial gravitatorio (V. GRAVITACIÓN UNIVERSAL), etc,

Función vectorial de una variable escalar, o función de naturaleza vectorial, que varía al hacerlo una magnitud escalar, como, p. ej., el tiempo. Ejemplos típicos de esta clase de funciones los suministran el vector de posición de una partícula que se mueve a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de un móvil de movimiento no uniforme, etc.

Función vectorial de una variable vectorial, que asigna a cada punto del espacio en donde está definida una magnitud de naturaleza vectorial, como sucede, p. ej., con las velocidades de los distintos puntos de una masa fluida en movimiento.

3. Derivación e integración vectorial. La derivada de un vector

r=x(t)i+y(t)j +z(t)k,

respecto del escalar t se define como

dr/dt = lím(?t?0) ?r/?t =lím(?t?0) (r(t+?t)-r(t))/?t

resultando otro vector, cuyas componentes son las derivadas de las componentes del vector primitivo:

dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k.

De manera análoga se definen las derivadas de orden superior; así, p. ej.,

d2r/dt2 = (d2x/dt2)i + (d2y/dt2)j + (d2z/dt2)k.

La derivada de un vector respecto a un escalar tiene las siguientes propiedades:

a)d(u+v)/dt = du/dt + dv/dt

b) Si a es una constante escalard(?v)/dt = ?(dv/dt)

c) Si f (t) es una función escalar de t,d(fv)/dt = f(dv/dt) + (df/dt)v

d)d(u ? v)/dt = du/dt ? v + u ? dv/dt

e)d(u x v) = du/dt x v + u x dv/dt

Se define la integral de una magnitud vectorial con respecto a un escalar como el límite de una suma, definición equivalente al concepto inverso de diferenciación. Según esto, se dirá que V(t) es una integral indefinida de v(t), si se verifica quedV/dt = v(t)

escribiéndoseV(t) = ?vdt

Como puede observarse, tanto el concepto de derivación como el de integración (v.) son análogos a los correspondientes en teoría de funciones de variable real.

Las aplicaciones prácticas de estos conceptos son innumerables, tanto en Matemáticas como en Física, en la rama de Mecánica (v. CINEMÁTICA), cosa lógica puesto que ésta puede considerarse como un caso particular de la Geometría diferencial, en el que el parámetro es el tiempo. Las fórmulas de Frenet y los conceptos de velocidad y aceleración son ejemplos típicos.

4. Circulación y flujo. Se ha visto anteriormente el concepto de integral de un vector como operación inversa de la diferenciación. Ahora se expondrán brevemente dos nuevos conceptos de integración vectorial, asociado con una curva el primero, y con una superficie el segundo.

Recibe el nombre de circulación de un campo vectorial E, definido por sus componentes

X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z),

a lo largo de una curva C orientada en dicho campo, la expresión

?c E?dl= ?c Xdx + Ydy + Zdz

donde dl es un elemento de curva. Obsérvese que la integral es curvilínea, y para su total determinación es necesario conocer la curva a lo largo de la cual se desea calcular la circulación, así como los puntos inicial y final que definen el intervalo de integración. El ejemplo más característico de un fenómeno de este tipo es el trabajo mecánico realizado por una fuerza al ir de un punto a otro, el cual no es más que la circulación de la fuerza a través de la curva que une ambos puntos y que define la trayectoria seguida por la fuerza en su desplazamiento. Estas magnitudes, asociadas a un proceso de variación desde un estado inicial a otro final y que necesitan para su total definición el conocimiento de todos y cada uno de los estados intermedios por los que pasa el sistema, se denominan de transformación o de línea; en contraposición a las de estado, que son las que definen el estado de equilibrio de un sistema. El caso más típico en que aparecen estos dos tipos de magnitudes es en el primer principio de la Termodinámica (V. TERMODINÁMICA I); de las tres magnitudes que en él intervienen, dos (calor y trabajo mecánico) son de transformación, mientras que la tercera (energía interna) es de estado.

Se llama flujo de un campo vectorial E a través de una superficie a la integral extendida a toda la superficie?s E?dS

donde E es el vector que representa al, campo y dS es un vector asociado al elemento de superficie dS, de módulo dS, dirección normal al elemento de superficie y sentido el que sale hacia afuera de la superficie.

Teoremas de Stokes y Gauss. Los teoremas de Stokes y Gauss pertenecen al cálculo integral y expresan relaciones entre integrales curvilíneas o de línea, de superficie y de volumen.

El teorema de Stokes (v.) establece que dada una curva cerrada C, que es contorno de una superficie cualquiera S, en un campo vectorial

E=X(x, y, z)i+Y(x, y, z)j+Z(x, y, z)k

se verifica

§cXdx+Ydy+Zdz= §s [(?Z/?y) ? (?Y/?z)]dydz + [(?X/?z) ? (?Z/?x)]dzdx + [(?Y/?x) ? (?X/?y)]dxdy

expresión que transforma la integral curvilínea extendida a una curva cerrada del primer miembro, en una integral de superficie extendida a lo largo de un casquete esférico S, cuyo contorno es C.

El teorema de Gauss (v. ELECTROSTÁTICA), también llamado de Ostrogradski, dice que, considerado un campo vectorial E y un recinto tridimensional V del mismo, se verifica que

?v[(?X/?x) + (?Y/?y) + (?Z/?z)]dxdydz = §s(X cos a + Y cos ß + Z cos ?)dS

en donde cos a, cos ß, cos ? son los cosenos directores de la normal al elemento de superficie dS. Y la integral de superficie se extiende a la superficie que envuelve al volumen V.

5. Gradiente de un campo escalar. El concepto de gradiente se aplica a un campo escalar definido por la función escalar de punto U= U(x, y, z). Si esta función es derivable, sus tres derivadas parciales definen en cada punto al vector gradiente de U mediante la expresión

grad U = (?U/?x)i + (?U/?y)j + (?U/?z)k

que también suele representarse como ¥U, en donde ¥ representa al operador lineal nabla, conocido como de Hamilton, y definido por

¥=i(?/ ?x) + j(?/ ?y) + k(?/ ?z)

Los puntos x, y, z que cumplen con la condición U(x, y, z)=const.

definen una superficie llamada equipotencial o de nivel constante.

La interpretación geométrica del gradiente es la siguiente. Se supone un punto (x, y, z) del campo escalar y con origen en él consideremos un elemento de curva dl=dx i+dy j+.dz k.

Multiplicando escalarmente ¥U por dl, se obtiene

¥U . dl = (?U/?x)dx + (?U/?y)dy +(?U/?z)dz = dU

expresión que se identifica con la diferencial total de la función escalar U(x, y, z). De acuerdo con esto, si el vector dl se encontrase situado sobre una superficie equipotencial no habría variación en la función, o sea,dU=0,

lo cual implicaría la ortogonalidad entre los vectores ¥U y dl, puesto que ninguno de los dos son nulos. Por tanto, podemos resumir diciendo que el vector gradiente en cada punto es perpendincular a la superficie equipotencial que pasa por él.

Desarrollando el producto escalar en la expresión anterior, podemos escribir

dU=|¥U| ? |dl| ? cos ?

donde él ángulo 0 es el que forman V U y dl. Si dl fuese perpendicular a la superficie de equipotencial, entoncesdU=|¥U| ? |dl|y de aquí se obtiene|¥U| = dU/|dl|

expresión que indica que el módulo de ¥U es la variación que experimenta U por unidad de longitud, en dirección normal a la superficie equipotencial. Si dl tuviese otra dirección cualquiera, formando un ángulo 0 con el vector ¥U, se tendría:

dU=|¥U| ? |dl| ? cos ?

Estos resultados permiten definir un nuevo concepto, el de derivada direccional, como la proyección del vector gradiente sobre dicha dirección. De la expresión

dU=|¥U| |dl| ? cos ?

el máximo valor que puede tomar dU corresponde al caso en que cos ? =1, cumpliéndose entonces, según lo visto anteriormente, que¥U = dU/dl

lo que da una nueva interpretación del gradiente, como la derivada direccional máxima.

6. Divergencia y rotacional de un campo vectorial. Se supone definida una función vectorial de punto, es decir, un campo vectorial E por las componentes

X(x, y, z); Y(x, y, z); Z(x, y, z).

Desde el punto de vista matemático, la divergencia d un campo vectorial es el producto escalar del operador Y por el campo, representándose por:

div E = ¥?E = ?X/?x + ?Y/?y + ?Z/?z

resultando, evidentemente, una magnitud escalar.

El rotacional de un campo vectorial se define como el producto vectorial del operador ¥ por el campo:

rot E = ¥ x E = [(?Ez/?x) - (?Ex/?z)]i + [(?Ex/?z) - (?Ez/?x)]j + [(?Ey/?x) - (?Ey/?y)]k

resultando de la operación un nuevo vector.

De particular interés en la técnica son los campos que cumplen con la condición de que una de las dos magnitudes definidas se hace cero. Los campos tales que la divergencia en todos sus puntos se anula se denominan solenoidales y, como se verá más adelante, responden al hecho físico de que las líneas representativas del campo son cerradas. Un ejemplo es el magnético (v. MAGNETISMO I). Los campos cuyo rotacional es idénticamente nulo son los irrotacionales o conservativos; más adelante se demuestra que pueden derivarse de una función escalar, llamada potencial, a través de la operación gradiente; ejemplos más característicos son los campos eléctrico (V. ELECTROMAGNETISMO) y gravitatorio (V. GRAVITACIÓN UNIVERSAL).

Los teoremas de Stokes y Gauss pueden escribirse de manera ligeramente distinta a la expuesta anteriormente, teniendo en cuenta los términos circulación y flujo, lo cual nos va a llevar a darle una interpretación física a la divergencia y al rotacional. Así, p. ej., el teorema de Stokes puede enunciarse también en la forma siguiente

?s rot E ? dS = §c E ? dl

o sea, que el flujo del rotacional de un campo vectorial extendido a una superficie cualquiera S, limitada por una curva C, es igual a la circulación del campo a lo largo del contorno C de dicha superficie. De acuerdo con esto, es posible definir la componente según una dirección cualquiera n, del vector rotacional de E, en un punto P, como

(rot E)n = lím(s?0) 1/S §c E ? dl

donde C es una curva cerrada que rodea al punto P, situada en un plano que pasa por P y perpendicular a la dirección n, y S es el área limitada por C. Esta definición del rotacional adquiere un sentido físico concreto en los problemas de Hidrodinámica, en relación con las corrientes de torbellino que se producen en las masas fluidas en movimiento.

De la expresión?s rot E ? dS = §c S ? dl

se deduce que si el rotacional de un campo es idénticamente nulo, la circulación del campo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero. En este caso, se demuestra que el campo puede obtenerse como gradiente de una función escalar, llamada función potencial; así, el campo eléctrico y el gravitatorio se obtienen como gradientes de las funciones potencial eléctrico y potencial gravitatorio respectivamente.

De manera análoga, el teorema de Gauss puede escribirse como sigue:

?v div E ? dv = §c E ? dS

es decir, que la integral de la divergencia del campo extendida a un volumen finito V del espacio es igual al flujo total del campo a través de la superficie S que encierra a dicho volumen. De acuerdo con esto, la divergencia de un campo E, en un punto P, se puede definir también como

div E = lím(v?0) 1/V §c E ? dS

donde S representa una superficie cerrada que rodea al punto P, de volumen V, que tiende a cero con su máxima dimensión.

Para interpretar esta nueva definición, veamos primero el sentido físico del flujo. Los campos vectoriales suelen representarse gráficamente mediante líneas de fuerza (v. CAMPOS, TEORÍA DE LOS), que indican la dirección y el sentido del campo en cada punto. Para completar esta información cualitativa y tener una idea cuantitativa sobre los mismos, se adopta como convenio que la densidad de líneas de campo, es decir, el número de ellas por unidad de superficie, coincida con la magnitud del campo en cada punto. Entonces, el significado físico del flujo que atraviesa una superficie procedente de un campo no es otro que el número de líneas de fuerza del campo que atraviesan dicha superficie, y la divergencia significará, según sea positiva o negativa, el número de líneas de fuerza que nacen o mueren en la unidad de volumen. En teoría de campos, los puntos de donde nacen o mueren las líneas de campo se llaman manantiales y sumideros respectivamente, con lo cual la divergencia es la densidad en volumen de manantiales o sumideros.

Los campos cuyas líneas son cerradas tienen la divergencia nula en todos sus puntos (campos solenoidales), como es el caso del campo magnético, lo cual corresponde al hecho físico de que los manantiales y los sumideros (polos del imán) no se encuentran aislados en la naturaleza. Por el contrario, el campo eléctrico o el gravitatorio tienen divergencia distinta de cero en todas las regiones en donde existe carga eléctrica o masa gravitatoria, que en definitiva son los manantiales o elementos creadores de los campos.

7. Identidades en las que aparece el operador nabla. A continuación se da una relación de expresiones, muy utilizadas en la práctica, en las que aparece el operador nabla o de Hamilton; en ellas intervienen entremezcladas funciones escalares y vectoriales; se distinguen unas de otras en la forma de representarlas (las escalares en cursiva y las vectoriales en negrita).

1)Div(grad U) = (?²U/?x²) + (?²U/?y²) + (?²U/?z²)

expresión que recibe el nombre de laplaciana u operador de Laplace, representándose por ¥² o ?.

2)Div (rot E)= ¥ ? (¥ x E) = 0

3)Rot (grad U)= ¥ x (¥U) = ( ¥ x ¥)U = 0.

4)Rot (Rot E) = grad (div E)- ¥²E.

5)Div (uE) = u ? div E+E ? grad u.

6)Rot (uE) = u ? rot E - E x grad u.

7)Div (E X F) = F ? rot E - E ? rot F.

8)Rot (E x F) = E(¥ ? F) - (E ? ¥)F ? F (¥ ? E) + (F ? ¥)E.

9)Grad (E ? F) = E ? ¥F + F ? ¥E + EX (¥ x F) + F x (¥ x E).

8. Aplicaciones del análisis vectorial. El campo de aplicación de los métodos que se acaban de ver se extiende a toda la Física matemática. Así, p. ej., la teoría del potencial es de gran utilidad en los problemas de determinación de campos derivados de una función potencial, como sucede con los campos electromagnético y gravitatorio. Por otra parte, hay fenómenos, como la propagación del calor o de una onda, caracterizados por estar descritos en función de una ecuación diferencial típica (del tipo de Poisson o de Laplace), que se resuelven con ayuda de la teoría del potencial en los casos en que ello es posible, por las condiciones de contorno establecidas. En éstos y otros muchos casos, el papel desempeñado por los métodos propios del cálculo vectorial le dan a éste una singular importancia, hasta el punto de hacerle imprescindible.

F. SÁNCHEZ QUESADA.

BIBL.: H. GRASSMANN, Teoría de la extensión, Buenos Aires 1947; J. W. GIBBS, Vector Analysis, Nueva York 1960; L. BRANS, Análisis vectorial, México 1959; D. E. RUTHERFORD, Métodos vectoriales, Madrid; E. M. PURCELL, Berkeley Physics Course, II, Barcelona 1964.