Vectoriales, Métodos. I. Vectores.

Categoria:

Matemáticas

Generalidades y definiciones. Es conocida la existencia en el mundo físico de dos clases de magnitudes: las escalares, como temperatura, masa, energía, etc., en las que basta un solo número para caracterizarlas; y las vectoriales, como velocidad, aceleración, fuerza, etc., en las que es preciso conocer además su dirección y sentido.

Algunas de las propiedades de las magnitudes vectoriales se conocen desde hace mucho tiempo, como, p. ej., la regla. del paralelogramo para componer fuerzas. Sin embargo, hasta el s. XIX no se dieron los primeros pasos para la elaboración de una herramienta matemática aplicable a estas magnitudes físicas. Los principales creadores de la misma fueron Tait, Heaviside y Gibbs, que entre 1890 y 1895 publicaron en la rev. "Nature" los primeros trabajos sobre éste tema.

En su aspecto más general, un vector es todo elemento perteneciente a un espacio vectorial o conjunto de elementos entre los cuales se definen dos leyes de composición u operaciones que satisfacen una serie de propiedades (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII). Ahora bien, esta definición es esencialmente matemática y, como tal, lleva consigo un cierto grado de abstracción. Desde el punto de vista práctico de la Física, y situándonos en el espacio euclídeo (v.) tridimensional, llamamos vector geométrica al segmento determinado por dos puntos A y B, dados en un cierto orden y que se identifican con el origen y el extremo del vector. Para representar los vectores suelen utilizarse expresiones como la AB, siendo A y B los puntos origen y extremo del vector respectivamente, o bien mediante letras minúsculas en negrita, p. ej., u. Esta última es la notación empleada en esta Enciclopedia. La representación gráfica se hace mediante el segmento que le corresponde en forma de flecha, que apunta desde el origen hacia el extremo.En todo vector geométrico se consideran los siguientes elementos: su longitud o módulo, representada por la longitud del segmento AB y simbolizada por |AB| o por u; su dirección, que es la de la recta AB llamada recta de acción; y su sentido, el de recorrido de A a B.

Cuando dos vectores, que tienen igual módulo, dirección y sentido, se consideran iguales se dice que pertenecen a la clase de los vectores libres. Además de éstos, existen otras dos clases: deslizantes y fijos, en donde la igualdad lleva consigo un mayor número de restricciones; así, en el caso de los vectores deslizantes hay que añadir la identidad de las rectas de acción, y en el de los fijos, la identidad del origen o punto de aplicación.

La caracterización de un vector se hace refiriéndolo a un sistema de coordenadas cartesianas, quedando determinado por sus tres proyecciones sobre los ejes o componentes. Si se supone que el origen del sistema de referencia coincide con el del vector, dichas componentes se identifican con las coordenadas del extremo, y si ambos orígenes no coinciden, las componentes se obtendrán restando las correspondientes coordenadas de los puntos extremo y origen. Otra forma de representar un vector es mediante su módulo y la dirección de la recta de acción, la cual se da a través de los ángulos que forma con los ejes rectangulares, simbolizados por a, ß y ?, a cuyos cosenos se los llama cosenos directores. Por tanto, se puede caracterizar un vector v estableciendo:

1) Las componentes vx, vy, vz.

2) El módulo de v y los cosenos directores cos a, cos ß y cos ?. Naturalmente, el paso de una representación a otra es muy simple; basta aplicar el teorema de Pitágoras a la fig. 1, obteniéndose

|V| = v (vx2 + vy2 + vz2)

cos a =vx/|v|,cos ß =vy/|v|,cos ? =vz/|v|

Más adelante, cuando se hable de las operaciones con vectores, se verá una tercera forma analítica de representarlos, utilizando los vectores unitarios.

Álgebra vectorial. Con los vectores se pueden realizar una serie de operaciones algebraicas, las más importantes de las cuales son: suma, resta, multiplicación por un escalar, producto escalar y producto vectorial.

Suma. Es una de las operaciones características de la estructura de espacio vectorial; asocia a cada par de vectores (sumandos) un tercero (vector suma), que se puede obtener gráficamente mediante la regla del paralelogramo, consistente en construir un paralelogramo con ambos vectores o sumandos y trazar su diagonal, fig. 2, o, analíticamente, asignándole como componentes el resultado de sumar algebraicamente las componentes de los vectores sumandos. Para los vectores de la fig. 2 se tendrá

wx=ux+vx;wy=uy+vy;wz=uz+vz

en donde los subíndices x, y, z indican las correspondientes componentes de cada uno de los vectores. La suma tiene las siguientes propiedades:

a) conmutativa:

u+v=v+u

b) asociativa:

u+(v+w)=(u+v)+w

Diferencia. La de dos vectores u-v no es más que la suma del primero de ellos con el opuesto del segmento, entendiendo por vector opuesto de uno dado el que tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario. La construcción gráfica puede verse en la fig. 3 y analíticamente se tiene

w?x=ux-vx;w?y=uy-vy;w?z=uz-vz. Multiplicación por un escalar. Esta operación es, juntamente con la suma, una de las que caracterizan la estructura de espacio vectorial, haciendo corresponder a todo par de elementos formado por un vector v y un escalar ? un nuevo vector de módulo A veces el módulo de v, dirección la misma que v y sentido también el mismo si ? >0 y opuesto si ?

a)?(?v) = (??)v

b)(?+?)v = ? v + ?vy?(u+v) = ?u + ?v.

Ahora se está en condiciones de formular una nueva representación analítica de los vectores. Se definen unos vectores unitarios, o sea, de módulo unidad, sobre cada uno de los ejes coordenados: i, j, k. Observando la fig. 4 y teniendo en cuenta las definiciones de suma de vectores y producto por un escalar, se deduce inmediatamente que

v=vxi+vyj +vzk,

donde vx, vy, vz son las componentes del vector v.

Producto escalar. El producto escalar de dos vectores u y v, representado simbólicamente por la expresión u.v, se define como un escalar cuyo módulo es igual al producto de los módulos de u y v por el coseno del ángulo que forman

u?v=u?v?cos(u,v).

Aplicando esta definición a los vectores unitarios tenemos

i?i=j?j=k?k=1

i?j=i?k=j?i=j?k=k?i=k?j=0

ya que el ángulo entre i y el mismo i es 0°, pero el ángulo entre i y j es 90°, etc.

El producto escalar goza de las propiedades siguientes: a) Conmutativa:

u?v=v?u

b) Distributiva: u?(v+w)=u?v+u?w

Como consecuencia de todo lo dicho, la expresión analítica del producto escalar será

u ? v=(uxi+uyj +uzk) ? (vxi+vyj +vzk)=uxvx+uyvy+uzvz.

Geométricamente, el producto escalar de dos vectores representa el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Producto vectorial. El de dos vectores a y b es otro vector c, de módulo el área del paralelogramo formado por los dos vectores dados, dirección perpendicular al plano del citado paralelogramo y sentido el de avance de un sacacorchos que girase desde a hasta b por el camino más corto. Consecuencia inmediata de la definición es que el producto vectorial no es conmutativo, aunque sí distributivo. Al igual que en el producto escalar, esta última propiedad permite, utilizando los valores particulares que toma el producto vectorial para los vectores unitarios, expresar analíticamente este producto por la expresión

|ij k |

axb= |axayaz |

|bxbybz |

en donde para simbolizar el producto vectorial se ha empleado el signo x .

Otros productos. Combinando los dos tipos estudiados de productos entre vectores, se obtienen los siguientes:

1) a ? (b x c) =(a, b, c)

(llamado producto mixto)

2) a x (b x c) = (a ? c)b - (a ? b)c

3) (a x b)-(cxd)=(b?d) ? (c?a) - (b?c) ? (d?a)

4) (a x b) x (c x d)=(a, b, d)c - (a, b, c)d

Momento de un vector con relación a un punto. Por definición, el momento M de un vector v, con relación a un punto 0 (fig. 5), es un vector aplicado en el punto 0 e igual al producto vectorial r x v, siendo r el vector que tiene su origen en el punto 0 (llamado centro de momentos) y extremo en el origen de v u otro punto cualquiera de la recta de acción de v. Este concepto es de gran aplicación en los vectores deslizantes, hasta el punto que en muchas ocasiones se utiliza para definir a éstos juntamente con el vector libre.

Sistemas de vectores. Los vectores rara vez se presentan aislados en sus aplicaciones físicas. Lo normal es que se consideren conjuntos de ellos que, según su distribución sea continua o discreta en el espacio, reciben el nombre de campos vectoriales (v.) o sistemas de vectores. Dado un sistema de vectores v1, v2, ..., cabe distinguir como representación del mismo dos vectores fundamentales:

a) Uno libre R, llamado resultante general del sistema, que se obtiene sumando geométricamente todos los vectores del sistema.

b) Otro M ligado a todo punto del espacio, llamado momento resultante del sistema, que es la suma de los momentos de los vectores del sistema con relación a ese punto. En general, este vector varía con la situación del centro de momentos.

V. t.: CAMPO ESCALAR; CAMPO VECTORIAL; ESPACIOS MATEMÁTICOS VII.

F. SÁNCHEZ QUESADA.

BIBL.: J. PALACIOS, Mecánica física, Madrid 1949; E. M. PUGH y E. W. PUGH, Fundamentos de electricidad y magnetismo, Madrid 1965; D. E. RUTHERFORD, Métodos vectoriales, Madrid.