Trigonometria

Categoria:

Matemáticas

Parte de la Geometría (v.) que, como su nombre indica, trata de las relaciones métricas entre los elementos,lados y ángulos, de un triángulo. Su interés es de tipo calculista y surgió para resolver ciertos problemas de Astronomía; no obstante, ha permitido definir y estudiar algunas funciones importantes.

Las esenciales son el coseno y el seno, sobre todo la primera; las demás se derivan de ellas y no tienen más misión que simplificar los cálculos. Supuesto el plano orientado, lo que induce una orientación para todos los ángulos del plano y, por tanto, una ordenación de sus dos lados, tomando en el segundo de ellos un punto A, que diste la unidad del vértice 0 del ángulo, y proyectándolo ortogonalmente sobre el primer lado según el punto B (v. fig.), las distancias orientadas OB y BA miden, respectivamente, el coseno y el seno del ángulo dado. Por el isomorfismo (v. ÁLGEBRA) entre ángulos y arcos de circunferencia, ésos serán también el coseno y seno de cualquier arco de centro 0 con extremos, respectivamente, en los lados OB y OA.

]esta ha sido, con alguna mayor precisión en sus términos, la definición clásica de las dos funciones trigonométricas fundamentales. A partir de ellas se han elaborado reglas que han constituido la materia de los tratados de Trigonometría. En la concepción matemática actual puede sistematizarse todo así: sea el plano métrico, esto es, el plano vectorial (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII) en el que se ha introducido un tensor producto escalar (V. GEOMETRíA V); definido en este plano el grupo de las rotaciones (V. GRUPOS, TEORíA DE), existe un isomorfismo entre este grupo y el de los ángulos orientados, de modo que al producto de rotaciones corresponde la suma de los respectivos ángulos; entonces, el coseno de un ángulo es el producto escalar de un vector unitario cualquiera por su transformado mediante la rotación correspondiente a aquel ángulo. Análogamente, definida una orientación en el plano por una base ortonormal (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII), existe un tensor covariante hemisimétrico (V. GEOMETRíA V) de órden 2 que hace corresponder a esa base el número 1; pues bien, el seno de un ángulo es el resultado de aplicar ese tensor a un vector unitario y a su transformado mediante la rotación correspondiente a dicho ángulo. De estas definiciones se obtiene la relación fundamental de la Trigonometría:sen2 x+cos2 x= 1 para cualquier ángulo (o arco) x, y todas las demás fórmulas clásicas. Tales fórmulas, para un triángulo de ladosa, b, c y ángulos opuestos A, B, C, respectivamente, son: A+B+C=ra b C sen Asen Bsen C a2= b2 + C2 - 2bc cos A a = c cos B + b cos CEstas funciones, de tipo trascendente, son desarrollables en serie y están ligadas con la función exponencial a través de la fórmula de Euler (v.). Se pueden escribir así:e¡x+e-¡x X2 X4 X6 cos x=-= 122 4 6 e¿x-e-¡x X3 x5 x7 sen x=-=x-+--+...

2i3! 51 7! Trigonometría esférica. Cuanto hemos dicho se refiere a triángulos rectilíneos del plano cuelídeo. Ahora bien, si se utiliza la T. como método para resolver problemas astronómicos, y considerando la bóveda celeste como una superficie esférica, los triángulos a estudiar en las cuestiones que se plantean tienen por lados arcos de circunferencia. Sobre la superficie esférica se puede elaborar una Geometría de bastantes analogías con la Geometría del plano. Las figuras que en ella corresponden a las rectas del plano son las circunferencias máximas, es decir, aquellas cuyo plano contiene al centro de la superficie esférica. Pero a la vez discrepa fundamentalmente con la Geometría euclídea plana; en ella no se cumple el postulado de las paralelas, o, si se quiere, la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectos. Esta Geometría, con algunas hipótesis complementarias, puede proporcionar el modelo más sencillo de un espacio elíptico (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS II). Se trata de una Geometría no euclídea.

Considerando triángulos esféricos, es decir, que tengan por lados arcos de circunferencias máximas, de la relación que haya entre esos lados y los ángulos del triángulo se ocupa la T. esférica. Ahora bien, esos lados son arcos de circunferencias con centro en el de la superficie esférica y se pueden expresar por medio de sus razones trigonométricas, o, lo que es lo mismo, por el seno o el coseno del ángulo, cuyo vértice es el centro de la superficie esférica, y sus lados pasan por los extremos del arco. El estudio proporcionado por la T. plana puede aplicarse a la T. esférica, que no necesita de ningún nuevo método.

Así se llega para los triángulos esféricos a unas relaciones, llamadas fórmulas de Bessel, correlativas a las fórmulas de los triángulos ordinarios que proporcionaba la T. plana. Tales fórmulas, llamando a, b, c a los lados (arcos de circunferencia máxima) del triángulo esférico y A, B, C a los ángulos del triángulo respectivamente opuestos a dichos lados, son las siguientes:sen asen bsen csen Asen Bsen Ccos a=cos b cos c+sen b sen c cos A sen a cos b=sen c cos B +sen b cos a cos C Considerando triángulos esféricos suficientemente pequeños, de modo que la longitud de cada lado pueda ser medida sin gran error por el seno, del mismo, las fórmulas de Bessel reproducen las de los triángulos planos, también con una cierta aproximación. Se vuelve a la idea de que el triángulo esférico viene a coincidir Iocalmente con el triángulo ordinario de su plano tangente (V. GEOMETRíA V).

Trigonornetría hiperbólica. Si en vez de un espacio elíptico, como la superficie esférica, consideramos un espacio hiperbólico (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS n), el problema es distinto. El modelo más sencillo, dentro del espacio euclídeo, de un espacio hiperbólico es la pseudoesfera o superficie de curvatura constante -1. En ella, las curvas cuyos vectores tangentes son paralelos, y que desempeñan el oficio de rectas en una Geometría sobre dicha superficie, no son ya en general circunferencias. No podemos, entonces, aplicar de un modo directo los resultados de la T. plana. Se puede, empero, elaborar, de una forma paralela a la de ésta, una T. propia para el espacio hiperbólico. En vez de partir de una circunferencia, como en el caso de la T. plana, la figura fundamental es una hipérbole equilátera, de ecuaciónX2-X 2= 12Con una apreciable similitud de técnicas se definen aquí también el coseno y el seno hiperbólicos y las demás funciones derivadas de ellos, así como las relaciones y los resultados expresables mediante una formulación muy parecida a la de la T. ordinaria. La relación fundamental en este caso es:cosh2x-senh2X=1Las dos funciones, coseno y seno hiperbólicos, pueden obtenerse también mediante:ex + e-xX2X4cosh x=-= 1 + - +- +... 22 !41 ex-e-x X3 x5 senh x=-= x + - +- +... 2315 !Asimismo, muchas de las fórmulas que expresan las funciones de las sumas o diferencias de variables, etc., son análogas a las de la T. plana, salvo algunos signos como en ’los casos anteriores. Mediante estas funcione; hiperbólicas se pueden relacionar métricamente los lados y ángulos de los triángulos hiperbólicos que, a diferencia de los dos casos anteriores, tienen la propiedad de que la suma de sus tres ángulos es menor que dos rectos. Existen igualmente relaciones entre las funciones hiperbólicas y las trigonométricas ordinarias que permiten pasar de unas a otras en modelos de planos hiperbólicos.

ETAYO MIQUEO.

BIBL.: G. HESSENBERG, Trigonometría plana y esférica, 3 ed. Madrid 1934; 1. DIEUDONNÉ, Algébre linéaire et géométrie élémentaire, París 1964; H. MESCHKOWSKI, Noneuclidean Geometry, Nueva York 1964; F. AYRES, Trigonometría, México 1971; M. AVELLó, Trigonometría rectilínea y esférica, Madrid 1964; E. NICHOLS, Trigonometría moderna, Barcelona 1972.