Topología CIENCIA

Categoria:

Ciencia

Esta palabra tiene un sentido estricto, técnico, con el que se significa la familia de subconjuntos que da estructura topológica a un conjunto (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI). Tiene también un sentido más amplio, con el que se denomina la disciplina matemática que estudia los espacios topológicos; en este aspecto sustituyó a la expresión Análisis Situs, utilizada por los pioneros de la investigación de carácter topológico a lo largo del s. XIX.

En t. se distinguen cuatro zonas de estudio: conjuntista o general, geométrica, diferencial y algebraica; se diferencian por el objeto de su estudio, y por los métodos propios de cada una de ellas, pero no pueden señalarse con claridad fronteras que las separen, por estar fuertemente interrelacionadas.

Topología conjuntista o general. Después del éxito alcanzado por el Cálculo (v.) matemático, que se realiza con procesos finitos, surge la idea de aplicar las técnicas allí usadas al caso de procesos infinitos; a esto lleva, p. ej., la observación de hechos de carácter físico, como el expresado por el concepto de velocidad de un cuerpo móvil; o de situaciones geométricas, como el concepto de área de un recinto plano limitado por una curva cerrada; conceptos que hoy definimos utilizando la idea de límite. De este modo, Newton (v.) y Leibnitz (v.), en el s. XVII, hablan de "cantidades evanescentes" y "cantidades infinitamente pequeñas", ideas que llevan a la teoría de límites, a la de series (v.), y, con el concepto de función (v. FUNCIONES), al desarrollo del Cálculo diferencial e integral .(V. CÁLCULO I Y IV).

Las investigaciones acerca de la convergencia uniforme de las series de J. B. Fourier (v.) y su relación con el concepto de función movieron a Cantor (v.), en el periodo 1870-85, a elaborar la teoría de conjuntos (v.), y a definir los primeros conceptos de la t. de conjuntos (conjuntos de puntos perfectos, densos, continuos, cerrados, abiertos...), llegando a dar teoremas esenciales de la t. de la recta y de los espacios euclídeos.

Con los trabajos de Frechet, en los primeros años del s. XX, se perfila el concepto de entorno (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI, 1), definido por F. Hausdorff (v.) en su estudio sobre los espacios de entornos. Así se inicia la investigación sobre los espacios abstractos y se establece la t. conjuntista como una disciplina matemática autónoma. Con el concepto de entorno culmina la difícil y duradera empresa de conseguir un tratamiento matemático adecuado del "infinitamente pequeño", que está presente en todo el desarrollo del Análisis matemático y Cálculo infinitesimal realizado en los s. XVII-XIX por Newton (v.), Leibnitz (v.), Euler (v.), Lagrange (v.), Gauss (v.), Cauchy (v.) y Riemann (v.), entre otros. Con él se formaliza la idea de proximidad, y se puede expresar con todo rigor los conceptos de límite y continuidad, tan esenciales en el Análisis matemático (v.).

La t. conjuntista permite estudiar espacios que no se comportan como los euclídeos desde el punto de vista infinitesimal. Su dominio puede decirse que es el de los invariantes topológicos de índole conjuntista, tales como los de separación, conexión, compacidad, paracompacidad, metrización, uniformización, dimensión, etc., cuyo estudio da lugar a otros tantos capítulos importantes de la t. general.

Topología geométrica. Al mismo tiempo que desde el campo del Análisis matemático y la teoría de funciones se llega a la definición de conceptos de tipo topológico, fundamentalmente tratando cuestiones que se relacionan con el "infinitamente pequeño" y la idea intuitiva de proximidad, consideraciones de carácter estrictamente geométrico llevan también, por otro camino, al estudio de propiedades topológicas. Así, Euler (v.), que no tiene éxito en su intento de interpretar geométricamente las ideas del Cálculo infinitesimal, nos deja, sin embargo, suteorema sobre poliedros (1752), considerado como el primer acontecimiento importante de la topología. Este teorema dice que: si una superficie esférica se "regiona" arbitrariamente en trozos elementales de superficie, entonces los números ao, al, "2 de vértices, aristas y trozos de superficie que aparecen en la partición están relacionados entre sí por la fórmulaap-al+az=2.

Los geómetras, al estudiar las curvas y superficies, observan las propiedades de las figuras geométricas, que no dependen de elementos cuantitativos, sino solamente de la "forma" de la figura, o de la "posición" de una figura en otra; y para facilitar este estudio de la "forma" suelen considerar polígonos y superficies poliédricas, y, más en general, complejos de segmentos y de superficies, que permiten un tratamiento combinatorio. Estas ideas se han podido expresar adecuadamente después, en el marco de la t., definiendo las propiedades "intrínsecas", que se conservan por las transformaciones topológicas de las figuras (homeomorfismos; v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI, 3), y las propiedades de la "posición", que se conservan por los homeomorfismos del espacio ambiente en el que se encuentra la figura; su estudio es el objeto de la t. geométrica o Geometría de la continuidad.

Riemann (v.), estudiando el significado geométrico de conceptos de la teoría de funciones (1851), da un fuerte impulso al interés por la Geometría. Con sus trabajos y los posteriores de MSbius, Jordan, Grassmann y otros, se logra la clasificación de las superficies cerradas, consiguiendo un sistema completo de invariantes para la "forma" de estas superficies.

Mediado el s. XIX se tiene ya el concepto de espacio euclídeo de n dimensiones; con él se generaliza la idea de superficie de "forma" arbitraria al concepto más amplio de variedad topológica n-dimensional (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI, 6; SUPERFICIES II), que tiene localmente la t. del espacio euclídeo n-dimensional. En cuanto a los métodos combinatorios, con el paso del tiempo se comprueba su fecundidad, y su uso se generaliza con la creación de las variedades combinatorias n-dimensionales (o lineales a trozos) y los poliedros abstractos (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI, 6), que tienen a trozos la estructura lineal del espacio euclídeo.

Una vez lograda la clasificación de las variedades topológicas compactas de dimensión 2 (superficies cerradas), queda abierto el problema de clasificación y caracterización topológica en los casos de dimensión 3, que impulsa el estudio, hoy en vigor, de las 3-variedades y de las superficies en estas variedades. Así, p. ej., se desarrolla la teoría de espacios de descomposición; se estudian las superficies de Heegaard, que descomponen una 3-variedad en dos cuerpos multianulares; las superficies incompresibles, caracterizadas por su posición especial dentro de la variedad, etc. La caracterización topológica de la 3-esfera dio lugar a la conjetura de Poincaré (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI, 3), en torno a la cual giran muchas de las investigaciones hechas en el campo de la t. desde hace casi 70 años.

Las inmersiones de la circunferencia en una 3-variedad originan la teoría de nudos; un nudo es una curva cerrada simple contenida en la 3-esfera. Todos los nudos son homeomorfos entre sí, pero se diferencian topológicamente por el modo de estar sumergidos en la 3-esfera; así, el problema principal de la clasificación de nudos, que está sin resolver con toda generalidad, consiste en saber si, dados dos nudos, existe un homeomorfismo de la 3-esfera que transforme uno en el otro. En la actualidad se están estudiando también los nudos en dimensión 4: inmersiones de la 2-esfera en la 4-esfera.

Naturalmente, tiene gran interés el conocimiento de las relaciones entre las estructuras topológicas y las combinatorias. Esta cuestión se puede centrar en el histórico problema de la Hauptvermutung, conjetura que afirma la equivalencia de las clasificaciones topológicas y combinatorias. Hoy se sabe que esta conjetura no es cierta en general, pues Milnor encontró (1960) dos poliedros que son homeomorfos, pero no combinatoriamente equivalentes; en el caso de variedades, se sabe que es cierta para las dimensiones n=1, 2, 3, pues Moise (1951) y después Bing demostraron que una 3-variedad topológica admite siempre una, y esencialmente única, estructura combinatoria, y que no lo es para dimensión n 5. También se sabe que hay variedades topológicas que no admiten una estructura combinatoria (Lashof y Rothenberg, 1969).

Topología diferencial. Se estudian aquí las variedades diferenciables, con borde o sin él, que localmente tienen la estructura diferenciable del espacio euclídeo (V. SUPERFICIES II), y también las aplicaciones naturales entre ellas, las aplicaciones diferenciables.

Una cuestión importante en la t. diferencial es la clasificación de variedades diferenciales; dadas dos variedades cómo saber si existe un difeomorfismo (homeomorfismo f que es diferenciable, así como su inversa f-’) entre ellas. La teoría de Morse y la de modificaciones esféricas (cirugía de variedades) son aportaciones recientes, que se han acreditado como instrumentos eficaces en esta materia. También es de interés saber si, dadas dos variedades, existe una inmersión de una en otra, y cómo se pueden clasificar todas las inmersiones posibles. Acerca de esta cuestión se conoce el resultado importante (Whitney) que una variedad diferenciable n-dimensional se puede sumergir difeomórficamente en un espacio euclídeo 2n-dimensional como una subvariedad cerrada. Otra cuestión, cuyo estudio ha enriquecido recientemente el campo de la Geometría diferencial, es la de saber si dada una variedad diferenciable existe alguna otra que la tenga como borde. Los trabajos de Thom sobre el cobordismo han aportado plena luz para su solución.

Acerca de la relación entre las variedades diferenciables y las topológicas o las combinatorias, ocupa un lugar preeminente el resultado de Milnor (1956), de que la 7-esfera topológica admite diferentes estructuras diferenciables no equivalentes. Este resultado, que Milnor encontró utilizando la teoría de espacios fibrados (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS III), hace realmente de la t. diferencial una disciplina matemática independiente, con entidad propia.

Por otra parte, se sabe (Whitehead) que toda variedad diferenciable admite una, y esencialmente única, estructura combinatoria adecuada, mientras que, por el contrario, después de los resultados de Thom (1956) y Kervaire (1960) se sabe que hay variedades combinatorias que no admiten una estructura diferenciable que sea compatible topológicamente, y que existen variedades combinatorias que admiten distintas estructuras diferenciables (Milnor).

Con frecuencia, se consideran en las variedades diferenciables problemas de índole geométrico; entonces se añade a la estructura diferenciable de la variedad una estructura adicional, como puede ser un campo vectorial, tina 2-forma, o una métrica riemanniana (V. GEOMETRÍA V),y se estudian fundamentalmente las propiedades que son invariantes por el grupo de difeomorfismos de la variedad que conservan esta estructura añadida. Un campo de intensa investigación en la actualidad, en el que la t. diferencial se relaciona estrechamente con la teoría de ecuaciones diferenciales, es el de los sistemas dinámicos. En esencia, un sistema dinámico sobre una variedad diferenciable es un campo vectorial sobre la variedad.

Con esta teoría se pretende, en última instancia, una clasificación topológica de los campos vectoriales sobre la variedad, siendo equivalentes dos campos cuando existe un homeomorfismo de la variedad que transforma las curvas integrales de un campo en las del otro. Esta clasificación se ha conseguido para los campos de tipo gradiente en el caso de 2-variedades compactas y orientables.

Topología algebraica. Para tratar problemas de tipo geométrico se usaron, como se ha dicho, técnicas de carácter combinatorio. Concretamente, Poincaré (v.) inició, en los primeros años del s. XX, un estudio combinatorio de la conexión; en él está el germen de la teoría de homología, que es en esencia un estudio algebraico de las propiedades de conexión de un espacio topológico. La teoría de homología asigna grupos abelianos a espacios topológicos, y homomorfismos de grupos a aplicaciones continuas entre espacios; así, problemas topológicos se convierten en algebraicos, de tal modo que una teoría de homología viene a ser -una imagen algebraica de la t. del espacio, de la que expresa un aspecto parcial. Se estudian especialmente los grupos de homología de poliedros y variedades combinatorias.

El mismo Poincaré, para estudiar la conexión, definió el grupo fundamental de homotopía de un espacio topológico (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI, 4), iniciando así la teoría de homotopía, enriquecida con las aportaciones de Hurewicz, que introduce los grupos de homotopía de orden superior, y las de Serre, Whitehead, Toda, Bott, Eilenberg, Mac Lane, y otros, que crean técnicas para calcular grupos de homotopía de distintos tipos de espacios y consiguen importantes éxitos aplicando la teoría en diversos campos de la Matemática.

El estudio algebraico de los espacios topológicos y aplicaciones continuas, que por su éxito adquiere pronto un gran desarrollo, constituye la rama de la t. algebraica, en la que se encuadran teorías de tanta vitalidad en el momento presente como la de clases características, las de cohomología, K-teorías, las de cobordismo, etc. El uso que se hace en t. de técnicas algebraicas trae como consecuencia el nacimiento de un campo nuevo de investigación dentro del Álgebra, que es el Álgebra homológica. Merece la pena observar que los ejemplos ofrecidos por las teorías de homología y homotopía, asociando grupos a espacios topológicos, y homomorfismos de grupos a aplicaciones continuas, impulsó a considerar propiedades comunes a ciertas familias de objetos matemáticos, tales como espacios topológicos y sus aplicaciones continuas, grupos y sus homomorfismos..., despertando el interés por un nuevo tipo de estructuras matemáticas, cuyo estudio es el objeto de la teoría de categorías y functores (V. CATEGORÍAS II).

JOAQUÍN ARREGUI.

BIBL.: R. BOTT, Lectures on K(X), Nueva York 1969; ÍD, Lectures on Algebraic and Differential Topology, "Lectures notes in Math." 279, Berlín 1972; N. BOURBAM, Topologie générale, París 1961; I. DUGUNDJI, Topology, Boston 19711; S. EILENBERG y N. STEENROD, Foundations of algebraic Topology, Princeton 1952; C. GODBILLON, Pléments de Topologie algébrique, París 1971; J F. P. HUDSON, Piecewise linear Topology, Nueva York 1969; W. HUREWICZ y H. WALLMAN, Dimension Theory, Princeton 1941; J. G. HocKING y G. S. YOUNG, Topología, Barcelona 1966; J. KELLEY, Topología general, Buenos Aires 1%2; J. H. MANHEIM, The Genesis of Point Set Topology, Oxford 1964; W. MASSEY, Algebraic Topology: an Introduction, Nueva York 1%7; J. W. MILNOR, Topology from the Differentiable Viewpoint, Virginia 1965; ÍD, Morse Theory, "Ann. Math. Studiesu 51, Princeton 1963; MUNKRES, Elementary Differential Topology, "Ann. Math. Studiesu 54, Princeton 1963; H. SEIFERT y W. THRELFALL, Lecciones de topología, Madrid 1951; E. H. SPANIER, Algebraic Topology, Nueva York 1966; R. STONG, Notes on Cobordism Theory, Princeton 1968; A. WALLAcE, Differential Topology, Nueva York 1968; C. T. C. WALL, Surgery on Compact Manifolds, Nueva York 1970.