Superficies I FÍS.

Categoria:

Física

TEORIA GENERAL. 1. Introducción. Según la definición 5 del libro primero de Euclides (v.), una s. es lo que tiene largo y ancho solamente. Según la definición 2 del libro undécimo de Euclides, el límite de un sólido es una superficie. En la primera definición se hace referencia a una clasificación de objetos materiales según su espesor; son s. aquellos en los que puede considerarse como despreciable el espesor. Como en la Naturaleza son muy escasas las s. que puedan considerarse planas, no es extraño que Euclides defina primero las s. en general, y después las planas o planos. La segunda definición parte de la idea previa de sólido, como lo que tiene largo, ancho y grueso. Al pasar la mano sobre un sólido adquirimos experiencia táctil de una superficie.

El punto de vista actual para la definición de s. es opuesto al anterior. Se comienza por definir el plano, y a partir de él se define la superficie. La idea corresponde a los siguientes experimentos: 1) se toma una cuartilla, al arrugarla se obtiene una s.; 2) se toma una lámina plana de caucho, al deformarla de cualquier modo, sin romperla, se obtiene una superficie.

Entonces, para decir con rigor qué es una s., suponiendo que sabemos lo que es un plano, tenemos que precisar el significado matemático de la operación material de deformar sin romper una lámina de caucho. Si contemplamos la lámina después de la deformación observamos que es un conjunto de puntos del espacio, y cada punto U de la lámina se transforma en un punto X de la s. y, recíprocamente, todo punto X de la s. proviene de un único punto U del plano, esto es, la correspondencia entre el plano y la s. es biunívoca o biyección (v. CORRESPONDENCIAS). Para precisar la idea de deformación sinrotura es preciso acudir a la Topología (v.), con lo que la anterior idea experimental de s. da lugar a la siguiente idea de variedad topológica n-dimensional, que para n=2 corresponde a una de las ideas de s. actuales (v. fig. 1).

2. Variedades topológicas y diferenciables. Una variedad topológica n-dimensional (se puede sustituir este concepto por el de espacio afín n-dimensional) X es un espacio topológico Hausdorff (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS vi, 2) numerable en el infinito (esto es, con una base de abiertos numerable), que localmente es homomorfo a un abierto de Rn; esto significa que para todo punto x E X existe un entorno abierto U de x, y un homomorfismo (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS vi, 3) U’,siendo U’ un abierto de Rn.

Uf,~ R w?~ ~.aa U’El conjunto Al, de todas las funciones diferenciables con diferencial continua sobre el abierto U’, con valores en R, es una R-álgebra; lo mismo sucede con el conjunto Ar, de las funciones de clase r sobre U’, y con el conjunto A- de las funciones de clase infinito sobre U’. Una variedad diferenciable X es una variedad topológica tal que para todo punto x E X, si x C U es el entorno abierto de X, y,Pu: Uel homomorfismo correspondiente, se verifica que a todo abierto V C U se le asigna el conjunto F(V) formado por todas las funcionesf: U --> R,tales quef = g .w"siendo g E A’w,(v) y w,. la restricción de wu a V. Luego F(V) es, por tanto, una R-álgebra. (En lugar de tomar AúA’,, sepuede tomar A ú ,o Am y seobtienen las vari e-dad e s diferenciables de clase r o -, respectivamente); y siV=UVi, iEtsiendo Vi abiertos de X, se verifica que f E F(V) si, y solamente si, la restricción de f a Vi pertenece a F(Vi) para todo i C I.

La estructura que acabamos de definir se presenta también en otras circunstancias; así, p. ej., en la definición de variedades algebraicas y analíticas, por lo que conviene definir esta estructura de un modo genera] para poder utilizarla en todos estos casos. La estructura que se obtiene se llama prehaz.

Veamos la definición de prehaz. Se parte de un espacio topológico X y del conjunto A de todos los abiertos de X.

Entre los elementos de este conjunto A se definen las flechas. EscribirV->USUPERFICIES lIsignifica que V es subconjunto de U, esto es, la flecha corresponde al símbolo de inclusión. Por otro lado, se dispone de otro conjunto C, que en caso de las variedades diferenciales es el conjunto de las R-álgebras de funciones diferenciables, en el cual se definen también flechas, que en nuestro caso son los homomorfismos (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII, 3) entre R=álgebras, esto es,Al ,u, ---> 1 V,significa un homomorfismo de la primera R-álgebra en la segunda. En estas condiciones, un prehaz sobre A con valores en C es una aplicación F de A en C tal que: 1) A todo elemento V de A (distinto del conjunto vacío) le corresponde un elemento F(V) de C. 2) Si entre VI y V2 existe una flecha i:VI -> V2,a esta flecha le corresponde otra F(i) : F(V2) --> F(V1) (que en el ejemplo que estamos tratando, de las variedades diferenciables, es el homomorfismo de restricción de las fracciones diferenciables sobre V2 a las fracciones diferenciables sobre Vl). 3) A la flecha identidadV->Vle corresponde la flecha identidad entre F(V) y F(V). 4) Si212: V1 -> V2, 223: V2 -> V3,213= VI -> V3,esto es,¡13=i23’212,se verifica queF(i13)=F(il2) - F(i23).

Con este nuevo concepto de prehaz, se pueden definir las variedades diferenciables del siguiente modo: una variedad diferenciable X es un par (~XI,F), formado por una variedad topológica n-dimensional X y una familia de prehaces F así definida: para todo punto x E IXI, si (Pu : U --> U’es el homomorfismo del entorno abierto U de x en un abierto U’ de Rn, FN es el prehaz tal que, para todoabierto V contenido en U, F.(V) es el conjunto de todas las funciones diferenciables sobre V, y sii: VI --> V2,F,,(i) es el homomorfismo de restricción de las funciones sobre V2 a las funciones sobre Vi.

A las variedades diferenciables de dimensión dos se les llama s. diferenciables, que son el modelo más adecuado para el estudio de s. mediante el método del cálculo diferencial. Vamos a analizar este concepto de s. diferenciable en un caso particular.

Sea la s. definida por las ecuaciones: XI =t1,X2 =t2,(1)X3=ti +t;,llamada paraboloide elíptico (v. fig. 2). A cada punto X=(t1, t2, t; +tz)del paraboloide se le puede asignar el plano vectorial formado por todos los vectores tangentes al paraboloide en el punto X, esto es, el plano vectorialTxdtI, dt2, 2tldtl+2t2dt2),SUPERFICIES IIen donde las variables son dt, y dt2. Sea E el conjunto unión de todos los planos vectoriales Tx cuando X recorre todos los puntos del paraboloide (1) que llamaremos Z.

Entre E y Z se puede definir una relación muy sencilla z, llamada proyección, del siguiente modo:Z7(dt,, dt2, 2t,dt,+2t2dt2)=(t,-t2),o bien, geométricamente hablando, a cada vector tangente se le hace comprender el punto de contacto del plano tangente. Esta proyección tiene las siguientes propiedades que se ven directamente en el ejemplo que estamos considerando: 1) Para todo punto X de Z, 7r-I(X) es un plano vectorial, por tanto, de la misma dimensión que el plano t,, t2 que da lugar al paraboloide. 2) Todo punto X de Z posee un entorno U tal que existe un homeomorfismoh : 7r-’(U) --> U x R2,definido porh(t,, t2, t?+t2, dt,, dt2)=(t,, t2, t¡+t2, ~, A=dt,, ¡a,=dt2; suponiendoX=(t,, t2, t; +t2)fijo y (dt,, dt2) variable, resulta que h(a-’(X))=Xx R2, y la aplicaciónIT-’(X) --~ XXR2 -> R2,en donde la última flecha es la proyección, es un isomorfismo del espacio vectorial 1r-’(X) sobre R2.

También esta estructura, dada por los espacios E y X, se presenta en otras circunstancias, por lo que se ha definido y estudiado de un modo general, dando lugar al concepto de espacio fibrado. Nosotros nos vamos a limitar a definir el caso particular de espacio fibrado que interesa en el caso de las variedades diferenciables, llamado espacio fibrado vectorial, o simplemente fibrado vectorial.

3. Fibrados vectoriales. Un librado vectorial de rango r es una terna (E, X, 7r) formada por dos espacios Hausdorff E y X y una aplicación continuaw: E --> Xtal que:1) 7r-’(x), x E X, es un espacio vectorial real r-dimensional, llamado fibra sobre x. 2) Para todo x E X, existe un entorno abierto U de x en X y un homeomorfismo hu de 7T-’(U) en U X Rr tal quey tal que la composición hx de la restricción de h,, a 1T_1(x) con la proyección dexX Rr sobre Rr sea un isomorfismo de espacios vectoriales. X se llama el espacio base del fibrado y E el espacio total.

Resulta, por tanto, que el estudio local de las curvas y s. conduce, por una parte, a la idea de prehaz y, por otra, a la de fibrado vectorial, ideas ambas de un campo de validez mucho más amplio. Vamos a analizar un poco cómo se combinan estos conceptos para el estudio de las variedades diferenciables. Para ello retrocedamos a los prehaces de funciones diferenciables. Si x es un puntoarbitrario del abierto U de la variedad diferenciable X, en el conjuntoU F(V), vcuXEVcuando V recorre todos los abiertos contenidos en U y que contienen a x, se puede definir una relación de igualdad del siguiente modo:f R g,f E F(V1)g E F(V2)equivale a que existe un entorno W de x contenido en V, n V,tal que la restricción a él de Í es igual a la restricción de g. Al conjunto cociente F(V) respecto de R se le llama conjunto de gérmenes de funciones diferenciables en el punto x, y es una R-álgebra. Esto permite extender la aplicación F del prehaz, que está definida sobre los abiertos de U, a los puntos de U, definiendo F(x) como el álgebra de los gérmenes de funciones diferenciables en x. F así ampliado se denomina un haz sobre X. También este concepto de haz es más general que el definido en este caso particular. La definición general de haz es la siguiente: un prehaz F sobre X es un haz cuando para todo abiertoU= U Ui, i(=- !siendo Ui abiertos, se verifican las dos condiciones siguientes: 1) sif, g E F(U)yn, ui(f)=ru, ui(g)paratodoi E I,entoncesseverificaquef =g;2)si f E F(Ui) para todo i E I y siu;nu;7~1,b,se verifica querui.u, n u, . (fi)=Yui,ui n u, (fj), existe un elemento f E F(U) tal que ru,ui(f) = fipara todo i E I. Según esto, los prehaces de funciones diferenciables son haces y a la R-álgebra F(x) se le llama fibra sobre x y se designa por Fx.

SeaX=(XXI, F)una variedad diferenciable, en donde F es un haz de funciones diferenciables sobre XXI. Para definir el fibrado vectorial del ejemplo anterior en esta variedad puede procederse del siguiente modo: en cada fibra F.z se define una relación de igualdad S, considerando relacionados dos gérmenes f y g cuando sus diferenciales en x son iguales. El conjuntoFx 1 S=T*(X)tiene la estructura de un espacio vectorial, y a cada una de sus clases se le llama una diferencial en x o también un covector en x, y a Fx 1 S se le denomina espacio de las diferenciales en x. A la clase que contiene el germen f de Fx se la designa por df(x). El espacio dual T.(X) de T*x(X) se denomina espacio tangente a X en x, y a susSUPERFICIES IIelementos se les llama vectores tangentes en x. Fx se puede considerar como R-espacio vectorial, y una derivación D en x es una aplicación lineal de Fz (considerado como espacio vectorial) en R tal que, para todo par de gérmenes 1 y g, se verifique queD(fg)=D(f)g(x)+f(x) D(g).

Si T(X) es el conjunto de todos los espacios tangentes en los puntos de X, y T * el conjunto de todos los espacios cotangentes, las ternas (T(X), X, ir) y (T*(X), X, 7r), en donde 7r es la proyección que hace corresponder a cada vector de TX(X) (o de T*x(X)) el punto x, son fibrados vectoriales, y se llaman fibrados tangentes y cotangentes, respectivamente, de la variedad diferenciable X. A partir de los fibrados tangentes y cotangentes se pueden definir los fibrados(A T(X), X, ~r)v(AT*(x), X,en los que las fibras en un punto x son los espacios vectoriales de los r-vectores o de los r-covectores; a estos últimos se les llama también r-formas.

La construcción que se acaba de realizar de las variedades diferenciables y de los fibrados tangente y cotangente asociado se puede trasladar íntegramente a la construcción de las variedades analíticas reales y complejas y de sus respectivos fibrados tangente y cotangente, sin más que sustituir en todo lo anterior función diferenciable por función analítica real o función holomorfa compleja.

4. Homología y cohomología. ¿Qué hacemos ahora con los haces fibrados que nos hemos visto en la necesidad de construir? Para mostrar algunas cosas que se pueden hacer conviene retroceder a su origen. Por ello, vamos de nuevo a situaciones sencillas y bien conocidas.

El teorema de Euler (v. 1, 1) para los poliedros relaciona el número de vértices con el de aristas y caras de un poliedro convexo. Para polígonos planos se verifica que el número de vértices menos el de aristas más el de triángulos de una cualquiera de sus triangulaciones es igual a 1 menos el número de agujeros del polígono. El estudio de estas y otras propiedades de polígonos y poliedros conduce al concepto de complejo simplicial, que es un conjunto K dotado de una estructura proporcionada por una familia de partes finitas no vacías de K llamadas simplejos singulares de K tal que todo subconjunto no vacío de un simplejo sea otro simplejo de K. Entre los complejos simpliciales se pueden definir flechas. Una flecha f : K -> K’, entre dos complejos simpliciales K y K’, es una aplicación que transforma simplejos de K en simplejos de K’. Los elementos de K cero-dimensionales se llaman simplejos cero-dimensionales o vértices de K. Los simplejos de n+1 elementos se llaman simplejos n-dimensionales. Al grupo abeliano libre engendrado por los simplejos de K se le llama complejo de cadenas simplicial y se designa por C*(K), el cual es un grupo graduado, cuyo subgrupo de orden n, C,(K), está formado por las cadenas en los simplejos n-dimensionales. Si A es un grupo abeliano arbitrario, se puede obtener un complejo de cadenas con coeficientes en A mediante la correspondiente tensorización:C?(K; A)=C?(K)~DZA.

Al grupo C*(K; A), suma directa de los grupos C?(K; A), se le llama complejo de cadenas simpliciales singularescon coeficientes en A. A partir de este complejo se puede obtener otro, llamado dual, del siguiente modo:C*(K; A)=Hom (C*(K), A).

C*(K; A) se llama complejo de cocadenas singulares de K con coeficientes en A. Por ser los complejos de cadenas y cocadenas grupos libres sobre K, se pueden definir las flechas entre complejos de cadenas a partir de las flechas entre los complejos simpliciales correspondientes, esto es, a cada flechaK -~ K’corresponde una flechaC*(K; A) -~ C*(K’; A)y otra flechaC*(K’; A)C*(K; A),pero, además de estas flechas, se pueden definir otras asignando una cadena del segundo complejo a cada simplejo del primero. Entre estas flechas la más importante es la definida pord:C*(K; A) -~ C*(K; A)tal quend(ao,, a?)=Di (ao, ., át,, a,), -oen donde el circunflejo sobre una letra indica supresión de la misma. Esta flecha se llama borde o derivación, porque corresponde a la operación de sustituir un polígono por su borde. Como se ve, la flecha borde transforma una cadena n-dimensional en otra n-ldimensional. Por dualidad se define la flecha coborde o coderivación, del siguiente modo, si S" es un complejo n-dimensional, esto es, un homomorfismo de C*(K) en A, se define(dSn) (ao, ...,a,,)=a=opor tanto, el coborde transforma una cadena n-dimensional en otra n+1-dimensional. Ambas flechas tienen la propiedad inmediata de qued-d=0.

Las flechas d subordinan la sucesión de flechas:... á Y C?+t(K; A)C?(K; A) ~-~ C? ,(K; A) -> ... -a CO(K; A)CO(K; A) d CI(K; A)... -> C-1(K; A) d) C"(K; A) La imagen de la flechaC?+1 ---> C? es un subgrupo de C? llamado grupo de los bordes n-dimensionales y designado por B?. El núcleo de la flecha C? --> C?_, determina un subgrupo de Cn llamado grupo de ciclos n-dimensionales y designado por z?. En la fig. 3 la cadenaaval + aia4 + a4ales un ciclo y es un borde, mientras que las cadenas aval +ala2 + a2a3 + a3aoya4a5 + asao + abalson ciclos pero no son bordes. B? es un subgrupo de Z?. Al grupoHn=ZJB.

se le llama grupo n-ésimo de homología. Por dualidad se definen los grupos de cohomología: Hn=Zn/Bn. Estos grupos de homología y cohomología dan propiedades geométricas importantes de los complejos. Si el complejo K es el resultado de triangular una esfera de E3 (espacio euclídeo ordinario), como la esfera no tiene huecos, el ejemplo anterior hace ver como plausible que todos los grupos de dimensión > 0 de homología y cohomología sobre K serán igual a cero. La propiedad es válida para una esfera (o cubo de un espacio euclídeo En de cualquier dimensión n, de donde resulta que si V es una bola abierta de En y se considera el complejo que resulta de una triangulación arbitraria de la misma, para todo grupo abeliano A, la sucesión de flechas0->A->CO(V; A) d---> CI(V; A) d ~C2(V; A)-->..., (1)en donde las dos primeras flechas son las inclusiones canónicas y d es la flecha coborde, tiene la propiedad de que la imagen de una flecha es igual al núcleo de la siguiente, lo que se expresa diciendo que la sucesión (1) es una sucesión exacta. La sucesión (1) da lugar a otra sucesión exacta de haces sobre cualquier variedad topológica n-dimensional, que se construye del modo natural siguiente: sea X una variedad topológica n-dimensional (en particular puede ser una variedad diferenciable, analítica real o analítica compleja) y A un grupo abeliano arbitrario. Sea U;; E l un recubrimiento de IXI mediante abiertos homeomorfos a bolas de Rn. Asignando a cada abierto U; el grupo constante A se define un prehaz que es haz, y que se llama el haz constante S(A).

Si a cada U¡ se le asigna el grupo Cr(V;; A), siendo V; la esfera homeomorfa a U;, se obtienen los haces Sr(A) y la sucesión exacta (1) da lugar a la sucesión exacta de haces:0 --i S(A) -> SO(A) d i SI(A) ----> ...,(2) que se llama resolución del haz constante S(A).

En el caso de las variedades diferenciables o analíticasx=(f.xl, F)(en donde supondremos ahora que F es un haz de funciones de clase infinito), los fibrados de covectores o formas diferenciables son, como se comprueba fácilmente, haces sobre X. Designemos por EX al haz correspondiente al fibrado(n T*(X), X, n), rcon lo que resulta la familia de haces:EX =F,EX=(T*(X), X, 7r), ..., EX=(l T*(X), X, 7r), ... rEntre estos haces se pueden definir unas flechas, llamadas diferenciación exterior y designadas por d, del siguiente modo: para todo punto x E IXJ, un elemento arbitrario w(x) de la fibra EX, x es de la forma:cw(x)=fi(x) dx; A ... A dxi,i=(i, --ir), i<.?