Superficies

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Matemáticas

INTRODUCCIÓN. Se puede considerar una s. como el lugar geométrico de los puntos que limitan una porción de espacio; intuitivamente es la configuración externa de un cuerpo (v. 1i). (En el lenguaje corriente se identifican generalmente áreas y s., aunque la primera signifique la medida de una s. y no la s. misma.)1. Tipos principales de superficies. Generalmente se distinguen las siguientes clases de s.: 1) reglada, engendrada por el desplazamiento de una recta (las diferentes posiciones de la recta que genera la s. son las generatrices de dicha s.); 2) plana, que puede contener una línea recta en cualquier posición; 3) desarrollable, que es la reglada que tiene sus generatrices tangentes a una misma curva: una s. desarrollable admite el mismo plano tangente en todos los puntos de una generatriz; 4) de revolución, la generada por la rotación de una curva "rígida" alrededor de un eje; 5) curva, cuya configuración estructural no está formada por superficies planas; 6) cónica, la generada por una línea recta que se mueve de forma continua pasando por un punto fijo y teniendo por directriz una curva; 7) cilíndrica, la curva generada por una recta que se mueve quedando siempre paralela a una misma dirección; 8) alabeada, la reglada que no es desarrollable como la conoide.

A continuación se da una serie de relaciones de elementos de distintas figuras:Triángulos: 1) Triángulo rectángulo (en lo que sigue: S =área, r =radio del círculo inscrito, R =radio del círculo circunscrito).

A+B+C=90° cZ=az+bz (igualdad de Pitágoras) a= J(c+b) (c-b)SUPERFICIES I1 S=-a.b 2ab1 r_a+b+c R 2 c ab b2 h=-, m=c c2) Triángulo equilátero A=B=C=60° 1S=- a2,V 3 4r= 6 aJ3, R=3 aJ3 1h=-av13. 23) Triángulo (caso general). Sea s=z(a+b+c), hr= =longitud de la altura sobre el lado c, tc=longitud de la bisectriz del ángulo C, m,-longitud de la mediatriz en el lado c.

A+B+C=180° C=a2+b2-2ab cos C (ley de los cosenos). 11 C sen A sen BabcS=- h,C= 2 ab sen C=2 sen C=r.s 4R_ ~/s(s-a) (s-b) (s-c) (fórmula de Hyeron).

A BC ab sen Cr= c sen 2 sen 2 sec 2 = 2s ==(s-c) tag C (s-a) (s-b) (s-c)2 s S A B C =-=4R sen - sen - sen -;s 2 2 2c. abc abcR= = =2 sen C 4^í s(s-a) (s-b) (s-c) 4S 2Sh,=a sen B=b sen A=-,c2ab C c2t` a+b cos 2 - ab 1 (a+b) 2Teorema de Menelau. Una condición necesaria y suficiente para que los puntos D, E, F, sobre los respectivos lados BC, CA, AB de un triánguloABCsean colineales es que BD.CE.AF=-DC EA -FB.

Teorema de Ceva. Una condición necesaria y suficiente para queAD, BE, CF,donde D, E, F son puntos sobre los lados respectivos BC, CA, ABde un triánguloABC,sean concurrentes en un punto es que BD. CE . AF=DC - EA . FB.

Cuadriláteros. (En lo que sigue: S=área, p y q son las diagonales.)RectánguloA=B=C=D=90° S=ab, p=.,la2+b2. ParalelogramoA=C, B=D, A+B=180° S=bh=ab sen A=ab sen B h=a sen A=asen Bp= ~,la2+b2-2 ab cos Aq= ~la2+b2-2ab cos B= %Ia2+b2+2ab cos ARombop2+q2=4a2 1S=2pqTrapeciom= - (a+ b)S= 2 (a+ b) h-mhCuadrilátero (caso general). Sea s=l-(a+b+c+d) 1 1S= 2 pq sen B= 4 (b2+d2-a2-C) tag 9= 1= 4 Jp2g2-(b2+d2-a2-c2)= (s-a) (s-b) (s-c) (s-d)-abcd cose A+By ( 2 Teorema. Las diagonales de un cuadrilátero con lados (consecutivos) a, b, c, d son perpendiculares si y sólo si a2+c2=b2+d2.

Cuadrilátero inscrito. Sea R el radio de la circunferencia que le circunscribe.

A+C=B+D=180°S= J(s-a) (s-b) (s-d)= (ac+bd) (ad +bc) (ab +cd) y 4R (ac+bd) (ab +cd)p ad+bc 4-y (ac+bd) (ad +bc) ab+cd1 Y (ac+bd) (ad +bc) (ab +ed) R 2 (s-a) (s-b) (s-c) (s-d) 2Ssen 9=ac+bdPolígono regular. (En lo que sigue: n=número de lados, s=longitud de cada lado, p=perímetro, B=uno de los ángulos en los vértices, r=radio de la circunferencia inscrita, R=radio de la circunferencia circunscrita, S= =área.)n-28= 180° n )180° 180° s=2r tg=2R sen- n np=ns,1 180° 180° 1360°S=- ns2 cotg =nr2 tg _- nR2 sen4 nn 2 n 1 180°r=- s cotg - 2 1 180° R=- s cos2 nSi sk denota el lado de un polígono regular de k lados inscrito en un círculo de radio R, entoncesSi Sk señala el lado de un polígono regular de k lados circunscrito en un círculo de radio r, entonces2rsns2? = - 2r+-,/4r2+S2Si Pk y Pk señalan respectivamente los perímetros de polígonos regulares de k lados inscritos en, y circunscritos alrededor de un mismo círculo, entonces2PnPnP2n= Y PU = N/ PnP2n Pn + Pny si ak y Ak son las áreas respectivas de dichos polígonos, entonces2a2nAna2n= ~anAn Y A2n=a2n+AnCírculos. (En lo que sigue: R=radio, D=diámetro, C= circunferencia, S=área.)Cincunferencia y área del círculo.

C=27rR=77D (7r=3,1415.9265.3589...) 1S=7rR2= 4 7TD2=0,7854D2 2SC= 2,,/ 7rS=RC2 1 S_7r 2 CR. 4Sector y segmento circular. El ángulo central 0 se medirá en radíanes (0 < 7r).

h=R-d, d=R-h s=RBB 1 0 1d=R cos 2= 2 c cotg 2=2 ,/4R2-c2 0 ec=2R sen 2=2d tg 2=2 -,/ R2-d2= ~l4h(2R-h); s d c c o=?2 =2 cos-1 R =2 tg-1 2d-2 sen-1 2R1 1S (sector) =2 Rs=2 R201 1S (segmento) =2 R2 (0-sen 9)= 2 (Rs-ed)= d=R2 cos-1 --d%1R2-d2= R=R2 C06-1 RR h -(R-h),,l2Rh-h2. Sector de un anillo.

h=Ri-R21 1 1S=2 0(RI+R2)(R1-R2)=29h(RI+R2)=2h (si +s2). Secciones cónicas. Elipse. Sea P=perímetro, S=áreaa2+b2S=aab, P=27r 2 =4aE(donde E es una integral elíptica con valores tabulados) conE(k, (P)_ ~/(1-k2 sen2 ~) do (O=sen-1 k) 0yE(k, ii?) =2E, E(k,

2 109e 2x+ 2s = 4x2 + y2 +2x ge 1 yPara el segmento recto se tiene 4 S= 3 xy y para el oblicuo4 S= 3 T,donde T es el área del triángulo con base a lo largo de la cuerda del segmento y con vértice opuesto en el punto sobre la parábola, en la cual la tangente a la misma es paralela a la cuerda del segmento.

Sólidos limitados por planos. (En lo que sigue: S= =s. lateral, T=s. total, V=volumen.)Cubo. Sea a=longitud de cada arista T=6a2, longitud de las caras=aN/2 V=a3, la diagonal del cubo=a,/3.

Paralelepípedo rectangular. Sea a, b, y c las longitudes de sus aristas.

T=2(ab+bc+ca), V=abc, la diagonal vale,,la2+b2+c2Prisma.

S=(perímetro de la sección recta) x (arista lateral) V=(área de la sección recta) x (arista lateral)= =(área de la base) x (altura).

Prisma triangular truncado.

1V=(área de la sección recta) x 3 (suma de las tres aristas laterales). Pirámide.

1S. de la pirámide regular= 2 (perímetro de la base) x x (arista lateral)1V= 3 (área de la base) x (altura).

Tronco de pirámide. Sea B1=área de la base inferior, B2=área de la base superior, h=altura.

S. de figura regular= 1 (suma de los perímetros de las bases) x (arista lateral).

1V= 3 h(Bl+B2+%IBIB2).

Poliedros regulares. Sea v=número de vértices, e=número de aristas, /=número de caras, a=cada ángulo diedral, a=la longitud de cada arista, r=radio de la esfera inscrita, R=radio de la esfera circunscrita, A=área de cada cara, T=área total, y V=volumen.

La fórmula de Euler-Descartes (válida para cualquier poliedro convexo) es:v-e+f=2. T=fAV= 3 rfA= 3 rT.

(V. cuadros de características de los poliedros regulares en página siguiente.)Cilindros y conos. En lo que sigue: Bl=área de la base inferior, B2=área de la base superior, h=altura, S=s, lateral, T=s. total, V=volumen.

Cilindro.

S= (perímetro de la sección recta) x (arista lateral) V=(área de la sección recta) x(arista lateral) Cilindro circular recto. Sea R el radio de la base. S=27rRh, T=27rR(R+h), V=aR2h. Cono.

1V= 3 B1h.

Cono circular recto. Sea R=radio de la base, s=generatriz.

s= ~IR2+h2 S=aRs=7rR N/Rz+h2 T=7TR(R+s)=7rR(R+ VR2+h2) 1V=- 7rR2h. 3Tronco de cono.

1V= 3 h(B1+B2+,1B1B2)Tronco de cono circular recto. Sea Rl=radio de la base inferior, R2=radio de la base superior, s=arista.

s= %I(Rl-R2)2+h2S=7r(Rl t R2)s=7r(R1+R2),vl(R1-R2)2+h2 T=7r[R2 +RZ +(R1 +R2)s] _ =7r[R¡+RZ+(R1+ R2)%I(R1-R2)2+h2] 1V= 3 7rh(R2+R2+RjR2).

Figuras esféricas. En lo que sigue: R=radio de la esfera, D=diámetro de la esfera, S=área de la superficie, V = volumen.

D=2RS = 47rR2= 7rD2=12,5 7 R2 4 1V= 3 7rR3= 6 7rD3=4,189 R3SUPERFICIES 1Zona y segmento de una base. S=27rRh=7TDh=7rp2 11V= 3 7rhz(3R-h)= 6 7rh(3az+h2). Zona y segmento de las bases.

S= 21TRh = 7rDh 1V= 6 7rh(3az+3bz+hz)Luna.

S=2RZB, B en radianes.

Sector esférico.

21 V=- 7rRzh=- 7rDzh. 36Toro circular. Está formado por la rotación de un círculo alrededor de un eje en el plano del círculo y que no le corta.

S=47r2Rr V = 2ar2Rr2.

Teorema de Pappus-Guldin. El área de la s. engendrada por una curva plana al girar alrededor de un eje de su plano, que no la corta, es igual al producto de su longitud 1 por la longitud 27rc de la circunferencia descrita por su baricentro.

Baricentro. Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el baricentro de la figura. Si una figura geométrica posee un eje de simetría, el baricentro de la figura se encuentra sobre este eje.

2. Características generales de una superficie. En geometría analítica, una s. viene definida por una relación funcional entre las tres coordenadas de un punto del espacio. Según la forma de esta ecuación, las s. pueden clasificarse en algebraicas (y éstas según el grado de la ecuación) y trascendentales. Algunas veces se pueden expresar partiendo de la ecuación explícitamente resuelta respecto a z, de la siguiente forma z=(P(x, p).

Una s. puede también ser dada en forma paramétrica, mediante tres ecuaciones de la forma:x=

Los dos parámetros u y v se llaman coordenadas de Gauss de la superficie.

El estudio de una s. puede hacerse desde diferentes perspectivas. Puede estudiarse, p. ej., la forma de la s. en los alrededores inmediatos de un punto. Los puntos de una s. pueden clasificarse en tres categorías: elípticos, hiperbólicos y parabólicos. En el intervalo próximo a un20SUPERFICIES I - 11punto elíptico existe un trozo de s. que se encuentra toda ella al mismo lado del plano tangente en dicho punto; en caso de un punto hiperbólico, el plano tangente corta a la s.; el punto parabólico corresponde a una forma intermedia.

Todos los puntos de un elipsoide son elípticos, los de un hiperboloide de una hoja son hiperbólicos; sin embargo, en uni toro hay puntos de las tres clases. La otra forma de estudiar las s. es mediante las curvas trazadas sobre ellas. Entre dos puntos suficientemente próximos de una s. pueden trazarse una geodesia (es la más corta de las líneas que unen ambos puntos y que está contenida en la s.) y sólo una. En todo punto existen dos direcciones principales: aquellas para las cuales las secciones normales tienen en este punto una curvatura extrema. Las curvas que permanecen tangentes a estas direcciones son las líneas de curvatura. Mediante estas curvaturas principales pueden definirse las curvaturas de la s.: La curvatura de Gauss se puede definir por su producto; la curvatura media, por su suma. Gauss (v.) fue el primer matemático en demostrar mediante su theorema egregium que la primera de dichas curvaturas es un invariante isométrico, es decir, un invariante para todas las deformaciones de la s. que no alteren la longitud de los arcos de curva que pueden trazarse en ella.

V. t.: GEOMETRÍA IV y V.

J. A. BUJALANCE.

BIBL.: S. BALDASSARM GHEZZO, Introduzioni al Metodi della Geometría Algebraica, Roma 1967; S. LANG Introduction to Algebraic Geometry, Nueva York 1958; A. WEIL, Foundations of Algebraic Geometry, "An. Math. Soc." (1962); S. KOBAYASHI y K. Nomlzu, Foundations of Diferential Geometry, Nueva York 1963; P. ABELLANAS, Geometría básica, Madrid 1969; 1. D. STRUIK, Geometría diferencial clásica, Madrid 1966.