Proporción, Teoria de la

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Matemáticas

Noticia histórica. La t. de las p. es el origen del capítulo más importante de la matemática actual: el Álgebra lineal. En las matemáticas babilónica y egipcia aparecen ya algunas p. particulares, pero se debe a los griegos la construcción de la teoría más perfecta de todas las elaboradas por ellos: la t. de las p., magistral y definitivamente expuesta en el quinto libro de los Elementos de Euclides (v.), aunque es sabido que la monumental obra de Euclides se considera hoy día como una síntesis de los conocimientos de la época, posiblemente compuesta por varios autores, y que las ideas del quinto libro se atribuyen a Eudoxio. Con la invención del álgebra y del análisis infinitesimal se perdió el significado de la t. de las p., hasta finales del siglo pasado y principios del actual en que Dedekind y Hilbert volvieron a valorar el quinto libro de Euclides. En las exposiciones didácticas del último siglo se han mezclado de modo tan arbitrario y confuso las ideas, que ha llegado a parecer que tal concepto era innecesario y arcaico en nuestros días.

La magnitud segmento. La t. de las p. se puede desarrollar para cualquier magnitud, pero resulta más clara si se precisa para una de ellas, por lo que vamos a referirnos a la magnitud segmento. Sea S el conjunto de todos los segmentos del espacio. Un segmento es el conjunto de todos los puntos de una recta comprendidos entre dos de ellos, ambos incluidos, llamados extremos del segmento. En el conjunto S se define la siguiente relación (V. ÁLGEBRA):

s R t,

cuando existe un movimiento del espacio que transforma el segmento s en el segmento t. La relación R es una relación de igual y define un conjunto cociente

1 = S/R,

llamado conjunto de los segmentos generales absolutos (en lo que sigue: s.g.a.) y a sus clases se las llama s.g.a. Al s.g.a. que contiene al segmento a se le designa por [a] y se dice que el segmento a es un representante del s.g.a. [a]. En 1, como en todo conjunto cociente respecto de una relación de igualdad, se verifica la siguiente proposición: I.

[a] = [b]

equivale a:

a R b.

Además se verifica la proposición: II. Para todo par [a] ,[b] de s.g.a. existen representantes consecutivos

AB E [a]yBC E [b]

(dos segmentos son consecutivos cuando pertenecen a la misma recta y su intersección es un extremo de cada uno de ellos). Mediante estos dos teoremas se puede definir en E la estructura de semigrupo (I.c.) del siguiente modo: para todo par [a], [b] de s.g.a. se llama suma y se designa por

[a] + [b]

al s.g.a. [AC], siendo

AB E [a],BC E [b]

y AB y BC consecutivos. 5, con la operación +, es un semigrupo conmutativo, llamado magnitud segmento.

Proporcionalidades. Se considera el producto (I.c.) ! X l. Cada elemento ([a], [b]) de este conjunto define una correspondencia (v.) entre Y. y 1, del siguiente modo: sean r y s (fig. 1) dos rectas secantes arbitrarias; sea

OA E [a],OB E [b]

A todo s.g.a. [x] se le hace corresponder el s.g.a. [OY] construido del siguiente modo: se toma

OX E [x]

en la recta OB; por X se traza la paralela a AB; el punto Y es el punto de intersección de esta paralela con OA. Esta correspondencia, que se designa con ([a], [b]) es una aplicación (v. ÁLGEBRA) de Y sobre 1, y es un homomorfismo respecto de la estructura de semigrupo, llamado proporcionalidad. El postulado de Pappus (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS v) permite dar otra definición equivalente de proporcionalidad. Se toman ahora los representantes de [a] y [b] en la misma recta (fig. 2) y el representante OX de [x] en la segunda recta; el punto Y es la intersección de la paralela a BX, trazada por A, con la recta OX.

Proporción. Siendo las proporcionalidades aplicaciones, se define la igualdad de proporcionalidades como igualdad de aplicaciones: dos proporcionalidades son iguales cuando producen el mismo efecto. Al conjunto cociente del conjunto Y X Y de las proporcionalidades respecto de esta relación de igualdad, que designaremos por 1, se le llama conjunto de las razones en E, y a sus clases razones. A la clase que contiene al par ([a], [b]) se la designa [a]/[b]. En el conjunto

R=1 x III

de las razones se verifican estas dos proposiciones: I.

[a] / [b] = [c] / [d]

es equivalente a

([al, [b]) I ([c], [d])

,y esto es equivalente a: AB paralela a CD, siendo (fig. 3)

OA E [a],OB E [b],OC E [c]yOD E [d].

Dos razones iguales forman una proporción. II. Dada una razon [al/[b] y un s.g.a. [c], existe un único s.g.a. [d] tal que

[a] / [b] = [c] / [d]

El s.g.a. [d] se llama cuarta proporcional entre los segmentos [a], [b] y [c]. La teoría de la semejanza en el plano y en el espacio se desarrolla ahora sin dificultad a partir de estos conceptos. La teoría de la proporcionalidad se puede extender a la magnitud segmento general relativo. Para ello se considera el conjunto y en él se define la relación de igualdad R del siguiente modo:

([a], [b]) R ([c], [d])

equivale a

[a] + [d] = [b] + [c].

El conjunto cociente (v. ÁLGEBRA)

x !IR,

que designaremos de nuevo por Y, es la magnitud segmento relativo. Cada segmento general relativo se puede representar en la forma [a] o -[a], siendo [a] un segmento g.a., lo que permite extender fácilmente la teoría de la proporcionalidad a la magnitud s.g.r.

PEDRO ABELLANAS.

BIBL.: No aplica.