Número I. Matemáticas: B. Teoría de los Números.

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Matemáticas

Se puede considerar que la teoría de los n. nace con los problemas de la divisibilidad de n. naturales (v. A), siendo los griegos los primeros que llegan a obtener proposiciones de carácter general sobre la misma, especialmente en los libros VII y IX de Euclides (v.). La contribución posterior a la teoría de las ecuaciones diofánticas se debe a los chinos e indios de la Edad Media. El desarrollo moderno de la teoría de los n. comienza con Fermat (v.), Euler (v.), J. L. Lagrange (v.) y Gauss (v.), siendo este último, en su Disquisitiones Arithmeticae, quien se puede considerar como el creador de lo que actualmente se conoce bajo tal nombre. Es a Dedekind (v.), al final del s. XIX, a quien se debe la construcción actual de la teoría algebraica de n., en una exposición unificada con la teoría de funciones algebraicas de una variable, y como aportaciones fundamentales actuales deben citarse la de H. Hasse, A. Weil y Z. I. Borevich e I. R. Shafarevich.

La teoría elemental de la divisibilidad en el semianillo de los n. naturales y, posteriormente, en el anillo de los enteros (v. A) constituye el germen de la actual teoría de los n., por lo que suponemos que el lector conoce el contenido del citado artículo.

Una rama de la teoría de la divisibilidad es la de congruencias. Se dice que el n. entero a es congruente con b módulo m cuando

a-b E (m).

La relación de congruencia es una relación de equivalencia en Z, por lo que se puede formar el conjunto cociente Z/(m). En este conjunto se define una adición de la forma

(x +(m)) + (Y +(m)) =x +y + (m), y una multiplicación según la cual

(x+(m)) (y+(mp=xy+(m), con lo que Z/(m) adquiere la estructura de anillo conmutativo, llamado anillo de clases de restos módulo m. Este anillo puede tener divisores de cero (v. ÁLGEBRA, 10); Z/(m) entero es equivalente a ser m primo; en este caso

el anillo Z/(m) es un cuerpo, llamado cuerpo primo de característica m.

El subconjunto de Z/(m) formado por todas las clases a+(m) tales que a y m sean primos entre sí es un grupo multiplicativo abeliano, llamado el grupo primo de clases de restos módulo m. A1 orden de este grupo se le designa por

Se puede enunciar ahora el siguiente teorema (pequeño de Fermat): Si a es un elemento arbitrario del grupo primo de clases de restos módulo p, se verifica que

a5P(na) - 1 mód. m

Si a tiene el significado anterior, existe un n. natural k que es el mínimo exponente tal que

ak - 1 mód. m

A k se llama el exponente de a módulo m y es igual al orden de la clase de restos de a en el grupo primo de la clase de restos módulo m. La función de Euler verifica las relaciones:

m

(p(d)=m,(1)

da- d

en donde d/m significa que d es divisor de m. La igualdad anterior es un ejemplo sencillo de ecuación funcíonal en teoría de los n.

Fórmula de inversión de Mábius: Si f y g son dos funciones numéricas, las ecuaciones funcionales:

f(d)=g(m)

y

Lidd ) g(d)=f(m), d/?:

son equivalentes, en donde l1,(m)=(-1 )r

cuando m=pi,..., pr esla descomposición factorial de m, siendo además todos los factores primos p; distintos entre sí, y (m)=0 en cualquier otro caso, salvo

¡.c(1)=1.

La función t. se llama función de MSbius.

Aplicando la fórmula de inversión de Móbius a (1) se obtiene:

siendo PI, ..., Pr todos factoresprimos de m.

El grupo primo de clase de restos módulo m desempeña un papel importante en la teoría elemental de n. En él se plantea el siguiente problema: si a+(m) pertenece a dicho grupo, ¿cuándo tiene solución dentro de él la congruencia

x2 =-a mód. m?

Cuando la congruencia en el contexto de la pregunta tiene solución se dice que a es tin resto cuadrático. Este problema ha dado lugar a la teoría de restos cuadráticos.

La teoría elemental de n., como puede verse en lo que antecede, trabaja en el anillo Z de los n. enteros y en su cuerpo de fracciones Q, pero el desarrollo más importante de la teoría se produjo al pasar al estudio de los n. algebraicos y de los n. algebraicos enteros. Un n. algebraico es todo n. complejo que es raíz de un polinomio con coeficientes racionales. El conjunto de todos los n. algebraicos es un cuerpo K que contiene al cuerpo Q de los n. relacionales y está contenido en el cuerpo C de los n. complejos. Un n. algebraico se llama entero cuando es raíz de una ecuación de la forma:

xi,+atxi,+...+ao=0,(11 con coeficientes racionales y el primer coeficiente igual a 1, a polinomios como el (1) se les llama mónicos. El

conjunto de todos los n. algebraicos enteros es un anillo, que contiene al anillo Z de los n. racionales enteros, llamado anillo o de los n. algebraicos enteros. El cuerpo K es el cuerpo de fracciones de o. Al intentar extender a o la teoría de la divisibilidad de Z apareció históricamente el concepto de ideal, que se ha empleado anteriormente en Z. Entonces, si a y b son dos ideales de o, a D b equivale a a divide a b, o bien Si a+ b es el menor ideal que contiene a a y b,a+b es el m.c.d. de a y b y a íl b es el m.c.d. de a, b (v. 1, d). El concepto de n. primo de Z da lugar al concepto de ideal primo de o, esto es, p es un ideal, primo cuando o/P es un anillo entero o dominio de integridad (v. ÁLGEBRA, 10). En cualquier caso, es decir, para cualquier ideal a de o, el anillo o/a consta siempre de un n. finito de elementos; a este n. se le llama norma del ideal a y se designa por Na, esto es:

Na=cardinal (o/a).

Los ideales de o no son todos principales, como ocurría en Z, de aquí que se ocurriera definir en o la siguiente relación de equivalencia:

a R b q (a)a=(f3)b,

en donde (a) y (a) son los ideales engendrados por a y /3, respectivamente. La relación R produce una partición en el conjunto de los ideales de o y a cada parte se le llama una clase de ideales. El estudio de estas clases constituye una parte de la teoría de los n.

Aun cuando las obras anteriores de Gauss y otros matemáticos aportaron importantes contribuciones a la teoría de los n. es Dedekind quien consiguió la organización completa de la misma en su estructura actual, especialmente en su aspecto algebraico. Pero también se debe a 61 la consideración de la siguiente función:

P(S)=

NpS 1(2)

:PC 0

en donde la suma está extendida a los infinitos ideales primos de o. La serie (2) es convergente para s > 1, y si se consideras como variable compleja,

s=x+iy, la serie es absolutamente convergente para x > 1 y define una función que lleva el nombre de función zeta de Dedekind. La aplicación más importante de esta fun

ción es para calcular el número de clases de ideales de algunos subcuerpos del cuerpo K, tales como, los cuerpos ciclotómicos y los cuadráticos. La introducción y el empleo de éstas y otras funciones analíticas de variable compleja en la teoría de los n. ha dado lugar a la llamada teoría analítica de números.

PEDRO ABELLANAS.

BIBL.: E. LANDAU, Einführung ín die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und Ideale, Nueva York 1949; H. HASSE, Vorlesungen über Zahlentheorie, Berlín 1964; fi), Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Tehorie del algebraische Zahlkdrper, Würzburg-Viena 1965; Z. I. BOREVICH-I. R. SHAFAREYICH, Number Theory, Nueva York 1966; R. C. ARCHIBALD, An Introductíon to the theory of Numbers, Columbus (Ohio) 1970; M. N. HUXLEY, The Distribution of Prime Numbers, Nueva York 1972; S. LANG, Algebraic Number Theory, Reading (Mass.) 1970; (D, Algebraic Numbers, Reading (Mass.) 1964; C. LANDAU, Disphantísche Gleichungen mit endlich viede Lósungen, Leipzig 1959; E. ARTIN, Algebraic Numbers and algebraic functions, Nueva York 1967.