Número I. Matemáticas: A. Noción.

Categoria:

Matemáticas

1. Introducción. Históricamente, la idea de n. nace del concepto de correspondencia biunívoca o biyección entre conjuntos dé cosas materiales (v. CORRESPONDENCIAS). Dos conjuntos de objetos materiales entre los que se puede establecer una correspondencia biunívoca tienen el mismo n. de elementos. Como las correspondencias biunívocas entre tales conjuntos definen una relación de equivalencia (v. ÁLGEBRA, 2), el conjunto cociente correspondiente a esta relación proporciona la idea de n. cardinal (v. CONJUNTOS, TEORÍA DE, 6). Se presenta entonces el problema de buscar nombres orales y gráficos para estas clases de equivalencia, problema que se conoce con el nombre de sistemas de numeración. Cuando los n. que se manejan son pequeños, el problema no ofrece dificultad, ya que se pueden emplear signos distintos para cada uno de ellos; pero, a medida que se hace necesario utilizar n. grandes, se precisa inventar unas reglas que permitan conseguirlo mediante el empleo de pocos signos o palabras. Se presenta entonces uno de los problemas permanentes de la Matemática: la notación.

El empleo de una notación adecuada permite desarrollar la teoría de que se trate. En el caso de los sistemas de numeración, la idea más importante fue la de emplear unidades de diversos órdenes; este sistema de unidades n I ,U2,....Un,...

se elegía de modo que cada unidad fuese un múltiplo de la precedente y esto aparece ya en los sistemas de numeración empleados por los babilonios en el II milenio a. C. En algunos casos, el signo utilizado para designar a los múltiplos nuc dependía de n y de i, tal era la situación en los sistemas de numeración egipcios, griegos y romanos; siendo curioso observar que muy anteriormente a ellos los babilonios utilizaron ya el mismo signo para designar a todos los n. de la forma n 60i, cualquiera que fuere el exponente i. Pero esta notación babilónica resultaba confusa, como consecuencia de carecer de un signo que indicase la carencia de unidades de un cierto orden, hacia el 200 a. C. aparece el signo correspondiente al cero para indicar la falta de una unidad de un cierto orden en el sistema de numeración babilónioo. Parece ser que el uso del cero en los sistemas de numeración aparece en los primeros siglos de nuestra Era en la numeración hindú y en la civilización maya. Es la numeración hindú, introducida en Europa por los árabes, el origen del sistema de numeración decimal actual (v. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL).

2. El número natural. La introducción rigurosa del concepto de n. natural, siguiendo su origen histórico, presenta dificultades debido a la necesidad de definir previamente el concepto de conjunto finito; por ello, una de las definiciones más utilizadas actualmente del concepto de n. natural es la debida a G. Peano, expuesta en su Arithmeticae Principia, novo methodo exposita, Turín 1889, y de la que vamos a dar a continuación una versión más o menos libre.

Existe un conjunto N, no vacío, llamado conjunto de los n. naturales, y a cuyos elementos se les llama n. naturales que verifica los siguientes axiomas:

Pi. Existe una aplicación inyectiva N S > N,

tal que a cada n. natural x E N le hace corresponder el n. s(x) E N,

que no es suprayectiva (v. CORRESPONDENCIAS).

P2. Si M E N es tal que:1° M contiene un elemento a que no pertenece a la imagen de la aplicación s. 2,1 Si x E M, implica

s(x) E M.

Entonces se verifica que

M=N.

Consecuencias de la definición anterior: 1) Existe un único elemento que no pertenece a la imagen de s. A este elemento se le designa por 1.

2) Si a cada n. natural n se le asocia una proposición P(n) y se verifica que P(1) es verdadera y si P(n) lo es, también lo es P(s(n)), se verifica entonces que todas las proposiciones P(n) son verdaderas. Esta propiedad se conoce con el nombre de principio de inducción completa. 3) Para todo n E N se verifica que

s(n) 0 n.

Demostración de 1): si a y a’ son elementos de N que no pertenecen a im(s), por P2 se verifica que

N=a, s(a), s2(a), ..., sr(a), ...

en donde todos los elementos, excluido el primero, pertenecen a im(s), luego

a’= a.

Demostración de 2): Sea Q el subconjunto de los n. N para los que se verifica que P(n) es verdadera. Como 1 E Q y si n E Q se verifica que

s(n) E Q,

en virtud de P2 es

Q=N.

Demostración de 3): Sea Q el conjunto de todos los n. naturales n, tales que

s(n) A n.

Se verifica entonces, en virtud de (1), que 1 E Q; luego si nEQys(n) (PQ

sería

s2(n) =s(n),

de donde, por PI,

s(n)=n,

se tiene una contradicción, luego s(n) E Q y par 2)

Q=N.

En N se definen dos operaciones (v. ÁLGEBRA 4) binarías internas, llamadas adición y multiplicación y designadas por -E- y -, respectivamente, del siguiente modo: Definición de adición. La adición es una aplicación .-I-: NxN~N

tal que:

i) Para todo x E N,

1 +x=s(x).

fi) Para todo par x, y de N, s(x)+y=s(x+y).

Definición de multiplicación. La multiplicación es una aplicación

NXN -!-> N

tal que:

i) Para todo x E N

1 . x=x

fi) Para todo par x, y de N, se verifica que s(x)?y=x?y+y

A partir de estas definiciones se demuestran las siguientes propiedades:

a) La adición existe y es única.

b) La adición es asociativa, esto es, para toda terna x, y, z de N se verifica que

(x+y)+z=x+(y+z)

c) La adición es conmutativa, esto es, para todo par x, y E N, se verifica que

x+y=y+x

d) La adición es cancelativa esto es, de x+zy=z+y

se deduce que

x=z.

e) La multiplicación existe y es única.

f) La multiplicación es asociativa, esto es, para toda terna x, y, z de números naturales se verifica que x(yz)=(xy)z

g) La multiplicación es conmutativa, esto es, para todo par x, y de n. naturales se verifica que

xy=yx

h) La multiplicación es cancelativa, esto es, de xy=zy

se deduce que

x=z

k) La multiplicación es distributiva respecto de la adición, esto es, para toda terna x, y, z de n. naturales se verifica que:

x(y+z)=xy+xz

Dados dos n. naturales x e y, se dice que x es menor que y, y se escribe x < y cuando existe otro n. natural z, tal que

x+z=y

Mediante la relación de desigualdad < se define una relación de orden (v. ÁLGEBRA, 2), que se designa por del siguiente modo:

x,< y o x=y

La relación 5 es una relación de buena ordenación, - esto esto significa que dicha relación verifica los postulados siguientes:

01. Para todo n. natural x es x’<x

02. Si se verifica x,

03. Sí x,<x

Esta ordenación de los n. naturales posee las siguientes propiedades:

a) x,

b) x

= ’< yz,

para todo n. natural z.

c) x

Ox+z,

mente, m.c.m. (a, b)=al producto de todos los factores

primos que figuren en a o en b elevados a los mayores exponentes. Si m.c.d. (a, b)=d y m.c.m. (a, b)=m y a=a’d

b=b’d

se verifica que

m=a’b’d=ab’=a’b

y

ab=md.

Dos n. a y b se llaman primos entre sí cuando m.c.d. (a, b)=1. Dos n. primos distintos son siempre primos entre sí.

Si p es un n. primo, y se verifica que ab E (P)ya T (p) es necesario entonces que

b E (p)

o dicho de otra forma: si un n. primo es divisor del producto de dos n. y es primo con uno de ellos divide al otro. De esta proposición se deduce esta otra: si un n. divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, divide al otro.

5. El número entero. El conjunto de los n. naturales no es simétrico respecto de la adición ni de la multiplicación; esto significa que dado un n. natural a, no existe siempre otro a’ tal que

a+a’=0

ni otro a" tal que

En muchos problemas es preciso disponer de conjuntos de n. con estas propiedades, de aquí la necesidad de la simetrización de N respecto de la adición.

Este proceso de simetrización se presenta en muchas situaciones análogas, y para realizarlo puede procederse así: en el conjunto -NXN se define una relación R de la siguiente forma:

(a, b) R (c, d)es equivalente aa+d=c+b.

La relación R así definida es una relación de equivalencia que produce una partición en N X N. Al conjunto cociente de N X N respecto de R se le designa por Z y se llama conjunto de los n. enteros:

Z=N x N/R.

Se puede definir una aplicación natural N `~Z

del siguiente modo:

siendo[n+l, 1]la clase que contiene al par (n +1, 1). La aplicación i es inyectiva (v. CORRESPONDENCIAS), ya que si

[n+1, 1]=[m+1, 1],

sería

n+2=m+2,

de donde n=m. Por consiguiente, se puede identificar el conjunto N con el conjunto im(i), lo que equivale a poner n=[n+1, 1].

Ahora bien, si [m, n] es un n. entero arbitrario, se verifica una, y sólo una de las tres relaciones siguientes:

m>n, m=n, m

[m, n]=[m-n+l, 1]=m-n+1, en el segundo es

[m, ni =[m, m]

y en el tercero es

[m, ni =[l, n-m+1];

a la clase [m, m] se la designa con el signo 0 y se llama n. cero; a la clase [1,n-m+1] se la designa con s-(n-m+1) y se llama n. negativo; a los n. [n+l, 1] se les llama n. positivos. Resulta, por tanto, que si designamos por Z+, Z- y 0 a los conjuntos formados por los n. enteros positivos, negativos y el cero, respectivamente, se ha obtenido la siguiente partición de Z:

Z=Z+ U Z- U 0.

Operaciones con números enteros. Se llama suma de los n. enteros [a, b] y [c, d] al n.

[á, b]+[c, di =[a+c, b+d].

Se llama producto de los n. enteros [a, b] y [c, d] al n. [a, b] [c, di =[ac+bd, ad +bc]..

De esta definición se deducen las siguientes propiedades:

I) La adición y la multiplicación de n. enteros son operaciones binarias internas de Z.

II) La adición y la multiplicación de n. enteros son asociativas.

III) La adición y la multiplicación de n. enteros son conmutativas.

iv) El elemento neutro de la adición es 0=[m, rn],

esto es, para cualquier n. entero x se verifica que x+0=0+a:=x.

v) El elemento neutro de la multiplicación es el 1=[n+l, n]=[2, 1],

esto es, para todo n. entero se verifica que lx=xl=x.

vi) Para todo n. entero x se verifica que existe otro, designado por -x y llamado opuesto a x, tal que x+(-x)=0.

Se conviene en introducir la siguiente notación abreviada:

x+(-y)=x-y.(1) VII) La multiplicación es distributiva respecto de la adición, esto es, si a, b y c son tres n. enteros arbitrarios, se verifica que

a(b+c)=ab+ac.

Un conjunto A con dos operaciones binarias internas que posee las vii) propiedades anteriores se llama un anillo. Por consiguiente, el conjunto Z de los números enteros es un anillo (v. ÁLGEBRA 10).

Conviene observar que el signo - tiene aquí tres significados distintos: -a significa n. entero opuesto al n. entero a, pero -a sirve también para indicar que se trata de un n. negativo cuando a sea un n. natural y, finalmente, en (1) x-y significa la suma de x con el opuesto a y. De las propiedades iv) y vrr) se deduce: xy=x(y+0)=xy+x - 0

de donde

x0=0

y de

0=z0=x(y+(-y))=xy+x(-y) se deduce que

x(-y) _ -xy,

de donde

(-x) (-y)=-(-x)y=-y(-x)=-(-xy)=xy, lo que constituye la regla de los signos.

El conjunto de los n. enteros se ordena del siguiente modo: dados dos n. enteros x e y se dice que x

y-x E Z+ JU O.

Esta ordenación posee todas las propiedades de la ordenación de los n. naturales salvo Os. También son válidas las propiedades a) y b), esta última con la condición de ser z30, la c) para la adición y la c) para la multiplicación con la condición de ser

O<’z’<t.

6. Teoría aditiva elemental de la divisibilidad en Z. Si a es un n. entero, la aplicación

Z~z

definida por

a(x)=ax es una aplicación lineal, o proporcionalidad, y posee las

mismas propiedades que las proporcionalidades de n. naturales, esto es:

a(x+y)=a(x) +a(y), a(nx)=n - a(x),

siendo x, y y n n. enteros arbitrarios. Al conjunto im(a), que designamos por a), se le llama conjunto de los múltiplos de a y se dice que a es divisor de los n. de a). Obsérvese que los conjuntos a) y (-a) son iguales, por lo que se supondrá, al escribir a), que a sea positivo o cero.

El conjunto a) de los múltiplos de a tiene las siguientes propiedades:

I. Si x e y pertenecen a a) se verifica que ’ x-y E (a).

11. Si x E (a) y m es un n. entero arbitrario, mx E (a). A los subjuntos, I de un anillo A, que verifican las propiedades I y II se les llama ideales del anillo. Por tanto, el conjunto (a) de los múltiplos de un n. entero a es un ideal de Z. De I y 11 se deduce:

I’. Si x e y pertenecen a (a) se verifica que x+y E (a),

ya que

x+y=x-(-1)y.

Las condiciones I y II son equivalentes, en Z, a las condiciones I’ y II.

Una propiedad fundamental del anillo Z es la siguiente: i) Todo ideal 1 de Z es de la forma (d) siendo d E Z. En efecto, si 1 es un ideal de Z, como el conjunto de los n. positivos de Z es igual al conjunto de los n. naturales, posee la propiedad Os de la ordenación del conjunto de los n. naturales y, por tanto, el conjunto de todos los n. positivos de I poseen un elemento mínimo, que llamaremos d. De la definición de ideal resulta que .(d) C I.

Sea x un elemento arbitrario de I y sea x=qd +r, siendo

05r<d,

como qd E (d), son x y qd elementos de I, luego x-qd=r E I

y, por ser. d el elemento positivo mínimo, será r=0, luego

x=qd E (d),

lo que prueba que

IC(d)

y, por tanto,

I=(d).

Si

G=ai, ..., a,=

es un conjunto de n. enteros, el conjunto I formado por todas las sumas de la forma

xiai+... +xnan,

en donde xi, ..., x? son n. enteros es un ideal, que designaremos por

(al, ..., a?),

ya que

(xial +... +x?a,,)+(ylai +... +y?a?)= =(xi+y1)ai+...+(x,,+yn)an E (al, ..., a?)

y

z(xial +... +x"a") =(zxi)ai +... +(zxn)an

también pertenece a (al, ..., a,,). Este ideal se llama ideal engendrado por G, y G se dice que es un sistema de generadores de (al, ... an). Los ideales engendrados por un único elemento se llaman principales. El teorema i) se puede enunciar así: Todo ideal de Z es un ideal principal. Como consecuencia, existe un n. entero positivo d tal que

(al, ..., a?)=(d).(1) De (1) se deduce que

a¡ E (d),i=1, ..., n,

esto es, d es divisor de todos los n. a¡, i=1, ..., n. Si d’ es un divisor común a los n. al, ..., a,, se verifica que

a; E (d),i=1, ..., n,

de donde

(al, ..., a?) C (d’),

luego,

d E (d’),

luego d’ es divisor de d, por consiguiente, d es el mayor de los divisores comunes a los n. al, ..., an esto es, d es el máximo común divisor de

al, ..., a??

La igualdad (1) da lugar a la siguiente propiedad: Si d=m.c.d. (al, ..., an),

existen unos n. enteros bl, ..., bn, tales que

d=albl+... +a?b?.(2) La intersección de ideales de Z es otro ideal de Z. En efecto, sean II, ..., I, ideales de Z y sea

7=lin...nz,.

Se verifica que si x e y E I, será x e y E li,i=1, ..., r, luego

x-y E I¡

y, para todo n. entero z,

zx E h,

luego,

x-YE1 y zxE1. Ahora bien, en virtud de (i) se verifica que

(ai) n ... n (a,,)= (m),(3)

de donde

(m) C (a;),i=1, ..., nym E (a;),i=1, ..., n,

que prueba que m es múltiplo de todos los n. a;, i=1, ..., n. Si m’ es otro múltiplo común de todos estos n., será

m’ E(ai),i=1, ..., n,

luego,

m’ E (al) n ... n (a,,)=(m),

luego m’ es múltiplo de m, lo que prueba que m es el mínimo común múltiplo de los n. al?.., a,,.

Si

al=ai’d,i=1, ..., n, de (2) se deduce que

1=al’bl+... +a?b?,

de donde, esto es,

m.c.d. (al’, ..., a?)=1.

Si el m.c.d. de varios n. es 1 se dice que dichos n. son primos entre sí,.luego: los cocientes de dividir un conjunto de n. por su m.c.d. es un conjunto de n, primos entre sí.

De (3) se deduce que

M.C.M. m.c.m. al, ..., a,, m.c.m. a,,+i, ..., a?= =m.c.m. al, ..., a??(4)

Si

at=a,’d,

siendo

d=m.c.d. al, a2

y si

m=m.c.m. al, a2, m=alma=a2m2 y n=aíaíd, se verifica que

n E (al) n (a2) =(m)

y de

1=al’bl +a2b2

se deduce que

m=al a2d(blm2+b2m1),

luego

m E (ai’a2 d),

luego,

m=al ád.

Teniendo en cuenta (4), se demuestra por inducción que m.c.m.

a1, ..., a, =a,’ ... a, ,d,

siendo

d=m.c.d. a,, ..., a?.

Si a divide al producto be y es primo con b divide a c. En efecto, por ser a primo con b existen los n. a’ b’ tales que

1=aa’+bb’,

de donde

c=a(a’c+mb’), siendo am=bc.

De este teorema se deduce el teorema de la factorización única, salvo factores iguales a -I-1 ó -1, de todo n. entero.

7. El cuerpo de los números racionales. Sean (m) y (n) los ideales de los múltiplos de m y n, respectivamente, siendo m y n n. enteros y n:A0. Designaremos por m/n la aplicación:

m

- : (n) ->(m). n

definida por:

m

- (an)=am. n

La aplicación m/n es biyectiva (v. CORRESPONDENCIAS) y es una proporcionalidad. Dos proporcionalidades

m m’ - y - n n’

subordinan proporcionalidades entre (p) y (mn1’) y (p) y (m’n,), siendo

p=m.c.m. (n, n’)yp=nn1=n1n’,

que le seguirá designando con los mismos nombres: m

n (ap)=a(mn1). m’

n’ (ap)=a(m’n,).

En el conjunto de las proporcionalidades que acabamos de definir se establece una relación R del siguiente modo: m m’

-Rn n’

cuando las proporcionalidades subordinadas en (p), siendo p=m.c.m. (n, n’),

son iguales. En tal caso los conjuntos imágenes (mn,’) y (m’n1) han de ser iguales, luego

mn1=m’n1, y de (1) se deduce que si se cumple esta condición las

proporcionalidades son iguales. Por consiguiente, la condición necesaria y suficiente para que

m m’ -Rn n’

es que

rnn1=m’n1,

o bien, multiplicando por el m.c.d. (n, n’), que mn’=m’n.

La relación R es una relación de equivalencia en el conjunto de las proporcionalidades

n_ , m,nEZ, nA0.

Al conjunto cociente se le llama conjunto de los n. racionales y se designa por Q.

En el conjunto Q se defienen dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, de la siguiente forma: m

-+ P n q

es la proporcionalidad definida sobre (r), donde r=m.c.m. (n, q),

del siguiente modo:

n + 4 ~~ (ar)= n (ar) + Q (ar).

Como

m

- (ar)=a(mn’) n

y

p (ar)=a(pq ), 4

siendo

r=nn’=qq’,

resulta que

m

(-+ p ) (ar)=a(mn’+pq’). n q

De esta igualdad resulta que las aplicaciones m p

n q

y

mn’+pq’ r

son iguales, luego:

m p mn’+pq’

-+.-_, r=m.c.m.(n.q), r=nn’=qq’ n q r

La multiplicación se define por:

m pm pm

n -(anq)= n4 (anq) ) = n (anp)=amp, q

124NalERO I

de donde

m pmp n q nq

Estas operaciones tienen las siguientes propiedades: i) Son operaciones en Q.

ii) Son asociativas y conmutativas.

III) Poseen elemento neutro. El elemento neutro de 1 adición es 0/1 y el de la multiplicación l/1.

iv) Todo elemento de Q posee elemento simétrico res pecto de la adición, y todo elemento de

Q*=Q- 1 0

posee elemento simétrico respecto de la multiplicación v) La multiplicación es distributiva respecto de la adi ción.

Un conjunto con dos operaciones que posean las pro piedades anteriores se llama un cuerpo, por lo que a se le llama cuerpo de los n. racionales.

La aplicación

i.Z->Q

definida por

m

i(m)= 1 es inyectiva y verifica que

i(m+n)=i(m)+i(n) i(mn)=i(m)i(n),

por lo que se puede identificar Z con im(i), esto es, s conviene en poner

m

m=1,

con lo que Z se considera como un subconjunto de Q. Como al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por -1 la fracción que resulta es equi valente a la dada, se puede siempre suponer que la frac ción representante de un n. racional tiene el denomina dor positivo. Supondremos, por tanto, en lo que sigue que los denominadores son positivos. En estas condicio nes, un n. racional se llama positivo cuando lo es también su numerador. Al conjunto de los n. positivos s le designa por Q+; los n. opuestos a los positivos s llaman negativos y su conjunto se designa por Q-, se ve rifica que

Q=Q-1-U0UQ

es una partición de Q. Los n. racionales positivos poseen las siguientes propiedades:

i) La suma de n. racionales positivos es un n. positivo.

u) El producto de n. racionales positivos es un n. po sitivo.

III) El opuesto de un n. racional positivo es negativ y viceversa.

iv) El inverso de un n. racional positivo es positivo La partición anterior permite definir una ordenació en Q del siguiente modo:

x ,y y equivale a y-x E Q+0.

e O n

Esta ordenación verifica las propiedades O,-04 de la ordenación de n. naturales, esto es, es una ordenación total.

Se define una aplicación de Q en Q+ U 0,

llamada valor absoluto, y designada por ~, del siguiente a modo:

I XI =xsix >, 0,

-IXI=-x si x

(ii)IX yI = IXIM.

Sucesiones de números racionales. Se llama sucesión de n. racionales a toda aplicación u de N en Q:

Qu:N-aQ A la imagen de un n. natural n en la aplicación u se la designa por u?. Sea A el conjunto de todas las sucesiones (v.) de n. racionales. En A se definen dos operaciones binarias internas del siguiente modo:

Adición: si u y v son dos sucesiones, se llama suma, y se designa por u+ v, a la sucesión:

(u+v)?=1111+v?.

Multiplicación: si u y v son dos sucesiones, se llama producto, y se designa por uv, a la sucesión

El conjunto A, con estas dos operaciones es un anillo conmutativo. El elemento neutro de la adición es la sucesión 0, llamada cero, tal que, para todo n, 0?=0. El elemento neutro de la multiplicación es la sucesión 1, llamada unidad, tal que, para todo n es 1?=1.

rUna sucesión u se llama de Cauchy (v.) cuando, para -todo n. positivo E, existe un n. natural n tal que, para todo par

en’>n, n">n. se verifica que

e1un,-z1,z?I < E. -La suma de dos sucesiones, u y v, de Cauchy es otra sucesión de Cauchy. En efecto, dado un n. positivo arbitrario e, por ser u y v de Cauchy, existen dos n. ni y n2. tales que, para todo

nni’ > niyni? > ni, se verifica que

Iun;-un¡,I < 2

y para todo

n2 > n2yn2, > n2

es

E

I , +I<2

luego, para todo

n’ >nyn" >n,

siendo

n=máximo (ni, n2),

se verificará que

E E

1<-+-=E. 2 2

El producto de dos sucesiones de Cauchy es otra sucesión de Cauchy. Por consiguiente, el conjunto de todas’ las sucesiones de Cauchy es un subanillo, que designamos por C, del anillo A de todas las sucesiones.

8. El cuerpo de los números reales. Se llama sucesión_ nula a toda sucesión u tal que, para todo E > 0 se verifica que existe un n tal que, para todo n’ > n es

l un,¡ < E.

Las sucesiones nulas son sucesiones de Cauchy y tienen las propiedades siguientes:

i) Si u y v son sucesiones nulas, u-v es también una sucesión nula.

ir) Si u es una sucesión nula y si v es una sucesión de Cauchy, uv es una sucesión nula.

Las propiedades anteriores establecen que el conjunto po de todas las sucesiones nulas es un ideal del anillo C de las sucesiones de Cauchy. Además se verifica que este ideal es primo, esto es:

iii) Si

u-vEpo, ziEC, VEC y u(1po se verifica que v E po.

El ideal po define en C una relación de equivalencia R, del siguiente modo:

ti R vequivale azz-v E po.

Al conjunto cociente C/R se le llama conjunto de los n. reales y a sus elementos se les llama n. reales.

A la clase de C/R que contiene a la sucesión u se la designan por u+po. Al conjunto C/R se le designa por 91. En (R, se definen dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, del siguiente modo:

Adición:

(u+po)+(v+Po)=(zz+v)+po Multiplicación:

(u+PO) (v+Po)=uv+po

El conjunto de los n. reales con estas dos operaciones es un cuerpo, llamado cuerpo de los n. reales.

Un n. real u+po se llama positivo cuando existe un n. racional positivo r y un n. natural n tales que, para todo n’ > n, se verifica que

un? > r

Los n. reales opuestos a los positivos se llaman negativos. Si R+ y R- son los conjuntos de n. reales positivos y negativos, respectivamente, se verifica que

R=R+ U 0 U R-

es una partición de R. Esta partición permite definir en R una relación de orden

x,<yequivale ay-x E R+ U 0

La ordenación < así definida es una ordenación total y posee las mismas propiedades que la ordenación de los n. racionales.

A cada n. racional r se le puede asignar una sucesión cuyos términos son todos iguales a r, esto es

r--> r,r,...,r,...

Esta aplicación permite definir una aplicación de Q en R en la que a cada n. racional r le corresponde el n. real

...)+po.

Esta aplicación es inyectiva y permite identificar el n. racional r con su imagen en R, con lo que se puede admitir que

Q CR.

Un tipo particular de sucesiones de Cauchy de n. racionales son las sucesiones decimales:

a; a, al; a, ala2;... ; a, ala2 ... a?;...

en donde a es un n. entero y al, a2, ..., a? son cifras decimales. La sucesión anterior se representa generalmente en la forma:

a, ala2 ... a? ...

Si en estas expresiones se prescinde de aquellas en las que a partir de una cifra decimal todas las siguientes sean nueves, resulta que a cada n. real le corresponde una única expresión decimal. Las expresiones decimales son las más útiles en la práctica, como consecuencia de esta unicidad.

Una sucesión de n. reales es una aplicación de N en R. Con las sucesiones de n. reales se definen las mismas operaciones que con las sucesiones de n. racionales y forman también un anillo. La definición de sucesión de Cauchy se puede extender a la sucesión de n. reales. Una sucesión a de n. reales se llama convergente hacia el n. real a, o bien, se dice que a es el límite de a? cuando n tiende hacia infinito, y se escribe:

a= lím a?, ?-> 00

cuando, para todo E > 0, existe un n. natural n, tal que, para todo n’ > n, se verifica que

¡a-a,,,¡ < E.

La propiedad fundamental del cuerpo de los n. reales es la siguiente: Toda sucesión de Cauchy de n. reales posee límite. Esta propiedad se expresa diciendo que el cuerpo de los n. reales es completo.

9. El cuerpo de los números complejos. Sea R [x]el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en una variable x. Este conjunto es un anillo, respecto de la adición y multiplicación de polinomios. Designamos por (x2-1-1) al conjunto de todos los polinomios que se obtienen al multiplicar el polinomio x2-1-1 por cada uno

de los restantes polinomios. El conjunto (x2-1-1) es un ideal de R [x], ya que

f(x) (x2+1)-g(x) (x2+1)=(f(x)-g(x)) (x2+1)

y

f (X) (g(x) (x2+ 1)) =(f(x) g(x)) (x’--+ 1). Este ideal es primo, esto es, se verifica que si f(x).g(x) E (x2+ 1)

y

f(x) (1 (x2+1)

entonces

g(x) E (x2+ 1).

En efecto, dividiendo J (x) y g(x) por x2-1-1 se obtiene: f(x)=q(x) (x2+1)+(a+bx)

y

g(x) =q’(x) (x2+1)+(c+dx),

de donde, multiplicando miembro a miembro,

f(x)g(x) =[gq’(x2+ 1)+(a+bx)q’+q(c+dx)](x2+ 1)+ac+ + (ad +bc)x+bdx2= =[qq’(x2+1)+(a+bx)q’+q(c+dx)+bd](x2+1)+ + (ac-bd) + (ad +bc)x,

y como fg es múltiplo de x2+1, resulta que ac-bd=0 y ad+bc=0

y como, por no ser f(x) múltiplo de x2+1 no pueden ser cero a y b al mismo tiempo, resulta que c=d=0 y, por tanto, que g es múltiplo de x2-1-1.

El ideal primo (x2+1) define en R [x] una relación de equivalencia del siguiente modo:

f(x) R g(x)equivale af(X) -g(x) E (x2+1)

Al conjunto cociente R [x] /R se le llama conjunto de los n. complejos, y a sus elementos n. complejos. Se emplea la siguiente notación:

R[x]/R=C

En C se definen la adición y la multiplicación de igual forma que en los n. reales, esto es:

[(x) +(x2+ 1)] + [g(x)+(x2+ l)]=(f(x)+g(x))+(x2+ 1),

y

[(x)+(x2+1)] [g(x)+(x2+1)]=f(x)+g(x)+(x2+1).

El conjunto C con estas dos operaciones es un cuerpo, llamado cuerpo de los n. complejos.

Diversas expresiones de los n. complejos: a) Dado el n. complejo

f(x)+(x2+1),

dividiendo f (x) por x2+1 se obtiene: f(x)=q(x) (x2+1)+a+bx,

de donde

f(x)+(x’-+1)=a+bx+(x2+1),

luego, se puede tomar como representante de un n. complejo un polinomio de primer grado. Se acostumbra a usar la siguiente notación:

a+bx+(x2+1)=a+bi,

con la condición:

z~=-1

Esta expresión se llama binómica de los n. complejos. La adición, multiplicación y división, empleando la expresión binómica es:

(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i (abi) (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i a+bi _ ac+bd+(bc-ad)i c+di c2+d2

b) Como el binomio a+bi queda conocido cuando se conoce el vector (a, b), se pueden representar los n. complejos también en la forma (a, b), que se llama expresión vectorial o matricial de los n. complejos.

c) Como un vector queda determinado por su módulo y por el ángulo lo que forma con el eje x, estos dos números p y -P, que se llaman módulo y argumento del n. complejo, sirven también para determinarlo. La expresión (p, (p) se llama módulo-argumental. La relación entre la expresión (a, b) y la (p, 9) es, por tanto:

a=p cos cp,p=~la2+b2,

a

b =psenb cp,cp=arc cos__=arc sen= Va2+b2 Va2+b2 b

=arc tg -, a

La expresión módulo-argumental no es única, ya que, evidentemente, si k es un n. entero arbitrario, todas las expresiones

(p, cp+2k)

representan al mismo n. complejo.

d) De (a) y (c) se deduce la expresión: a+bi=p (cos (p+¡ sen (p),

que se llama expresión trigométrica. La fórmula del producto en (a) da lugar a la siguiente fórmula- del producto en forma trigométrica:

[p (cos (p+i sen (P)1 [p’ (cos (p’+ i sen (p’)]= =pp’ (cos ((p+(p’)+i sen ((p+(p )), que, en forma módulo-argumental da:

(P, cp) (P , (P)=pp . (p +,P,)

Esta última fórmula da lugar a la siguiente de potenciación de exponente natural:

(p, (p)n=(p,r, n(p),

que se conoce con el nombre de fórmula de Noivre. De ella se deduce la de la radicación de índice natural:

(- ±2k7r n n

en donde k recorre los n. enteros dando lugar a n n. complejos distintos:

/~r-27r- ~r47, \nn nn n ...,~r, t + 2(n-1)7r, n n

que constituyen la raíz n-ésima del n. complejo (r, (p). V. t.: CORRESPONDENCIAS; ÁLGEBRA; CONJUNTOS, TEORÍA DE.

PEDRO ABELLANAS.

BIBL.: P. ABELLANAS, Introducción a la Matemática, Madrid