Medida I. Matemáticas.

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Matemáticas

Noticia histórica. El proceso de medir es el origen de todas las ciencias experimentales y, como consecuencia, el de la Matemática (v.), que comenzó siendo una ciencia experimental. El mismo proceso de contar es un caso "particular de medir; esto indica que los orígenes de la m. se pierden en los comienzos de la Humanidad. Todas las ciencias de la Naturaleza y toda la técnica actual reposan sobre el proceso de medir magnitudes. El progreso de la ciencia y, como consecuencia, el conocimiento del universo dependen del perfeccionamiento de los métodos de m. Piénsese que la ley de la gravitación universal (v.) no hubiese podido ser establecida por Newton si previamente no hubiese formulado Kepler sus leyes obtenidas como consecuencia de m. efectuadas. De lo dicho, se desprende que en la m. existe un aspecto de tipo técnico y experimental de construcción de aparatos adecuados para medir magnitudes naturales; pero junto a él se presenta otro: el de precisar en qué consiste medir. Es de este aspecto de la m. del que vamos a ocuparnos a continuación, ya que el estudio de los procesos experimentales de m. es de carácter monográfico, no ya para cada magnitud sino para cada categoría de problema en que interviene.

Medida de una magnitud. Lo que se mide siempre es una magnitud (v.), que, en el sentido más amplio, es un conjunto de entes con una estructura de semigrupo o grupo; cuando la estructura es de un semigrupo isomorfo (v. ÁLGEBRA) al aditivo de los números naturales, la magnitud se llama discreta; si es un espacio vectorial real se llama continua. Veamos en algún ejemplo el proceso de medir. Sea E la magnitud segmento general relativo (sga; v. PROPORCIÓN). A partir de este grupo se ha construido el conjunto R de las razones. En el conjunto R se definen dos operaciones:

1. Una adición:

[al + [cl __ [m] [b) [d]

[ni equivale a

[al + [cl _ [al [cl _ [rnl,[b] [dl [ni[bl [nl +[d]

[ni en donde[ni nles el sga transformado del [n] en la proporcionalidad ([a], [b]); respecto de esta operación, R es un grupo abeliano (v. ÁLGEBRA).

2. Una multiplicación, del siguiente modo:

[al[cl _ [ml[b] [d]

[n]equivale a

[al Icl[b]( [dl[ni ) -[m],

en donde esto significa que se halla el segmento [p] transformado del [n] en la proporcionalidad ([c], [d] ) y a continuación del segmento [m] transformado del [p] en la proporcionalidad ([al, [b]). Respecto de estas operaciones, R es un cuerpo conmutativo. Se llama m. del sga [s] respecto de la unidad [u] a la razón [S].

Vemos, por tanto, que la m. de un segmento es una aplicación del grupo Y en el cuerpo R. Esta aplicación es un isomorfismo de Y sobre el grupo aditivo de R. Este proceso se puede repetir para todas las magnitudes escalares. Por consiguiente, a cada magnitud escalar le corresponde un cuerpo, construido con la misma técnica utilizada para obtener R a partir de Y-, que llamaremos cuerpo de m. asociado a la magnitud considerada, y una m. de dicha magnitud será un isomorfismo del grupo correspondiente sobre el grupo aditivo del cuerpo asociado. Ahora bien, toda ciencia necesita relacionar las m. de sus magnitudes, y esto no es posible si cada m. pertenece a un cuerpo distinto. Se presenta, por consiguiente, el problema de hallar un cuerpo universal en el que se pudieran medir todas las magnitudes que aparecen en las ciencias de la Naturaleza. Este cuerpo universal es el de los números reales (v. NÚMERO). Disponiendo de este cuerpo se pueden hallar leyes que liguen las m. de las magnitudes fundamentales. Resumiendo, se puede decir que una m. de la magnitud M (con estructura de grupo o de semigrupo) es una aplicación, que se designa por m. de M en un cuerpo (o semicuerpo) K tal que m. sea un homomorfismo del grupo o semigrupo en el grupo (o semigrupo) aditivo de K. Las llamadas magnitudes escalares están caracterizadas por ser K el cuerpo de los números reales y ser m. un isomorfismo.

Una vez en disposición de los números reales se puede proceder de otro modo para definir una magnitud y su m. Veamos un ejemplo: Consideremos el conjunto C de todas las regiones del plano limitadas por curvas cerradas y no entrelazadas. Para obtener una magnitud a partir de C, siguiendo el método indicado ’en el artículo, había que proceder a definir una relación de igualdad, pasar al conjunto cociente y definir en él la estructura de grupo o semigrupo. Sin embargo, se puede proceder de otro modo: se define una integral (v. INTEGRACIÓN) sobre los elementos del conjunto C. La integral fA does un número correspondiente a cada región A de C; se tiene de este modo una aplicación de C en el conjunto de los números reales R, que se llama m. definida sobre C. Esta aplicación define en C una relación de igualdad I; en el conjunto C/I se puede definir ahora una operación:[Al + [B) = [DIequivale af da-- £dcr+ JBdo-,con lo que se obtiene en C/I la estructura de grupo y se puede considerar como una magnitud.

Hay magnitudes en las que el cuerpo real es insuficiente para su m., siendo preciso utilizar el cuerpo de los números complejos, o cuerpos más generales.

Un caso particular importante de m. es la probabilidad (v. CÁLCULO vi) de un suceso estocástico. Pueden emplearse aquí los dos caminos que se acaban de indicar: definir la magnitud de los sucesos estocásticos, y pasar después a su m. o definir en primer lugar la m. y mediante ella construir el grupo correspondiente. Si se considera, p. ej., el conjunto de los sucesos estocásticos HI, ..., H6 que consisten en que al arrojar un dado salgan los números 1, ..., 6, respectivamente, admitiendo que la m. (probabilidad) de un suceso estocástico está comprendida entre 0 y 1, ambos inclusive, que al arrojar un dado saldrá uno de los seis primeros números, que la m. del suceso H consistente en que salga HI ó Hz, ..., ó H6 es igual a 1, que la m. de H es igual a la suma de las m. de HI, ..., H6 y que todos tengan la misma m. se obtiene que la m. de cada uno de ellos es 1/6.

V. t.: ÁLGEBRA; MAGNITUD; CORRESPONDENCIAS(Matemáticas)

PEDRO ABELLANAS

BIBL.: V. la de MAGNITUD; PROPORCIÓN; INTEGRACIÓN (Matemáticas); v. t. N. BOURBAKI, Éléments d’histoire des mathématiques, París 1962