Magnitud (matemáticas)

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Matemáticas

Noticia histórica. El concepto de m. es debido a los griegos y se halla perfectamente desarrollado, para las m. geométricas, en los Elementos de Euclides (v.). A partir del s. XVIII se multiplican las m. como consecuencia del desarrollo de la Física. En la actualidad están apareciendo nuevas m. en todas las ciencias, economía, psicología, sociología, etc. De aquí el interés de precisar este concepto. La Matemática proporciona medios para la construcción de magnitudes.

Magnitudes escalares. Analizando el proceso de formación de algunas m., p. ej., la m. segmento o la m. masa, se observa que se parte de un conjunto de entes: el conjunto de los segmentos o el conjunto de los cuerpos máteriales, respectivamente. En este conjunto se define una relación de igualdad; en el caso de los segmentos la superposición mediante un movimiento (v. PROPORCIÓN, TEORÍA DE LA); en el caso de la masa, la relación de igualdad consiste en ser el mismo cuerpo o, en caso de cuerpos distintos, equilibrar una balanza cuando se colocan en sus platillos. Se pasa al conjunto cociente respecto de la relación de igualdad (V. ÁLGEBRA). En el conjunto cociente, que designaremos por M, se define una operación llamada adición, con lo que se obtiene un semigrupo aditivo. Para la mayor parte de las m. conocidas, este semigrupo es conmutativo, simplificativo y cancelativo. Decir que M es simplificativo significa que si X es un elemento de M y m y n dos números naturales, la igualdad:

m

mx=nx (mx=x+... +x)

implica que m=n. Decir que M es cancelativo significa que si x, y, z, pertenecen a M y

x+y=x+z,

se verifica que

y=z.

Además, estos semigrupos acostumbran a ser arquimedianos, esto es, dados dos elementos arbitrarios x e y de M tales que

x<y,

existe un número natural n tal que nx _> y.

Un semigrupo simplificativo y cancelativo se puede sumergir, de un modo canónico sencillo (análogo al empleado para pasar de los números naturales a los números enteros) en un grupo (v.). Este paso corresponde a pasar de m. absolutas a m. relativas. Para poder aplicar las técnicas del análisis infinitesimal conviene que el semigrupo (o grupo) M sea completo, esto es, que toda sucesión (v.) convergente de elementos de M tenga límite en M. Este punto de la complección de las m. abre un problema interesante de fundamentos de la ciencia, ante la imposibilidad de verificar experimentalmente el postulado de complección. Se llega así a una categoría de m. de gran importancia en las ciencias experimentales, cuya estructura matemática es la de un espacio vectorial real de dimensión uno (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII).

Las m. cuya estructura matemática es la de un espacio vectorial real de dimensión uno se llaman m. escalares. Podría, por tanto, definirse ahora: una m. escalar es un conjunto de entes en el que se ha definido una estructura de espacio vectorial real de dimensión uno. A cada ente del conjunto m. se le llama una cantidad de dicha m. La m. segmento general relativo, el tiempo, el espacio de la cinemática del punto, la velocidad y la aceleración del movimiento rectilíneo, son m. escalares.

Magnitudes derivadas. Vamos a analizar un ejemplo importante de m. derivada de otra. Consideremos el conjunto 6’ de todos los polígonos (un polígono es la parte de plano limitada por una poligonal cerrada). En el conjunto f se define una relación E, llamada de equivalencia, del siguiente modo: se dice que el polígono P está relacionado en E con el polígono Q cuando se pueden descomponer dichos polígonos en el mismo número de triángulos iguales (V. ÁREA). E es una relación de igualdad. Sea P=elE

el conjunto cociente. En este conjunto se define la adición del siguiente modo:

[P] +[Q]=[R],

siendo R el polígono reunión de un polígono de [P] y otro de [Q] que sean consecutivos. Respecto de esta operación es P un semigrupo conmutativo, cancelativo, simplificativo, arquimediano y completo, que llamaremos, aun cuando la denominación es deficiente, m. área absoluta. En cada clase [P] de P (o con lenguaje clásico, cada cantidad de P) existen rectángulos. Sea R un rectángulo de [P]. R determina de modo único la clase P (la cantidad P) y a su vez R queda unívocamente determinado, salvo la posición del rectángulo en el espacio, por sus lados x, y. Por consiguiente, existe una correspondencia (v.) entre las clases [P] y los pares de segmentos generales absolutos (x, y); en esta correspondencia se consideran como iguales los pares (x, y) e (y, x). Si en lugar de considerar polígonos no orientados se consideran polígonos orientados, esto es, polígonos con un sentido de recorrido de su borde, se obtiene la m. área y a cada clase le corresponde un par ordenado de segmentos generales relativos. A un par de segmentos correspondiente a la clase [P] se le designa por

x(r)y.

Si se toma un segmento general relativo u como segmento unidad, se verifica que el segmento x será igual a au y el segmento y igual a pu siendo a y R números reales, con lo que el par

x(r)Y

se escribirá

au (r) Ru.

Ahora bien, en la clase [P] existen infinitos rectángulos distintos; si a’u y R’u son los lados de otro rectángulo de la clase [P], a esta clase le corresponde también el par

a’u (r) R’u.

A estos dos pares correspondientes a la misma clase conviene considerarlos como iguales, esto es, conviene poner

au (r) Ru=a’u (r) R’u.

Ahora bien, en Geometría se ve que en este caso se verifica que

no =a a’, luego conviene admitir que

au (r) Ru=(aR) (u (9 u). Con este convenio, la correspondencia [P] ---> au (D pu

es una correspondencia biunívoca. Además si R y R’ son rectángulos de [P] y [P’], respectivamente, que tengan un lado, au, igual, y si

[P] -~ au (r) Ru

y

[P’] =au (r) R’u

se verificará que a

[P] + [P’] --> au (r) (R+ ")?4

luego, conviene admitir que

au (r) (R+,13gu=tau (9/3u)+(au (r)"u).

De este modo, la m. área puede representarse por el conjunto de pares de segmentos generales relativos: au (r)Ru

y en este conjunto se verifican las dos propiedades anteriores:

au (r) Ru=(aR) (u (9 u),

au (r) (R+R’)u=(au (r)Ru)+(au (9 R’u). (1) Este conjunto es un espacio vectorial real de dimensión uno, llamado producto tensorial de la m. segmento general relativo por sí misma. Resulta, por tanto, que la m. área se obtiene como producto tensorial de la m. segmento general relativo por sí misma. Las m. que se obtienen multiplicando tensorialmente otras m. se llaman m. derivadas.

Magnitudes vectoriales. Otras magnitudes. Un conjunto de entes M, en el que se ha definido una estructura de espacio vectorial real n-dimensional se llama una m. vectorial (real) n-dimensional. En general, se podría llamar m. (m. absoluta) a todo conjunto de entes en el que se hubiese definido una estructura de grupo (de semigrupo).

V. t.: ÁLGEBRA; CONJUNTOS, TEORÍA DE; CORRESPODENCIAS (Matemáticas); GRUPOS, TEORÍA DE; MEDIDA 1 y 1l.

PEDRO ABELLANAS.

BIBL.: V. la del artículo TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y l. PALAclos, Análisis dimensional, Madrid 1964.