Hipérbola E Hiperboloides

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Matemáticas

Hipérbola. Si en la ecuación general de las cónicas (v.): aoo + al lx2 + a22X2 + 2aoix1 + 2ao2x2 + 2a,:x,x2= 0,se verifica:aual2aa o, I< 0Yao,al,ale0,a12 a22a02 al2 a22 se tiene la cónica llamada hipérbola.

Siempre es posible encontrar un sistema de referencia ortogonal (fig. 1), respecto del cual la ecuación de la hipérbola toma la forma reducida:zx, xz al azecuación que demuestra que los ejes coordenados son ejes de simetría de la curva, y el origen centro de simetría de la misma.

al=OA1, y a2=AIB1, son los semiejes yc=,,la¡+a2la semidistancia focal, siendo los focos los puntos F(c, 0)yF(-c, 0).

Los segmentos determinados por un punto de la curva con los focos son los radios vectores.

La propiedad fundamental de la hipérbola, que sirve a veces para definirla, es: el valor absoluto de la diferencia de los radios vectores es constante e igual a 2al.

Las rectas de ecuacióna2X2= ±- X1, alse llaman asíntotas; separan las rectas que pasan por el centro de la hipérbola y cortan a la curva de aquellas que no la cortan.

La hipérbola de ecuaciónx1 x2_ _a2 -1 ala2 - _-se dice conjugada de la [11, con la que tiene comunes ejes, centro y asíntotas.

La tangente en un punto de la hipérbola es bisectriz (interior) del ángulo que forman los radios vectores. Hiperboloides. a) Reglado, hiperbólico o de una hoja (fig. 2): Es la cuádrica (v.) que tiene por ecuación respecto del triedro formado por sus ejes de simetría:xl X2 X3_+--1 [21 al a2 a3y puede engendrarse de manera análoga a la del elipsoide (v. ELIPSE Y ELIPSOIDE), mediante las elipses MPNO, situadas en planos paralelos al X3=0, y que se apoyan en las hipérbolas:Xi_=1 -3 ~x2xx3y=1aÍ a3a2 a3 x2=0 x1=0 El cono (v.) cuádrico:xi x2 x3 -+---=0 aÍ a2 a3se denomina cono asintótico; y separa al conjunto de las rectas que pasan por el centro del hiperboloide y cortan al mismo del conjunto de las que no lo cortan. Es una superficie reglada que contiene los dos haces de rectas:XI x3x2 xl x3x2-+-_1 +-) ~-+-_1-al a3a2al a3a2XIX3 _ 1X2X1X31X2al a3 Á a2al a3a2Se denomina también hiperbólico por tener todos sus puntos hiperbólicos (el plano tangente en un punto contiene dos rectas de la cuádrica).

b) No reglado, elíptico o de dos hojas (fig. 3): Es la cuádrica que tiene por ecuación (respecto del triedro que forman sus ejes de simetría):x¡ x2 x3Z+ z=1[31 al a2 a3Tiene los mismos elementos de simetría y el mismo cono asintótico que el hiperboloide anterior [2] y se puede engendrar de una manera análoga mediante las elipses MPON, que se apoyan en las hipérbolasxi x3x2 x3 --+-=1 --+-=1a1 a3a2 a3X2=0Xt =0~Posee dos hojas y se denomina también elíptico por ser todos sus puntos elípticos (el plano tangente en un punto corta a la superficie en un par de rectas imaginarias conjugadas).

Ambos hiperboloides admiten secciones de los tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas y, en particular, circunferencias. El elíptico tiene también cuatro puntos cíclicos.

V. t.: CÓNICAS; CUÁDRICAS.

L. ESTEBAN CARRASCO.

BIBL.: G. SALMON, Treatise on come sections, Nueva York s. f.; H. LEBESGUE, Les coniques, París 1942; P. ABELLANAs, Geometría básica, Madrid 1961.