Geometría V. Geometria Diferencial.

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Matemáticas

Rama de la G. que trata del estudio local, es decir, en las proximidades de un punto, de una variedad, así como de las relaciones entre estas G. locales en cada punto. En su aspecto clásico, se ocupaba de las curvas y superficies contenidas en un espacio euclídeo (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS II), pero sucesivamente, a tenor de la evolución histórica del pensamiento geométrico, ha ido incorporando a la técnica inicial del Análisis con que operaba, las nuevas estructuras algabraicas y topológicos, de homología, etc., propias de la Matemática actual. Intentaremos seguir, aunque de un modo informal, la trayectoria descrita por esta ciencia en el cuadro general de la Matemática y, en particular, de la G.

1. Evolución del concepto de espacio. Atendiendo primero a la evolución del concepto básico de espacio, vemos aparecer a lo largo de toda la historia, hasta llegar al siglo pasado, una fundamentación ligada a una visión física de la ciencia. El espacio se entiende como espacio físico o del universo, y el espacio matemático no es otra cosa que la imagen abstracta de ese espacio físico, simplemente la idealización de él; sus entes (puntos, rectas, etc.), son abstracciones provocadas por la consideración de figuras materiales. Éste es el espacio euclídeo: los axiomas de Euclides (salvo en el de las paralelas) son propiedades obtenidas de la experimentación con las figuras (v. vi). De este espacio se aseguraba que era la imagen unívoca del universo; otra axiomática diferente llevaría a contradicción, aun desde el punto de vista deductivo, por definir un espacio no acoplable al espacio de los fenómenos físicos.

Pero resultó que no, cuando se construyeron las G. no euclídeas: aparecían unos espacios lógicamente tan coherentes como el euclídeo. No obstante, se siguió pensando que era este último el que daba la representación fiel del universo; los demás eran puras especulaciones que, sin embargo, al admitir la posibilidad de ser estudiadas por la G., comenzaron a separar a ésta de la Física. Una nueva sacudida acaece con la hipótesis de Einstein de que el universo se conforma mejor con la imagen de un espacio elíptico; el espacio euclídeo pierde así su situación de privilegio a priori y queda inmerso en toda una teoría de espacios cada vez más generales y sin relación, al menos necesaria, con el mundo físico. La G. deja de ser definitivamente una ciencia física para convertirse en ciencia matemática.

2. Génesis de los conceptos. Veamos cómo dentro de este esquema se van desenvolviendo los conceptos propios de la G. diferencial. Cuando domina la concepción euclídea del espacio, los entes geométricos fundamentales son lineales: las rectas, los planos... El mismo espacio de tres dimensiones, coincidente con el universo, es lineal, no curvo. Lo más que ocurría era que se podían constituir en esos espacios curvas y superficies, y éstas eran de más complicado estudio; se consideraba una curva dibujada sobre un plano, que era el espacio ambiente, o una superficie sobre el espacio euclídeo tridimensional, pero no era concebible que éste no fuese lineal, como no era concebible, antiguamente, que la Tierra no fuese plana; ambas cuestiones son casi idénticas.

El estudio de esas curvas y superficies no lineales fue uno de los incentivos que provocaron la invención del cálculo infinitesimal (v. CÁLCULO III). Piénsese en un problema situado tan en los orígenes de la G. como es el de medir: a diferencia de lo que ocurre en la recta y en el plano, ya no es fácil ni inmediato medir distancias sobre una curva o sobre una superficie. Y, sin embargo, casi inconscientemente, la G. había señalado el camino para resolverlo al iniciar su vida proponiéndose medir trozos de Tierra. Si la Tierra era plana, valía la medida euclídea, pero evidentemente las cosas no ocurren así.

Ahora bien, cuando medimos algo sobre la superficie de la Tierra, lo hacemos en una pequeña extensión que no difiere apreciablemente de un trozo de plano. Prolongando con el pensamiento indefinidamente este plano, nos encontraríamos con un plano tangente a la superficie de la Tierra en el punto en que estamos haciendo la medición. Parece, entonces, que el procedimiento podría consistir en sustituir un trozo de superficie alrededor de un punto, lo que se llama un entorno del punto, por un trozo del plano tangente en dicho punto. En cualquier caso, se trata de buscar una figura lineal que reproduzca con aproximación suficiente el comportamiento de la figura que se quiere estudiar. Por este procedimiento se construye un mapa o se habla impropiamente de la distancia "en línea recta" entre dos ciudades.

Este problema de aproximación lineal, intuido por Fermat en sus consideraciones sobre la tangente a una curva, iba a llevar a la creación del "cálculo sublime" por Newton y Leibniz. La imagen geométrica de la diferencial (v. CÁLCULO I), en un punto, de una función de una variable, no es más que la recta tangente en dicho punto a la curva que representa gráficamente en el plano a dicha función. Lo mismo se diría de las superficies. La aplicación directa de las ideas que nacieron con este cálculo infinitesimal llena toda una primera época de la G. diferencial que culmina con las obras de Euler y, en seguida, de Lagrange, Monge y la escuela francesa de finales del s. xviLi y principios del XIX. En la base de ella, hablando esquemáticamente, hay tres nociones fundamentales: la de función, la de límite y la de traslación.

3. Desarrollo de la Geometría diferencial. Gauss. Hacia mediados del s. XIX se abre la época en que más luminosamente se aclaran las ideas y los métodos de esta disciplina. El nombre clave es Gauss (v.). Todo cuanto se había construido estaba cimentado en la hipótesis de quela curva o la superficie estuviera sumergida en un espacio euclídeo; sólo así tenía sentido hablar de recta tangente o de plano tangente. Pero, precisamente, ahora empezaba a entrar en crisis el concepto de espacio euclídeo. La dirección a la que Gauss apunta es la de considerar la figura intrínsecamente, con independencia del espacio en que esté sumergida; mejor aún, sin pensarla sumergida en un espacio.

Su primera visión genial fue la introducción y el empleo de las coordinadas curvilíneas en una superficie. Esto, en esencia, no es otra cosa que establecer una aplicación de las que luego se llamaron topológicas u homeomorfismos (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS vi, 3), entre la superficie y un plano: en un sistema de coordenadas en el plano, a cada punto le corresponde un par de coordenadas; pues bien, esas mismas diremos que son las coordenadas curvilíneas, en la superficie, del punto de esta que se corresponde con el del plano en el homeomorfismo. Y si no siempre es posible establecer un único sistema de coordenadas curvilíneas para toda la superficie, o sea, si no toda superficie es homeomorfa a un plano, se busca al menos hacerlo "a trozos", de modo que todo punto de la superficie esté contenido en un trozo de ella que se pueda poner en correspondencia, en la forma dicha, con un trozo de plano; así habría unas coordenadas curvilíneas para cada trozo, con un cambio de coordenadas en las partes en que dos trozos se solapasen; se llamarían por eso coordenadas curvilíneas locales. Entonces, el estudio de determinadas situaciones que se puedan plantear en la superficie se haría, respecto de esas coordenadas, de un modo análogo a como se hace en la parte correspondiente del plano respecto de las coordenadas definidas en él. Con esto, la superficie quedaría separada en algún aspecto del espacio que la circunda. En particular, las funciones reales sobre el plano, o funciones de dos variables con ciertas condiciones, y cuanto representan (curvas en el plano, etc.), se trasladarían, mediante la aplicación dicha, a funciones sobre la superficie y los conceptos de ellas derivados. Esto parece indicar que Gauss tuvo el presentimiento de que parte de las nociones de la G. diferencial gravitaba, no tanto sobre la superficie geométricamente pensada, o sea, la superficie como espacio topológico, sino sobre la familia de funciones definidas en ella, lo que le convierte en el iniciador de la G. diferencial en el sentido que hoy tiene.

Unas palabras ahora sobre nomenclatura: lo que hemos llamado con lenguaje ordinario "trozos" de la superficie, debe llamarse más correctamente abiertos de la superficie, considerada como espacio topológico; el que a cada uno de ellos, junto con sus coordenadas curvilíneas locales, se le llame un mapa o carta local y al conjunto de todos ellos un atlas, no hace más que reflejar una vez más esa idea de asimilar cada parte de superficie a una parte de plano y estudiarla, al igual que éste, como una figura de dos dimensiones, considerada intrínsecamente.

Desde este nuevo punto de vista, la idea de espacio tangente va a quedar perfectamente aclarada y despojada de todos los añadidos innecesarios. Un vector tangente va a ser una derivación, esto es, una aplicación lineal (v. ÁLGEBRA) de las funciones definidas en un punto sobre los números reales, con la propiedad de la derivada de un producto. Así, el conjunto de todas las derivaciones en un punto forma un espacio vectorial (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII), que es, precisamente, el espacio tangente; su entidad geométrica, tal como se venía entendiendo, sería una imagen gráfica de él, pero su estudio es independiente de esta representación, y susceptible, por tanto, de generalizarse a dimensiones mayores. El espacio dual, o de formas lineales sobre las derivaciones, es el espacio de las diferenciales o covectores tangentes; una vez más se vuelve a cerrar, ya definitivamente aclarado, el problema inicial de la construcción de la diferencial.

Todavía hay algo que añadir a la aportación de Gauss: la definición de la derivada geodésica sobre una superficie. Con ello demuestra que es excesivo exigir, para definir la derivada de un vector, la existencia de un grupo de traslaciones en el espacio, ya que éste no se da en la superficie. Estas ideas fueron largamente explotadas a lo largo del siglo pasado por las escuelas italiana y alemana (Riemann, Christoffel, Ricci, etc.), culminando, como era natural, con la definición de la derivada covariante y con la teoría tensorial.

4. La métrica. Veamos cómo se resuelve ahora, y a qué conduce, aquel problema de medir sobre una superficie, que habíamos manejado como pretexto para la introducción de estas estructuras diferenciales. El entorno de un punto se ha visto que podía ser sustituido por un entorno del plano tangente que es un espacio vectorial. Para medir en la superficie podremos, pues, en las proximidades de ese punto, hacer la medición sobre el plano tangente; ya veíamos, de un modo un poco rudimentario, que esto es precisamente lo que se hace al medir sobre la superficie terrestre.

Todo el problema consiste, por tanto, en introducir una medida en el plano tangente, o sea, en un espacio vectorial. El modo tradicional de hacerlo es mediante la definición de producto escalar (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII, 5) de dos vectores; el espacio vectorial, junto con este producto escalar, se convierte en un espacio euclídeo o, mejor, de métrica euclídea. Dada una base del espacio vectorial, el producto escalar de dos vectores se puede calcular en función de las coordenadas de estos vectores respecto de esa base y de los productos escalares de los vectores de dicha base entre sí. Esta expresión en coordenadas, del producto escalar, permite calcular analíticamente, es decir, respecto de las coordenadas exclusivamente y sin intervención de mediciones de tipo puramente geométrico, los ángulos de los vectores y sus módulos, lo que equivale a calcular longitudes.

Pero analizando más cuidadosamente el producto esca- lar se observa que no es otra cosa que una aplicación (v. CORRESPONDENCIAS) entre cada par de vectores y los números reales: a cada dos vectores hace corresponder un número, su producto escalar. Esta aplicación tiene algunas propiedades interesantes; es distributiva respecto de los dos vectores; más aún, lineal para ambos. Esto es lo mismo que decir que se trata de un tensor covariante de orden dos. El producto es también conmutativo; se dice que el tensor es simétrico. Como el producto es siempre mayor o igual que cero, el tensor se llama definido positivo. Finalmente, tiene una propiedad llamada triangular, equivalente a decir que el módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de los módulos de ambos. Todas estas propiedades definen, hablando con generalidad, el tensor de una métrica euclídea.

Este tensor, en el plano vectorial tangente a una superficie en un punto, permitirá medir en él y, de acuerdo con las ideas esbozadas, también sobre la superficie, al menos en los puntos del entorno del punto de tangencia. Y, como todo tensor covariante, se podrá expresar como combinación lineal de los productos tensoriales de los conectores de una base. En nuestro caso, si las coordenadas curvilíneas en el punto, es decir, en la carta local, son (U1, U2), una base para los covectores o diferenciales es (dui, du2). El tensor se puede escribir, entonces, en la forma

glldul (r)dul+g12du1 (r) du2+ g21du2 (r) dul+g22du2 (r)du2 donde cada uno de los coeficientes gii representa el producto escalar de dos de los vectores de la base, los vectores tangentes a las curvas

ui=const., ui=const., que pasan por el punto de tangencia (i, i=1, 2).

Que el tensor es simétrico se traduce en que gii =gii,

y así se obtendrían también condiciones para las otras propiedades del producto escalar. Aquella fórmula, llamada la primera fórmula fundamental de la superficie, permite calcular la longitud de un arco de curva suficientemente pequeño, a partir del punto dado; se llama elemento de un arco de curva.

Con esto tenemos, como pensábamos, definida una métrica sobre una superficie, al menos en el entorno de cada punto. Pero esta misma idea, que es la desarrollada clásicamente, lleva en sí el germen de posibles generalizaciones. Si pensamos en un tensor más general que el producto escalar, exigiéndole sólo que sea simétrico y definido positivo, se crea una nueva métrica, llamada riemanniana; y una superficie, o una variedad más general, con esta métrica será llamada un espacio de Riemann. Podemos todavía quitar nuevas condiciones, como la de que el tensor sea simétrico. Un tensor de la métrica que no sea simétrico conduciría a la situación sorprendente de que midiendo con él la distancia de A a B se obtendría un resultado distinto que midiendo la distancia de B a A. Éste no es un hecho estrafalario: simplemente, midiendo una distancia entre dos puntos por el tiempo que se tarda en recorrerla, cosa que está dentro de las mejores tradiciones, se tiene una métrica no simétrica. Ya se entiende, pues, que cada tensor de una métrica introduciría una medida en nuestra variedad, que sería convertida en una variedad métrica.

La teoría de tensores y las variedades riemannianas informaron la construcción de la teoría de la relatividad. En esta ocasión, unas especulaciones matemáticas, que parecían alejarse de las aplicaciones, permitieron tener a punto el instrumento idóneo cuando la Física lo necesitó para su desarrollo.

5. Geometría local. Si un punto de una superficie perteneciese a dos cartas locales distintas, siendo, respectivamente,

(ui, u2)>Y>(VI, v2)

las coordenadas curvilíneas locales en cada una de ellas, tanto la ui como las vi (i=1,2) serán funciones sobre la superficie, trasladadas, de funciones de dos variables en el plano mediante los homeomorfismos de que hemos hablado; cada una de ellas se podrá expresar entonces como función de dos variables, las coordenadas de una carta local. En particular se podrá escribir:

VI =VI(ui, u2),>v2=v~ui, u2) así como también:

u1=ui(vi, v2),>u2=u2(vi, v2)

A tales funciones se les exige unas determinadas condiciones de derivabilidad, etc., en las que no vamos a detenernos. Estas expresiones, que son las de las transformaciones de coordenadas en un punto, se corresponden, en el espacio vectorial tangente a la superficie en él, con los cambios de coordenadas cuando se eligen, como bases de ese espacio, los vectores tangentes en el punto a las curvas coordenadas.

Ahora bien, las transformaciones de coordenadas en un espacio geométrico forman un grupo (v. GRUPOS, TEORíA DE), y así ocurre también con éstas. Pero las ecuaciones de esas transformaciones pueden ser interpretadas de una nueva forma: suponiendo que no cambia el sistema de coordenadas y que, entonces, el punto que en ese sistema tenía por coordenadas (u,, u2) se transforma en el punto de coordenadas (vi, v2) dadas por aquellas ecuaciones. Se tiene de esta manera un grupo de transformaciones en el espacio, y ese grupo es el que caracteriza la G.; según qué grupo de transformaciones se elija, se tendrá una G. Y si esas transformaciones afectan a todos los puntos del espacio, se dice que la G. es del tipo de Klein.

En nuestro caso, no ocurre tal cosa. Las transformaciones de coordenadas que hemos expuesto afectan sólo a la parte común a las dos cartas locales que contienen al punto de que hemos partido. De modo que, consideradas como transformaciones del espacio en el que están definidas las coordenadas, esto es, nuestra superficie, sólo podemos asegurar que transformen un entorno del punto en otro entorno del mismo punto. El grupo de transformaciones de esta G. afecta, por consiguiente, sólo a los entornos de cada punto; por eso decimos que es un grupo local. Así, pues, en cada punto de la superficie tenemos definido un grupo local fundamental de transformaciones que nos define una G. que opera solamente en los entornos de ese punto: se trata, por tanto, de una G. diferencial local.

Esta G. se corresponde con la G. lineal del espacio vectorial tangente en ese punto. Recíprocamente, si en ese espacio tangente (plano, en este caso), construimos sucesivamente el plano métrico, el afín, el proyectivo, etc., se traducirá, en los entornos del punto dado, en una G. afín o proyectiva, etc., pero siempre local. Lo que no podemos, al menos sin una nueva convención, es relacionar la G. local en un punto con la G. en otro punto distinto, como pasa en los espacios de Klein. De un modo un poco elemental podríamos decir que sabemos movernos alrededor de un punto sin alejarnos de él, pero no sabemos trasladarnos de ese punto a otro distinto.

6. La conexión. Esa convención que necesitábamos para poder pasar de la G. local en un punto a la de otro se llama teoría de la conexión. Ya que la teoría local en un punto está reflejada en el espacio tangente en ese punto, la conexión consistirá en relacionar entre sí los espacios tangentes en ambos puntos; esa relación sería precisamente la ligadura entre ambas G. locales y dependerá en general de la curva que une ambos puntos, trazada sobre la superficie o variedad.

Veamos un ejemplo dentro de un orden de ideas de la G. diferencial clásica. Si suponemos una superficie esférica sumergida en el espacio euclídeo de tres dimensiones, y dos puntos en ella con sus correspondientes planos tangentes, no hay en principio modo de relacionar ambos planos tangentes. Tomamos entonces una curva cualquiera perteneciente a la superficie esférica y que una ambos puntos; los planos tangentes a la superficie en cada uno de los puntos de esa curva tienen como envolvente una superficie desarrollable, que podemos aplicar sobre un plano; en ese plano se han superpuesto todos aquellos planos tangentes y, en particular, los dos planos de partida, los correspondientes al punto inicial y al punto final del arco de curva. Entonces, cualquier vector tangente a la superficie esférica en el primer punto, es decir, perteneciente al primer plano tangente, queda ahora representado en este plano del desarrollo por un vector de él; su equipolente con origen en el extremo de la curva se transformará, deshaciendo el desarrollo, en un vector tangente a la superficie esférica en el punto extremo de la curva que hemos trazado en ella; diremos que es paralelo al primer vector a lo largo de la curva dada. Este paralelismo no es un paralelismo ordinario en el espacio euclídeo en que está sumergida la superficie esférica, sino que establece una relación entre los vectores tangentes en dos puntos distintos de la superficie esférica, relación que seguiremos llamando de paralelismo y que depende, en general, de la curva a través de la cual se realiza. Precisando más, equivale a establecer un isomorfismo entre los espacios vectoriales (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII) asignados como espacios tangentes en esos dos puntos; ese isomorfismo, que depende de la curva que los une, es la última esencia de la definición de traslado paralelo de vectores sobre una superficie, debida a Levi-Civitá.

Para definir ese isomorfismo basta, como se sabe, relacionar una base de uno de los espacios tangentes con una base del otro espacio, y diremos que la segunda es la paralela a la primera, o la trasladada de la primera por paralelismo. Esta idea de ir trasladando una base paralelamente a sí misma a lo largo de una curva ya había sido utilizada en la G. diferencial clásica y había dado origen a las fórmulas de Frénet y a las de GaussWeingarten. Es E. Cartan quien hace uso sistemático de esa idea, elaborando la llamada teoría del triedro móvil y abriéndola a nuevas generalizaciones. En efecto, si en lugar de considerar el espacio vectorial tangente en cada punto, tomásemos los espacios métricos, o los afines, o los proyectivos, etc., los isomorfismos entre ellos nos permitirían relacionar las G. locales de las distintas significaciones y obtener así una G. métrica, o afín, o proyectiva, etc., sobre la variedad. Esos isomorfismos son, precisamente, las llamadas conexiones: lineal la primera, métrica, afín, proyectiva... Así se van construyendo los espacios con conexión de cada uno de los tipos. Así también, teniendo para cada una de estas G. una noción de paralelismo, definida a través de los correspondientes isomorfismos, y que depende del camino entre los puntos, se tendrá, para cada una de esas traslaciones por paralelismo, una definición de derivada y de diferencial: la derivada covariante o la diferencial absoluta de una determinada conexión. Si, concretamente, el espacio fuese el euclídeo y el paralelismo también euclídeo u ordinario, se tendría la derivada y la diferencial ordinarias. Se ha llegado así a desentrañar la última significación encerrada en estas ideas iniciales del cálculo infinitesimal.

Montar ahora toda esta teoría, como se hace actualmente, sobre los espacios fibrados (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS III) es ya únicamente una cuestión técnica que favorece su esclarecimiento. Téngase presente que lo que interesa es hacer corresponder a un sistema de referencia en un punto, el sistema de referencia paralelo en otro punto. Pero considerar en un punto todos los sistemas de referencia de un cierto tipo, vectorial, métrico, afín, proyectivo..., equivale a dar un conjunto de objetos, la fibra, tales que se pasa de uno a otro mediante una transformación de un grupo: el general lineal, el ortogonal, el afín, el proyectivo..., respectivamente; a su vez, el conjunto de referencias se puede identificar con el grupo que opera sobre ellas, y el fibrado sería principal. El paralelismo sería pasar de una fibra en un punto a la fibra en otro, y a esto tiende la definición de conexión en un fibrado principal mediante los espacios horizontales. Cada curva entre dos puntos de la variedad se elevaría sobre el fibrado con conexión a una curva horizontal, que pondría en relación un elemento de la fibra en el primer punto con el extremo de la curva horizontal, es decir, una referencia en el primer punto con una referencia, su paralela, en el otro.

7. Variedades diferenciables. Repetidas veces hemos utilizado la palabra "variedad", como generalizando cuanto decíamos de la superficie. Ciertamente hemos usado la superficie como material más intuitivo sobre el que poder apoyar, de un modo elemental, algunas de las ideas que constituyen el núcleo de la G. diferencial. Pero ya se comprende que su generalización a variedades de dimensiones mayores que dos, como es la superficie, no ofrece en principio graves inconvenientes. En tal caso, las cartas locales no se lograrán ya mediante homeomorfismos con abiertos de un plano, sino con abiertos del espacio real n-dimensional, si queremos estudiar una variedad de dimensión n; esto es, con el conjunto de elementos de la forma (ri, r2, ..., rn), donde las r; van recorriendo todos los números reales; cada uno de esos elementos es un punto del espacio real de n dimensiones y se ha definido una topología (v.) natural en ese espacio. A partir de estos homeomorfismos se logra, con ciertas condiciones, dar a la variedad topológica de partida una estructura de variedad diferenciable, precisamente a través de la familia de funciones que se puede definir sobre ella.

Queda el problema de saber si toda variedad es susceptible de admitir una estructura diferencial. En 1960 dio Kervaire un ejemplo de variedad compacta triangulable de dimensión diez que no admite estructura de variedad diferenciable. Surgen aún nuevos problemas: si para una determinada variedad existe tal estructura, ¿es ésta esencialmente única o puede poseer estructuras diferenciales distintas? Fue J. Milnor quien en 1956 hizo un descubrimiento sorprendente: la esfera de dimensión siete posee estructuras diferenciales esencialmente distintas. Y quedan problemas pendientes todavía en esta dirección: si una variedad posee distintas estructuras diferenciales, ¿se puede hacer una clasificación de todas estas posibles estructuras? Entramos así en una de las ramas más nuevas e importantes de la Matemática actual: la Topología diferencial.

JOSÉ J. ETAYO.

BIBL.: D. J. STRUIK, Geometría diferencial clásica, 3 ed. Madrid 1966; R. L. BISHOP y R. J. CRITTENDEN, Geometry of Manifolds, Nueva York 1964; S. KOBAYASHI y K. Nomizu, Foundateons of Differential Geometry, Nueva York 1963; VIDAL ABASCAL, Geometría diferencial, Madrid.