Geometría IV. Geometría Analítica.

Categoria:

Matemáticas

1. Coordenadas en el espacio. Los progresos auténticos de la Matemática son aquellos en los que campos al parecer totalmente independientes, por obra de un matemático genial, descubren su identidad y se fusionan en uno solo. Así sucedió con la obra de R. Descartes (v.) que unió de un golpe el Álgebra con la G. y con ello inició la Matemática moderna. Su creación fue la G. analítica.

En G. analítica, las coordenadas de un objeto son un conjunto de números reales dados en un cierto orden que lo determinan unívocamente. La Matemática griega, aun cuando no llegó a tener la idea fundamental de la G. analítica (quizá por carecer de un Álgebra útil) sí que usó las coordenadas con respecto a dos y aún más ejes para estudiar propiedades geométricas de algunas figuras, con la diferencia, frente a P. Fermat (v.) y Descartes, de que sus ejes estaban estrechamente ligados a la forma geométrica a estudiar, mientras estos matemáticos independizaron los ejes de la figura. .No obstante, ya desde el origen de la G. analítica, comenzó la teoría algebraica de las formas cuadráticas (v. vi), a separarse de su envoltura geométrica. Fermat sabía que una ecuación de segundo grado en dos variables, x, y, representaba en el plano a una cónica (v.), y si la ecuación de segundo grado era de tres variables, x, y, z, en el espacio representaba a una cuádrica (v.). En el s. xvili al evolucionar la G. analítica de dos y tres dimensiones, aparecen (a propósito de las cónicas y de las cuádricas) dos de los problemas centrales de la teoría: la reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados y la búsqueda de sus ejes. La ley de inercia de las formas cuadráticas es descubierta por K. G. Jacobi en 1850. A. L. Cauchy demuestra que la ecuación característica que da los valores propios es invariante respecto de cualquier cambio de ejes rectangulares. L. Euler señala la forma analítica de buscar las simetrías en las figuras planas. En resumen, demuestra que todo movimiento plano es un giro, una traslación, o una traslación seguida de una simetría (v. TRANSFORMACIóN). El propio Euler descubre que el determinante de la matriz asociada a un giro es igual a uno.

En la G. analítica cartesiana un punto del espacio ordinario (de tres dimensiones) se define mediante una terna de números reales, dados en un orden determinado, que no son sino las distancias que existen entre el punto y los planos asociados a un sistema de referencia formado por tres rectas que se cortan entre sí ortogonalmente (son las llamadas coordenadas cartesianas rectangulares). Estas tres sectas se consideran orientadas y elegida en ellas una misma unidad de medida. Naturalmente, ello presupone la continuidad numérica de la recta, que hace posible asociar a todo segmento rectilíneo un número real que expresa su longitud. En el fondo, la G. se aritmetiza con este procedimiento. Conviene advertir que la continuidad numérica equivale a admitir el axioma de Dedekind que se formula así: "Dada una recta y clasificados sus puntos en dos clases cl y c2 verificando las condiciones: 1) existen puntos de la recta en la clase c, y en la clase c2; 2) todo punto de la recta pertenece a cl o a c2; 3) todo punto de c, es anterior a todo punto de c2; entonces existe un único punto P de la recta r, tal que todos los puntos anteriores a él son de cI y todos los posteriores son de c2". A este punto se le llama frontera de las dos clases y se dice que ha sido definido mediante una cortadura. Como en el axioma no se señala que P es el último de ci o el primero de c2, se adopta un convenio u otro. Con el axioma anterior se establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta y los números reales.

Este único axioma, que presupone la noción de ordenación, es equivaente a los de Cantor y Arquímedes conjuntamente, que exigen las nociones de desigualdad y de congruencia.

Pocos años después de la edad de oro de la G. sintética proyectiva (v. viii), son Gergonne, J. Plücker y A. F. Moebius (1790-1868) los que inician la rehabilitación infravalorada de la G. analítica, al conseguir que la noción de dualidad asociada a las formas cuadráticas se desligue de ellas. En particular, Moebius, al estudiar la dualidad en un espacio de tres dimensiones (definida por una forma bilineal), encuentra la dualidad respecto de una forma bilineal alternada. Y son A. Cayley, H. G. Grassmann y Plücker los que, al introducir las coordenadas plückerianas, crean la G. de las rectas, dando con ello un avance definitivo. Es Moebius el primer matemático que utiliza en G. de forma coherente el llamado principio del signo, pero es H. G. Grassmann (18091877), con su obra Linealen Ausdehnunungslehre (Teoría de la extensión), 1844, abundantísima en ideas, aunque algo oscura, quien por primera vez aplica el signo, sólo utilizado para áreas y volúmenes, a otras magnitudes geométricas menos elementales; el propio Grassmann en una edición posterior de dicha obra, al utilizar la representación analítica por medio de coordenadas, la hace más inteligible; con su título (Teoría de la extensión), pretende indicar que el espacio es de cualquier número de dimensiones; sin embargo, el nombre que ha prevalecido para tal teoría es el de Geometría-n-dimensional. F. Klein (1849-1925) en su obra Elementamathematik von hóheren Standpunkte (Matemática elemental desde el punto de vista superior, Madrid 1927-31), define así las variedades de Grassmann: "Considerando, tanto en el plano como en el espacio, todas las matrices (v.) rectangulares con menos filas que columnas, cada una de cuyas filas está formada por las coordenadas de un punto y el número uno, se trata de investigar las formas geométricas definidas por los determinantes que se obtienen de dichas matrices, por supresión de un número suficiente de columnas". En la citada obra aplica las ideas de Grassmann, que le permiten una sistematización de la G.

2. El cálculo vectorial. El propio Klein hace notar que, quizá por su difícil lectura, la obra de Grassmann influye poco en la Física, en general, y en la Mecánica, en particular. Por el contrario, W. R. Hamilton (1805-65), creador de los cuaternios, influye de forma decisiva. Es el primero en emplear la palabra vector para designar lo que hoy día se llama vector libre, y llega a distinguir los vectores polares de los axiales diciendo: un vector polar cambia su signo en las simetrías y es, por tanto, idéntico al llamado vector libre, y un vector axial no cambia y, por consiguiente, coincide con la noción de área plana libre.

Es también Hamilton quien usa por primera vez el término escalar, que no es otra cosa sino un invariante respecto de todas las transformaciones de coordenadas. En el "Programa de Erlangen" (1872) de Klein, se utiliza la noción de grupo de transformaciones geométricas, que permite la sistematización de las distintas G. La noción de producto escalar, que no es sino la de forma bilineal simétrica asociada a una forma cuadrática, obtiene una aceptación insospechada. Los que primero la manejan son los que se dedican a la divulgación del cálculo vectorial, pero es desde que D. Hilbert (v.) introduce el espacio que lleva su nombre cuando adquiere su auténtico relieve íntimamente ligado a la noción de forma hermítica, ya que desde el año 1925 son los espacios de Hilbert complejos los instrumentos de trabajo de las teorías de la Mecánica cuántica (v. MECÁNICA IV). El mismo concepto de dualidad enunciado primero por J. V. Poncelet (1788-1867), pero aclarado de forma definitiva con la evolución de la G. analítica, se extiende a los campos más diversos, de tal forma que hoy día puede decirse que no existe teoría matemática elemental en la que las formas bilineales no aparezcan de alguna manera. La tendencia de toda el Álgebra moderna ha sido la de prescindir casi por completo de las restricciones que se hacían respecto del anillo de los escalares cuando se formulaba la teoría de las llamadas formas sesquilineales.

3. Las Álgebras. Con anterioridad, Fermat anunció ya el paso natural del plano bidimensional al espacio de tres dimensiones y de éste al de n dimensiones. K. F. Gauss orientó a los matemáticos al estudio de las llamadas Álgebras o Sistemas hipercomplejos. Una vez que se interpretó geométricamente el producto de números complejos por giros, se trató de contrastar si los giros en el espacio de tres dimensiones formaban un grupo conmutativo y la respuesta fue negativa. Estas ideas son las que condujeron a W. R. Hamilton (1805-65) al hallazgo de los cuaternios, primer ejemplo de cuerpo no abeliano, después que J. J. Sylvester introdujo las matrices y definió su rango, observando que una matriz no es otra cosa que una notación condensada de una sustitución lineal, hecho que ya había sido observado por Gauss.

Fue Grassmann quien descubrió lo que hoy se llama Álgebra exterior y construyó una amplia teoría algebraicogeométrica basándose en una concepción intrínseca del espacio vectorial de n dimensiones. Por primera vez define la independencia lineal de vectores, la noción dimensión de un espacio vectorial e, incluso, llega a la obtención de la relación básica en dichos espacios:

dim. V +dim. V’=dim. (V U V’)+dim. (V fl V’), siendo V y V’ sendas variedades lineales (v. ii; vi; ESPACIOS MATEMÁTICOS VII). La multiplicación exterior y la interior de los llamados multivectores le permiten abordar los problemas del Álgebra lineal y los concernientes a la ’estructura euclídea, equivalente a la noción de vectores ortogonales (v. ÁLGEBRA).

L. Kronecker y K. Weierstrass son los primeros en definir axiomáticamente los determinantes (funciones multilineales alternadas de n vectores en un espacio de n dimensiones, normalizadas de forma que la matriz tenga el valor l). Son A. Cayley, Ch. Hermite y Sylvester los creadores de la teoría de invariantes, pues al formular su teoría de las representaciones del grupo lineal toman conciencia de que ésta no es sino el equivalente algebraico de la dualidad de la G. proyectiva. Igualmente, distinguen los vectores de un espacio de los del espacio dual. En sus comienzos se limitan a las formas de grado dos, y pasan después a las de cualquier grado. Primeramente utilizan las de dos y tres variables, pero en seguida aparecen las formas bilineales y las multilineales en diversas series de variables, llamadas cogredientes o contragredientes, lo que constituye la aparición de los tensores en el campo de la Matemática. En 1900, T. Levi-Civitá utiliza el cálculo tensorial en la G. diferencial. Posteriormente dicho cálculo pasa a ser la herramienta de cálculo de los físicos relativistas. Las mutuas relaciones entre la G. diferencial, la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría de invariantes conducen a los geómetras a ocuparse de las formas bilineales alternadas de diferenciales. E. Cartan y J. H. Poincaré crean el cálculo de las llamadas formas diferenciales y exteriores. Cartan advierte que la parte algebraica de su Cálculo diferencial exterior coincide con la multiplicación exterior de Grassmann. Escribiendo las formas diferencíales exteriores con la notación del cálculo tensorial, se advierte su íntima relación con los tensores llamados antisimétricos (v. v). Modernamente, con el método axiomático y la noción de estructura, se hace posible formular los teoremas en toda su generalidad.

4. La Geometría básica. Actualmente la G. analítica ha desaparecido del cuadro de disciplinas que se cursan en las universidades y ocupa su puesto la G. básica que se apoya en la noción de espacio vectorial, construyendo sobre él el espacio afín y el proyectivo. Análogamente, el estudio métrico y afín de las cónicas y cuádricas se sistematiza cuando se considera al espacio afín como un subespacio del espacio proyectivo (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS I y v), y se utilizan las nociones proyectivas de perpendicularidad para la obtención de las propiedades métricas de las cónicas y de las cuádricas. En otro terreno, es G. F. Riemann (v.) el primero que, en sus investigaciones sobre el entonces llamado Analysis situs, razona en un espacio de n dimensiones por analogía con lo que se hace en uno de tres, y puede considerársele como el creador de la Topología (v.).

Riemann, en su famosa disertación de Gotinga (1851), ya afirma que "el conjunto de estas funciones forma un dominio conexo cerrado en sí", frase que constituye la primera alusión a los llamados actualmente espacios funcionales. Con posterioridad, los descubrimientos de G. F. Cantor (v.) y, en particular, el célebre teorema que demuestra que

R y RxRxR...

tienen igual potencia, dejan en entredicho la noción aceptada de dimensión y señalan la necesidad de una base firme para los razonamientos de la G. y de la Topología (v.), aconsejando prescindir totalmente de cualquier apelación a la intuición.

Como conclusión puede afirmarse que la G. analítica ha servido de punto de partida y de fuente de ideas a otras ramas de la Matemática que, desbordando a aquélla, han conducido a su anulación como campo de investigación, aunque, como contrapartida, debe reconocerse que ha sido la base para el desarrollo de disciplinas -tan actuales y vivas como la Topología, los espacios vectoriales topológicos, la G. diferencial moderna, los grupos topológicos, la integral de Haar, etc.

V. t.: ÁLGEBRA; ESPACIOS MATEMÁTICOS.

GONZALO G. LÓPEZ DE HEREDIA.

BIBL.: G. CASTELNUOVO, Lezioni di Geometría analítica, 11 ed. Roma 1951; E. RODRfGUEZ, Lecciones de Geometría analítica y Análisis vectorial, Madrid 1947; D. J. STRUIK, Lectures on analytic and projective Geometry, Reading, Mass. 1953; L. GoDEAUX y O. ROZET, Lepons de Géométrie projective, 2 ed. París 1952; J. STRUIK, Geometría diferencial clásica, Madrid 1955; P. ABELLANAS, Geometría básica, Madrid 1961; G. DE RHAM, Variétés différentiables, París 1960; S. LANG, Introduction to differential manifolds, Nueva York-Londres 1967; O. SCHREIER y E. SPERNER, Introduction to modern Algebra and matrix theory, Nueva York 1961; ÍD, Projective Geometry of any dimensions, Nueva York 1961; A. LICHNEROwicz, Elementos de cálculo sensorial, Madrid 1962; fD, Algébre et Analyse Linéaires, París 1960; 1. REY PASTOR y L. S. SANTALó, Geometría integral, Buenos Aires 1951; E. CARTAN, Lecon sur la Géométrie des Espaces de Riemann, París 1951; N. BOURBAKI, Topologie générale, París 1953.