Geometría VI. Geometria Euclidea.

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Matemáticas

1. La axiomatización de Hilbert. Hasta tiempo muy reciente se consideraba al espacio euclídeo de dimensión tres (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS II) como el único propio de la Matemática y los restantes espacios, que iban surgiendo con el ’desarrollo de las teorías, se derivaban del espacio euclídeo, que siempre era el punto básico de partida; esto dio lugar a numerosas sistematizaciones y axiomatizaciones de este espacio. Actualmente la situación es muy distinta; el espacio euclídeo puede y debe ser considerado como un concepto derivado de otros más sencillos. Empezaremos, sin embargo, por exponer la clásica axiomatización de D. Hilbert (v.) sobre el espacio euclídeo de dimensión tres, que, además de representar la culminación de un periodo histórico, puede considerarse como uno de los sistemas de axiomas más perfectos que se han establecido en la Matemática; posteriormente, haremos una introducción general del espacio euclídeo. En la axiomatización de D. Hilbert se establecen cinco grupos de axiomas: de enlace, de ordenación, de congruencia, de paralelismo y de continuidad, que relacionan tres conjuntos distintos en entidades que son los puntos (indicados con letras mayúsculas), las rectas (con letras minúsculas) y los planos (con letras griegas), con una relación entre ellos que es la relación de contenido o de pertenencia.

Axiomas de enlace: 1) Dados dos puntos, existe siempre una recta que los contiene. 2) La recta indicada en el axioma anterior está unívocamente determinada por los dos puntos cuando son distintos. 3) En cada recta hay al menos dos puntos, y existen al menos tres puntos que no pertenecen a la misma recta. 4) Dados tres puntos no situados en la misma recta existe un plano que los contiene. 5) El plano al que se refiere el axioma anterior está determinado unívocamente por los tres puntos. 6) Si dos puntos distintos A y B están situados en un plano a, todos los puntos de la recta, a, que contiene a los puntos A y B están contenidos en a. 7) Si dos planos a y a tienen en común un punto A, existe otro punto B, común a los dos planos. 8) Existen al menos cuatro puntos no situados en el mismo plano. Estos axiomas expresan las relaciones básicas de incidencia del espacio euclídeo.

Axiomas de ordenación. Entre los puntos de una recta existe una relación de "estar situado entre" o "estar entre", determinada por los axiomas que se indican a continuación: 1) Si A, B y C son puntos de una recta, distintos, y B está entre A y C, B está entre C y A. 2) Dados dos puntos A y C de una recta, existe al menos un tercer punto, B, en la recta, que está entre A y C. 3) De tres puntos distintos cualesquiera de una recta, solamente existe uno que está situado entre los otros dos. Dados dos puntos, A y B, se define como segmento AB o BA al conjunto de los puntos A, B y todos los de la recta que contiene a A y B que están entre A y B; los puntos de la recta que no pertenecen al segmento se llaman exteriores al segmento. 4) Sean A, B y C puntos no situados en la misma recta y a una recta del plano A, B, C, que no contiene a ninguno de estos puntos; cuando la recta a pasa por un punto del segmento AB, pasa por un punto del segmento AC o por un punto del segmento BC.

A partir de los axiomas precedentes se establecen los conceptos de semirrecta (que se designa por rayo) y de semiplano: dado un punto, A, de una recta, existe una clasificación única de los puntos de la recta distintos del punto A en dos conjuntos, llamados semirrectas de origen A y tales que A pertenece al segmento dete°minado por dos puntos de la recta (distintos del punto . ) si, y solamente si, los puntos pertenecen a semirrectas distintas; dada una recta, a, de un plano, existe una clasificación única de los puntos del plano distintos de los puntos de la recta a en dos conjuntos, llamados semiplanos de borde a, y tales que la recta a contiene puntos inferiores del segmento determinado por dos puntos que no pertenecen a a si, y solamente si, los dos puntos están en semiplanos distintos; desde un plano, a, existe una clasificación única de los puntos del espacio no contenidos en el plano a, en dos conjuntos llamados regiones determinadas por a y tales que a contiene puntos interiores del segmento determinado por dos puntos no contenidos en el plano si, y solamente si, los puntos están en regiones distintas.

Axiomas de congruencia. Entre los segmentos del espacio existe una relación de congruencia o igualdad, que está determinada por los axiomas siguientes: 1) Sean A, B dos puntos de una recta a, y A’ un punto de una recta a’ (que puede ser la misma a); puede encontrarse sobre una de las semirrectas de a’ de origen en A’ un solo punto, B’, tal que los segmentos AB y A’B’ sean congruentes (se indica que los segmentos AB y A’B’ son los símbolos

AB - A’B’). 2) Si los segmentos A’B’ y A"B" son congruentes con el segmento AB, el segmento A’B’ es congruente con el A"B". 3) Sean AB y BC dos segmentos de la recta a sin puntos comunes y A’B’ y B’C’ dos segmentos sobre la recta a’ (que puede coincidir o no con la recta a) sin puntos comunes; si

AB - A’B’>y>BC = B’C’,

se verifica que

AC - A’c.

Se definen los ángulos convexos como pares de semirrectas con el origen común. 4) Sea (h, k) un ángulo contenido en un plano a, a’ una recta contenida en un plano a’ y consideremos uno de los semiplanos de a’ determinados por la recta a’; sea h’ una semirrecta contenida en a’ de origen O’. Existe en el plano a’ una, y solamente una, semirrecta k’ tal que el ángulo (h, k) sea congruente con el ángulo (h’, k’) y tal que el ángulo (h’, k’) esté situado en el semiplano dado. 5) Si dos triángulos ABC y A’B’C’ verifican las relaciones,

AB = A’B’,>AC - A’C’,>BAC - B’A’C’ se verifica la relación,

n

ABC - A’B’C’.

De los axiomas anteriores pueden deducirse los criterios de igualdad de triángulos, la ordenación de ángulos y la definición de perpendicularidad.

Axiomas de paralelismo. 1) Axioma de Euclides: sea a una recta cualquiera y A un punto exterior a la recta; en el plano determinado por a y A existe a lo más una recta que pasa por A y no corta a la recta. Observemos que de los axiomas anteriores puede deducirse que al menos hay una recta que pasa por a y que no corta a la recta dada, por lo que este axioma se limita a imponer la unicidad.

Axiomas de continuidad. 1) Axioma de Arquímedes: siendo AB y CD segmentos cualesquiera, existe siempre sobre la recta AB un número de puntos,

Al, A2, ..., A?

de modo que los segmentos,

AA,, AlA2, A2A3, ..., A?_IA?

son congruentes con el segmento CD, y el punto B queda entre A y An. 2) Los puntos de una recta forman un sistema que no es susceptible de ampliación alguna bajo la condición de conservar la ordenación lineal, el primer axioma de congruencia y el axioma de Arquímedes; es decir, no es posible añadir a este sistema de puntos otros puntos de modo que el sistema obtenido verifique los axiomas anteriores.

A partir de estos axiomas se puede edificar toda la teoría del espacio euclídeo de dimensión tres. En particular, se puede demostrar que los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números reales, de modo que a la relación "estar entre" de los puntos corresponda la relación "estar entre" que da a los números reales la ordenación natural.

Observemos que el postulado o axioma de Arquímedes desempeña un papel fundamental en la posibilidad de que los puntos de una recta puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los números reales. Un axioma en estrecha relación con esta cuestión es el de Dedekind (v.): si C es un conjunto totalmente ordenado y

C=C1 U C2,

de modo que todo elemento de Cl es mayor o igual que todo elemento de C2, existe un elemento a de C, tal que a es menor o igual que cualquier elemento de Cl y es mayor o igual que cualquier elemento de C2; es fácil comprobar que los puntos de una recta, con la ordenación dada por el sentido de la recta, verifican el postulado de Dedekind.

2. El espacio euclídeo. A continuación vamos a introducir, en toda su generalidad, el concepto de espacio euclídeo, partiendo de las estructuras de espacio vectorial y afín (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS i y vii). Un espacio euclídeo es un espacio afín sobre un espacio vectorial euclídeo V; es decir, V es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales, en el que se tiene definido un producto escalar tal que, v 7- 0 implica que vv 7~: 0 (espacio vectorial que se llama espacio vectorial euclídeo), el espacio afín definido sobre V se llama espacio euclídeo; para dim. V=1 se tiene la recta euclídea y para

dim. V=2

se tiene el plano euclídeo. Se define la distancia entre dos puntos A, B, como el módulo del vector A-B, es decir,

dist. (A, B)= IA-BI ;

de acuerdo con la definición de espacio euclídeo, dist. (A, B)=0

es equivalente a A=B; la distancia, así definida, posee las propiedades siguientes: a) simétrica,

dist. (A, B)=dist. (B, A);

b) triangular,

dist. (A, B)+dist. (B, C)?dist. (A, C). Si se tienen las rectas,

r=AB, r’=A’B’,

se define el ángulo

donde el numerador es el producto escalar de los vectores que en él aparecen. Se puede demostrar que cos

(B- A)?(B’-A’)=0.

En un espacio vectorial euclídeo, V, si U es una variedad lineal, se llama variedad ortogonal, w(U), al conjunto de los vectores cuyo producto por cualquier elemento de V es el elemento nulo; cw(U) es una variedad lineal del espacio vectorial tal que,

dim. U+dim. "(U)=dim. V.

Dadas dos variedades U y U’ del espacio vectorial euclídeo, V, se dice que son ortogonales cuando el producto escalar de dos vectores cualesquiera, uno de U y otro de U’, es igual a cero, es decir, cuando se verifica que, w(U) D U’

o que

w(U’) D U.

Son de inmediata comprobación las relaciones siguientes: a)

w[w(U)]=U;

b)

co(U (1 U’)=cw(U)+w(U’); w(U+U’)=w(U) (1 w (U’); c)

U C U’>implica que>w(U) D w(U’).

Si L y L son variedades lineales del espacio euclídeo, se dice que son ortogonales cuando sus variedades de dirección son ortogonales en el espacio vectorial euclídeo sobre el que está definido el espacio.

Si

ui, .., un

es una base métrica del espacio vectorial euclídeo sobre el que se ha definido el espacio (es decir, una base tal que

uiu¡

es igual a cero para i f, y es igual a 1 para i>con respecto a esta base, la matriz (gii) que define el producto escalar es la matriz unidad y el producto escalar de los vectores

(ri, r2, .... rn)>y>(si, s2, . ., sn),

cuando se han tomado las componentes respecto de esta base, es igual a

r,si + r2s2 + ... + r,,sn.

Sea 0 un punto del espacio afín y tomemos el sistema de referencia cartesiano,

0, ni, u2, ..., un;

si A y B son dos puntos de coordenadas (al, a2, ..., an)>y>(bi, b2, . ., bn) respectivamente, el vector A-B tiene las componentes (al -bi, a2-b2, ..., an-bn),

puesto que

A-B=(A-0)-(B- 0), y, por consiguiente,

dist. (A, B)= >,/(A-B).(A-B)=

= ~/ (ai-bi)2+(a2-b2)2+... +(an-bn)2;

la recta AB tiene como ecuaciones, Xi=Xai+P-bt, 1=X+g? o bien,

Xi=Áai+(1- A)bi=bi+ X(a;-bi),

y la variedad de dirección tiene como base al vector de componentes,

(al-bl, a2-b2, ..., an-bn), y si A’, B’ son puntos de coordenadas

(a’,, a’2, ..., a’,)>y>(b’1, b’2, .... b’n),

la variedad de dirección de la recta A’B’ tiene como base al vector de componentes

(a’,-b’i, a’2-b’2, . , a’n-b’n),

lo que quiere decir que el ángulo de las rectas AB y A’B’ viene determinado por

cos,p = Y-(a’i - b’i)/ NIY(ai - bi)2 . 1I Y(a’i - b’i)2

y que la condición necesaria y suficiente para que sean ortogonales o perpendiculares las rectas es que

Y(ai-bi) (a’i-b’i)=0.

De una manera análoga se pueden deducir las relaciones entre las coordenadas que expresan los distintos conceptos geométricos usuales.

Un concepto importante relativo al espacio euclídeo es el de las formas cuadráticas, es decir, el estudio de expresiones de la forma:

laijXIX¡+laiXi +a,

con el sentido geométrico que les puede dar. Para este estudio es conveniente considerar el espacio afín sobre el que está definido el espacio euclídeo, como subespacio de un espacio proyectivo (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS V); es decir, cada punto de coordenadas

(al, a2, ..., an)

del espacio afín de dimensión n se identifica con el punto

(1, al, a2, ..., an)

del espacio proyectivo de dimensión n, y el estudio de las formas cuadráticas del espacio afín o del espacio euclídeo se reduce al estudio de las formas cuadráticas homogéneas del espacio proyectivo, es decir, formas del tipo

la¡iXIXi.

Sea

1ailXIXi

una forma cuadrática, es decir, un polinomio en las indeterminadas

Xo, Xi, ..., Xn

cuyos coeficientes pertenecen al cuerpo (V. ÁLGEBRA) sobre el que está definido el espacio provectivo (en este caso el cuerpo de los números reales); cada forma cuadrática determina un conjunto de puntos

(ao, al, .... a?)

del espacio proyectivo, que son los puntos determinados por la condición,

Yai,a,,ai = 0,

es decir, son los puntos cuyas coordenadas anulan al polinomio que determina la forma; observemos que hay formas cuadráticas que no son anuladas por ningún punto.

Si a es un punto del espacio proyectivo, indicaremos con el mismo signo, a, a la matriz (v.) de una fila determinada por sus coordenadas respecto a un sistema de referencia, y por a’ a la matriz traspuesta de a; toda forma cuadrática puede expresarse en la forma, XAX’, en que A es una matriz cuadrada de orden n+ 1, estando A unívocamente determinada si se le impone que sea simétrica. Se dice que dos puntos a y b son conjugados respecto a una forma cuadrática, XAX’, cuando se verifica que

aAb’=0.

El conjunto de todos los puntos x, conjugados con un punto fijo a, es un hiperplano de ecuación

xAa’=0

y que se llama hiperplano polar del punto, que a su vez se llama polo del hiperplano. Si se tiene un cambio de coordenadas en el espacio proyectivo, dado por

px=x*T,

la forma cuadrática XAX’ se transforma en la forma cuadrática

1/p2TAT’.

Se puede demostrar que mediante un cambio adecuado de coordenadas en el espacio proyectivo, se puede reducir la forma cuadrática a una forma cuadrática determinada por una matriz diagonal (matriz todos cuyos elementos, salvo los de la diagonal principal, son nulos); se plantea, por tanto, el problema de clasificar las formas cuadráticas a través de la matriz que las representa respecto a un sistema de referencia, considerando como equivalentes las formas cuadráticas que pueden reducirse a una forma con la misma matriz mediante unos cambios adecuados del sistema de referencia. Cuando se consideran el espacio afín y el euclídeo como subespacios del espacio proyectivo, los cambios del sistema de referencia han de ser tales que correspondan a un cambio de sistema de coordenadas del espacio de que se trate y esto limita las posibilidades de tipos comunes en las formas cuadráticas.

Sin entrar en detalles diremos, respecto a la clasificación afín, que si f es una forma cuadrática, se llama forma cuadrática del infinito a la intersección de f con el hiperplano Xo=0 (es decir, la forma cuadrática que resulta de hacer Xo=0), y que la condición necesaria y suficiente para que dos formas cuadráticas sean equivalentes, en sentido afín, es que ellas y sus formas cuadráticas del infinito lo sean en sentido proyectivo; con esto, el problema queda trasladado enteramente al espacio proyectivo. La clasificación métrica, es decir, la clasificación en el espacio euclídeo plantea mayores dificultades; en general, lo más adecuado es subdividir cada uno de los tipos afines mediante elementos invariantes en el cambio de sistema de coordenadas. Un problema íntimamente relacionado con la clasificación es el indicar, dentro de cada tipo, la ecuación más sencilla que puede tomar la forma cuadrática.

En el caso de dimensión dos, el espacio euclídeo se llama plano euclídeo y las formas cuadráticas se llaman cónicas (v.). Indicaremos a continuación los diversos tipos de formas cuadráticas en el plano euclídeo, poniendo entre paréntesis una forma sencilla que puede tomar la cónica: 1) Elipse imaginaria

(Xó +X2 +XZ).

2) Elipse real

(Xó-Xi -X2)"

3) Par de rectas imaginarias no paralelas (X¡+X2).

4) Hipérbola

(Xó-X¡+XZ).

5) Par de rectas reales no paralelas (X¡-X2).

6) Parábola

(XOXi +X2).

7) Par de rectas imaginarias paralelas (Xó+X2).

8) Par de rectas reales y paralelas (Xó-X2).

9) Par de rectas coincidentes (X;). 10) Recta real (XOXI). 11) El conjunto vacío (X0). 12) Todo el plano (OXO). Para clasificar métricamente las cónicas se utilizan los invariantes que indicaremos a continuación, en que Aü es el adjunto del elemento ai; de la matriz A que determina la cónica:

a) ¡Al. b) Aoo. c) ail+a22.

d) Cuando la cónica es un par de rectas paralelas es invariante

Ali + Azz

Las formas cuadráticas en el espacio euclídeo de dimensión tres se llaman cuádricas. Existen los siguientes tipos afines de cuádricas (se indica entre paréntesis una forma sencilla a que pueden reducirse sus ecuaciones): 1) Elipsoide imaginario

(Xó +X¡+XZ +X3).

2) Elipsoide real

(X02-X2-X2 -Xz _X2).

3) Hiperboloide elíptico

(Xó +X; +XZ-X3). 4) Paraboloide elíptico

(X2 +X2

+ XOX3).

5) Hiperboloide hiperbólico

(X2 +Xj-X2-X3). 6) Paraboloide hiperbólico

(x1-xz +xox3).

7) Superficie cónica imaginaria (X¡+X2+X3). 8) Superficie cilíndrica imaginaria

(X2 +X2 +X2). 9) Superficie cónica real

(Xi +X2-X3).

10) Superficie cilíndrica elíptica (X2-X2-X2). 11) Superficie cilíndrica hiperbólica (X2+Xj-X2). 12) Superficie cilíndrica parabólica (X233 + XOX1 +XOX2). 13) Par de planos imaginarios no paralelos (X; +X2).

14) Par de planos imaginarios paralelos (X2 + X¡).

15) Par de planos reales no paralelos (X2-XI). _XI).

16) Par de planos reales paralelos (X2-X2). 17) Un plano único real

(X0x1).

18) Dos planos reales coincidentes (X2).

19) El conjunto vacío

(XÓ).

20) Todo el espacio

(OXo).

Para la clasificación métrica de las cuádricas se pueden utilizar los invariantes siguientes

(A=(aü)

es la matriz que define la forma cuadrática; Al; es -el adjunto del elemento a;¡ de A; Ao es la matriz

(a¡,),>i, i=1, 2, 3): a) la ecuación secular

I Ao-x1 I =0,

que permite determinar las ecuaciones de las cuádricas con centro (cuádricas en que el polo del plano Xo=0 es un punto perteneciente al espacio afín). b) Si

Aoo= AOI = Aoz= Ao3,

son invariantes

A11 + Au + A33,

A11>A12>+>A11>A13 ~ + I A22>A23

A21 A22>A31 A33>A32 A33 A11 A12 A13

Az1 Az2 A23 A31 A32 A33

que permiten determinar las ecuaciones de las cuádricas en los casos restantes.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: D. HILBERT, Fundamentos de la Geometría, Madrid 1953; P. ABELLANAs, Geometría básica, Madrid 1961.