Geometría III. Geometria Algebraica.

Categoria:

Matemáticas

Reseña histórica. La G. algebraica actual ha tenido dos orígenes distintos, uno la G., otro la teoría de funciones algebraicas. La Geometría proyectiva (v. VIII) estudia las transformaciones definidas por ecuaciones lineales y homogéneas; se presentaba, por tanto, de un modo natural el estudio de las transformaciones, en el plano proyectivo y en el espacio proyectivo, definidas por polinomios homogéneos de grado superior al primero. Este estudio, comenzado por Cremona a fines del siglo pasado, fue uno de los orígenes de la G. algebraica. Por otro lado, el estudio de las funciones algebraicas, tanto desde el punto de vista trascendente, iniciado por Abel, como desde el punto de vista algebraico desarrollado magistralmente por Dedekind en una memoria de los Mathematischen Annalen, estudiaron y pusieron de relieve importantes propiedades de lo que hoy se designa con el nombre de variedades algebraicas.

El primer punto de vista, el geométrico, fue desarrollado principalmente por la escuela italiana, debiéndose los principales resultados a Bertini, C. Segre, Castelnuevo, Enriques y Severi. La técnica algebraica fue desarrollada fundamentalmente por Hilbert, E. Nother, Artin, Krull y V. der Waerden, y llegó a su culminación con Zariski y A. Weil. La vinculación trascendente fue impulsada por Picard, Hadamard y, posteriormente, con técnicas topológicas, por S. Lefschetz. La orientación actual, que supone una síntesis de todas las técnicas posteriores, se debe a Sevre y Grothendieck.

Variedades algebraicas. Sea P un espacio proyectivo (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS v) n-dimensional sobre un cuerpo K. Sea

A=K[xo, ..., xn]

el anillo de polinomios (v. ÁLGEBRA) con n+1 indeterminadas y coeficientes de K. Sea 61(P) el álgebra de Boole de las partes de P y sea cR(A) el retículo de los ideales de A. Se define una aplicación I:

CR(P) -> (R(A),

del siguiente modo: I(E)=al conjunto de todos los polinomios que se anulan en todos los puntos de E. El conjunto l(E) es un ideal homogéneo; esto es, si un polinomio f(x) pertenece a I(E), todos sus componentes homogéneos pertenecen también a I(E). Además, se verifica que si [F(x)]r pertenece a I(E), el polinomio f(x) pertenece a I(E), lo que se expresa diciendo que I(E) es un radical. La aplicación I tiene las siguientes propiedades: 1)

E C F>implica>I(E) D I(F).

2)

I(E U F)=I(E) n I(F).

3)

I(E n F) D I(E) +I(F). Análogamente, se define una aplicación V: CR(A) --> G>(P),

del siguiente modo: V(J)=conjunto de todos los puntos de P en los que se anulan todos los polinomios de J. La aplicación V posee las siguientes propiedades: 1)

J1 C 12>implica que>V(JI) D V(12)

2)

V(1I+12)=v(11) n V(12).

3)

v(1I n J2) D v(1I) U V(J2)

Se llama variedad algebraica a V(J) para todo J E (R(A).

Por consiguiente, a partir de un conjunto E de puntos de P se puede obtener una variedad algebraica mediante el proceso

E -> I(E) --> VI(E).

Análogamente, si J es un ideal de CR(A), mediante la aplicación:

J --> v(1) - Iv(1)

se llega a otro ideal tal que

1 C M1), IV(J)

es homogéneo y además radical. Se verifica que Viv(1)=v(1),

lo que establece una correspondencia biunívoca entre las variedades algebraicas y los ideales de A que sean homogéneos y radicales; en virtud de esta correspondencia a los ideales IV(J), se les llama ideales asociados a la variedad algebraica V(J).

Correspondencias algebraicas. Si A*=K[xo, ..., xn; y0, ..., ym] es un anillo de polinomios de m+n+2 variables con coeficientes en el cuerpo conmutativo K; sean A=K[xo,..., xnl>y>A’=K[yo,., y J.

Sean P y P’ espacios proyectivos sobre K de dimensiones n y m, respectivamente. Se puede definir una correspondencia entre P y P’ del siguiente modo: Sea B un ideal primo y homogéneo respecto de las x y de las y de A*.

Sea w una variedad algebraica de P; sea T el ideal asociado a w; J es un ideal de A. Sea A*1 el ideal de A* engendrado por J (v. ÁLGEBRA). Sea

A*J+lp* n A’

y sea, finalmente,

W’=V(A*1+6>* n A’)

la variedad algebraica de 6’ correspondiente al ideal A*J+e* n A’.

Se dice que W’=C(W) es la transformada total de W en la correspondencia algebraica definida por el ideal 6*. Ahora bien, C(W) puede ser el conjunto vacío. Se verifica que el conjunto de todas las variedades W de P tales que C(W) no sea el conjunto vacío, es la variedad algebraica V de P correspondiente al ideal

&=e* n P,

llamada variedad original, de la correspondencia algebraica C. Análogamente, el conjunto de todas las transformadas de las variedades algebraicas de P es otra variedad algebraica V’ de P’, llamada variedad imagen de la correspondencia algebraica C, siendo V’ la variedad asociada al ideal primo

6>’=6* n P,,

Siendo 6’ y 6’ ideales primos, se verifica que A/(9 y A

son anillos enteros, por lo que se pueden formar sus respectivos cuerpos de fracciones:

y E’.

En el caso particular en que estos cuerpos Y y Y-’ sean isomorfos, la correspondencia se llama birracional.

PEDRO ABELLANAS.

BIBL.: F. SEVERi, Geometría Algebraica, 1933; A. WEIL, Foundation o/ Algebraic Geometry, Coll. Am. Math. Soc., 1948; P. ABELLANAS, Correspondances algébriques, "Rev. Mat. Hisp. Am.", 1949; GROTHENDIECK, Éléments de Géométrie algébrique, París 1960 ss.