Geometría II. Geometria Afín.

Categoria:

Matemáticas

Tomaremos como punto de partida los conceptos contenidos en el artículo Espacios af ines (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS I). La primera cuestión que se presenta, al tratar de elaborar una teoría geométrica de un espacio, es establecer algún sistema de representación, que haga manejables sus elementos; y estos sistemas de representación se llaman sistemas de coordenadas en el caso de un espacio afín. Dado que un espacio afín se compone de elementos que son vectores de un espacio vectorial (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII), bastará tomar una base en ese espacio vectorial y asignar como coordenadas de cada punto las componentes del vector respecto a esta base; de este modo, cada punto viene determinado por n elementos del cuerpo k, en un cierto orden, lo que generalmente se indica por

(X1, X2,...,Xn);

este procedimiento puede generalizarse del modo siguiente: designamos por sistema de coordenadas a un conjunto de puntos

0, P1,P2, ..., Pn

linealmente independientes, siendo n la dimensión del espacio afín; de aquí se deduce que

P1-0, P2-0, ..., Pn-0

es una base del espacio vectorial sobre el que está definido el espacio afín; se hace corresponder a cada punto P, como coordenadas, las componentes del vector P-0 respecto a la base

P1-0, P2-0, ...,Pn-0;

estas coordenadas se suelen llamar coordenadas cartesianas cuando se las quiere distinguir de las coordenadas baricéntricas que vamos a definir a continuación. Si

A0, A1, ..., An

es un conjunto de puntos linealmente independientes de un espacio afín de dimensión n y P es un punto cualquiera, existe una relación del tipo,

P=r0A0+r1,A1+...+rnAn, Sri =1, ri vk,

en que los coeficientes ri están unívocamente determinados por las relaciones anteriores; así, cada punto viene representado por un conjunto de la forma

(r0, r1, ..., rn),

siendo

Sri= 1, ri vk,

y estos elementos, ri, se llaman coordenadas baricéntricas, afines o de Móbius del punto. En lo que se sigue de este artículo emplearemos siempre coordenadas cartesianas. Sean

Ai=(ai1, ai2, ..., ain), i=1,2, ..., p,

un conjunto de puntos; la condición necesaria y suficiente para que sean linealmente independientes es que el rango de la matriz (v.)

1 a11 a12 ... a1n

1 a12 a21 ... a2n

...................

1 ap1 ap2 ... apm

sea igual a p. A partir de aquí se pueden obtener las ecuaciones de las variedades lineales. Los puntos que están caracterizados porque sus coordenadas verifican un sistema de ecuaciones del tipo,

ai0 +a11X1+...+ain Xn=0, i:=1, 2, ..., p,

constituyen una variedad lineal, que es vacía si el sistema es incompatible (V. ROUCHÉ-FROBENIUS, TEOREMA DE) y que si no es vacía su dimensión es igual a n-r, siendo r el rango de la matriz

(aij), i = 1, 2, ..., p ; j=1,2, ...,n,

y toda variedad lineal puede obtenerse de esta forma; en particular, los hiperplanos pueden siempre obtenerse con una única ecuación; las ecuaciones de este tipo se llaman ecuaciones implícitas. Si C es el conjunto de puntos

A1, A2, ..., Ap, Ai=(ai1, ai2, ..., ain),

los puntos de L(C) están caracterizados porque sus coordenadas verifican una relación del tipo

Xl = l1a11+l2a21 + ... + lpap1

X2 = l1a12+l2a22 + ... + lpap2

.................................

Xn = l1a1n+l2a2n + ... + lpapn

l = l1 +l2 + ... + lp

es decir, todos aquellos puntos que se pueden obtener de la relación anterior para unos ciertos li; toda variedad puede expresarse en esta forma. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas y la dimensión de la variedad es r-1, siendo r el rango de la matriz

a11, a21 ... ap1

................

a1n, a2n ... apn

l l ... l

Si L y L’ son variedades cuya intersección no es el conjunto vacío, se verifica la relación,

dim. (L+L’)+dim. (L L’)=dim. L+dim. L’;

si la intersección es el conjunto vacío, solamente puede asegurarse que

dim. L+dim. L’ > dim. (L+L’)-1;

cuando se verifica la igualdad en esta relación se dice que las variedades se cruzan, y si no se verifica la igualdad se dice que las variedades son paralelas. El cálculo de las ecuaciones implícitas de la intersección de dos variedades se efectúa fácilmente, pues basta considerar conjuntamente las ecuaciones implícitas de las variedades. El cálculo de las ecuaciones paramétricas de la suma de dos variedades puede hacerse fácilmente a partir de las ecuaciones paramétricas de las variedades, pues éstas dan lugar de manera inmediata a la determinación de un conjunto, C, tal que L(C) es la variedad suma.

Nos referiremos, finalmente, al cambio de sistemas de coordenadas: dados dos sistemas de coordenadas, existe una matriz,

A= (al, a2, .>., a,)

y una matriz cuadrada y no singular, T, tal que si (xI, x2, .... x?)>Y>(x’l, x’2, .. ., x ri)

son las coordenadas del mismo punto respecto a los dos sistemas, se tiene la relación,

(x’I, x’2, . ., x’n)=[(xl, x2, . ., x?)-A]T, y, recíprocamente, si se toma una matriz, B=(bl, b2, ..., bn),

y S es una matriz cuadrada no singular, existen dos sistemas de coordenadas. en el espacio afín, tales que la relación entre las coordenadas de un punto en los dos sistemas se expresa mediante esas matrices.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: P. ABELLANAs, Geometría básica, Madrid 1961.