Geometría I. Generalidades.

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Matemáticas

Rama de la Matemática que se ocupa del estudio del espacio. Etimológicamente significa medición de la Tierra, porque en sus orígenes se reducía a un conjunto de reglas de agrimensura atribuidas a los babilonios y a los egipcios. Estas reglas, simples generalizaciones sacadas de la experiencia, fueron dando paso a otras que se obtenían de las primeras mediante un proceso de deducción lógica. El intento de deducir todas las proposiciones de la G. de un conjunto de ellas, consideradas como obvias por su adaptación empírica al espacio del universo, tuvo su culminación en la obra de Euclides (v.) que es el primer modelo, y durante muchos siglos el único, de axiomatización en Matemática.

La llamada G. euclídea (v. VI) no pierde su vigencia hasta mediados del s. XIX, cuando se ha llegado ya a una crisis del concepto de espacio. Toda la seguridad que la G. proporcionaba era la de que sus resultados se deducían de los axiomas a través de un riguroso proceso lógico, pero nada podía decir de la verificabilidad de ’los mismos axiomas. Cuando se comprueba que, partiendo de otros axiomas no equivalentes a los de Euclides (V. LOBACHEVSKI), se puede construir una teoría igualmente consistente, sin llegar a contradicción como se había anunciado, el espacio euclídeo pierde su categoría de ser el único posible, aunque se sigue pensando que es el que se adapta al espacio real. Los nuevos espacios, elíptico e hiperbólico, engendran unas nuevas G., no euclídeas, y comienzan a separar a esta ciencia de su primitiva finalidad de estudiar el mundo físico.

Al mismo tiempo se han ido produciendo nuevas generalizaciones. Desde el punto de vista del método, se ha creado la G. analítica (v. iv), que sustituye los puntos por pares o ternas de números, según se trate del plano o del espacio, y las figuras por ecuaciones; pasar a más de tres coordenadas equivale a crear espacios de dimensiones mayores, lo que libera aún más a la G. de su lastre empírico y físico. En otro orden de cosas, se ha elaborado igualmente la G. proyectiva (v. viii), que se desentiende del problema métrico de la G. euclídea y de la cual puede obtenerse ésta como particularización.

Al entrar en nuestro siglo han sucedido ya una serie de hechos importantes. Por una parte, ha observado Klein, en su Programa de Erlangen, que toda G. no es más que el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen invariantes mediante un grupo de transformaciones de su correspondiente espacio. Así, se va reencontrando la G. métrica, equiforme, afín, proyectiva, etc., caracterizada cada una de ellas por un grupo que opera transitivamente en el espacio.

Por otra parte, han surgido nuevas axiomáticas, como la de Pasch y la de Hilbert (v.), que acaban por desligar totalmente el espacio, sobre el que ha de sustentarse la G., del espacio físico del universo. El punto no es ya un ente que se define y que hace referencia a un punto material, sino algo cuya existencia se postula y al cual se sujeta a unas determinadas relaciones. Esas relaciones y las que de ellas se derivan definen el espacio, y su estudio constituye el objeto de la G. Se va llegando así a la mayor libertad; en un espacio funcional, p. ej., cada punto es una función; el desasimiento respecto de lo que primitivamente podía entenderse como espacio o como punto es ya total. La G. ha dejado de ser una rama de la Física para incorporarse plenamente a la Matemática.

El espacio es ya una creación abstracta del matemático. Surgen así nuevos espacios para soporte de cada teoría. Buscando la nota común a cualquier concepción de espacio llegaríamos a la idea de "proximidad": el espacio es un conjunto de puntos entre los que se ha definido una noción de proximidad. De esta noción se ocupa hoy una de las ramas más potentes de la Matemática: la Topología (v.). La G. como tal queda, pues, hoy incorporada en sus distintos aspectos a las dos grandes corrientes del pensamiento matemático: el estudio de unas estructuras de naturaleza algebraica y otras de naturaleza topológica, que abarcan todo su contenido.

JOSÉ J. ETAYO.

BIBL.: B. KERÉKJÁRTÓ, Les fondements de la Géométrie, Budapest 1955-1966; 1. L. COOLIDGE, A History of Geometrical Methods, Nueva York 1963; A. V. POGORELOv, Lectures on the Foundations of Geometry, Groninga 1966.