Funciones (matemáticas),

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Matemáticas

I. TEORÍA DE FUNCIONES.

1. Introducción. Cuando en la evolución de la Matemática (v.) aparecen funciones a las que no son aplicables los métodos del Cálculo infinitesimal (v. CÁLCULO III) y no se consideran como funciones "anormales", se han dado los primeros pasos en la Teoría de funciones, cuyo campo por una parte entra en el Cálculo y, por otra, se extiende hasta confundirse con el del moderno Análisis funcional. La Teoría de funciones es una parte del Análisis matemático que se ocupa del estudio de clases de funciones caracterizadas por tener alguna propiedad común. En el Cálculo se considera una función y con los métodos infinitesimales se estudian sus propiedades, mientras que en la Teoría de funciones, previa una clasificación, el estudio se centra en las propiedades comunes a las funciones de cada clase.

Una primera clasificación se deduce de la misma definición de función (v. ANÁLISIS MATEMÁTICO I). Una aplicación f de X en Y, o lo que es lo mismo, una función f con dominio X y recorrido en Y, es una correspondencia (v.) en la que a cada x ? X le corresponde uno y un solo elemento y ? Y. Ordinariamente, los conjuntos X e Y son partes de otros:

X?E e Y?F,

donde E y F están provistos de una o varias estructuras (de orden, algebraicas o topológicas). Según la naturaleza de E y F se dan denominaciones distintas a la función f si F es el conjunto R de los números reales, f es una función real; si F es el conjunto C de los números complejos, f es una función compleja; si E es el conjunto de los números reales R o el de los complejos C, se dice que f es una función de variable real o compleja, respectivamente; si F es un espacio vectorial, I es una función vectorial; y si E es un espacio vectorial, f es una función de variable vectorial (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII). Cuando E y F son espacios matemáticos de estructura más simples (topológicos, métricos, etc.) se dice simplemente que f está definida en el conjunto X del espacio E y que tiene sus valores en el conjunto Y del espacio F. Sin embargo, en este caso, es más frecuente usar la nomenclatura de aplicación, dominio, recorrido, etc.

Conforme a la definición dada, el campo que abarca la Teoría de funciones es muy extenso, pero existen unos límites tradicionales, que corresponden a etapas de su desarrollo, cuyas dos ramas principales son la Teoría de funciones reales y la de funciones complejas. Al tratar de las aplicaciones entre espacios se entra en la Topología (v.) o en el Análisis funcional (V. ANÁLISIS MATEMÁTICOS II).

En el presente artículo expondremos ideas fundamentales sobre las teorías de funciones reales y complejas, aparte de esquemas de carácter general.

Considerada una clase de funciones, tres problemas fundamentales se presentan: la caracterización de las funciones de la clase y de posibles subclases, la aproximación de las funciones de la clase por las de otra más simple, y la representación de las funciones de cada clase por algoritmos adecuados.

Definida una clase de funciones por los espacios del dominio y recorrido, y por alguna propiedad (o propiedades) de la correspondencia, una caracterización es una condición necesaria y suficiente para que una función pertenezca a la clase, por lo cual puede servir como nueva definición de la misma. Las condiciones suficientes determinan subclases para las cuales se plantean problemas análogos. A este mismo orden de ideas pertenece el estudio de las clases que se obtienen a partir de otras por las operaciones de la teoría de conjuntos (v.).

Las propiedades de las funciones pueden ser de dos tipos: locales y globales. Las primeras se refieren a un valor a ? X fijo, y las segundas a un conjunto A ? X o a todo el dominio X. Naturalmente que cuando una propiedad local se verifica en todos los puntos de un conjunto se convierte en global. La propiedad local más importante es la continuidad en un punto, y la global la continuidad en un conjunto. Ambas se estudian a continuación.

2. Funciones continuas.

a) Sea f (x) una función real de variable real, con dominio X y recorrido

Y = f(X),

ambos conjuntos de números reales. La función f(x) es continua en x=a, cuando para cada E positivo, existe un S positivo tal que si

¦x-a¦ < d

es

¦f(x)-f(a)¦< ?.

Esta definición tiene un sentido intuitivo inmediato considerando los números reales representados por puntos de la recta, una vez fijados en ésta un origen y una unidad. Para la continuidad en el punto x=a se exige que a los puntos situados en X que distan del a menos de S, les correspondan puntos que disten de f(a) menos de E (fig. 1).

Esta definición sirve de modelo a otra más general, aplicable a las funciones en las que el dominio X y el recorrido Y pertenecen a espacios en los que tenga sentido la noción de distancia o la noción de entorno (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS iv y vi). Teniendo en cuenta que los puntos que distan de a menos de S, forman un entorno de a que se designa por U(a); y los que distan de f(a) menos de E, forman un entorno de f(a) que se designa por U(f(a)), se puede dar la siguiente definición general:

Sea f una función cuyos dominios X y recorrido Y pertenecen a sendos espacios topológicos E y F (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI); se dice que f es continua en el punto a E X, cuando para cada entorno U(f(a)), existe un entorno U(a), tal que las imágenes de todos los puntos de X y del entorno U(a), a la vez, pertenecen a U(f(a)), lo que se expresa por la inclusión

f(U(a) n X) ? U(f(a))

(fig. 2).

Si la función f es continua en todos los puntos de X se dice que es continua en X (propiedad global).

b) Para establecer algunas propiedades de las funciones continuas conviene recordar la siguiente nomenclatura: la imagen de un conjunto A ? X, que se indica por f(A), es el conjunto de las imágenes, en la función f, de todos los puntos x ? A; la antiimagen de un conjunto B C Y, que se indica por /-’(B), es el conjunto de todos los puntos x ? X cuyas imágenes están en B.

Las primeras proposiciones referentes a las funciones continuas consistirán en precisar las propiedades de los conjuntos A ? X que se conservan en sus imágenes

f(A) ? Y,

y las propiedades de los conjuntos B ? Y que se conservan en sus antiimágenes f-’(B) ? X. Todas ellas son aplicables a funciones continuas cuyos dominio y recorrido pertenecen a espacios topológicos E y F cualesquiera.

Si la función f (x) es continua en X, para todo conjunto abierto B ? F, existe un conjunto abierto A ? E, tal que la antiimagen de B n Y es A n X, es decir,

f-1(BnY)=AnX (Conservación de los abiertos en la antiimagen).

Si la función f(x) es continua en X, y a ? X es un punto adherente de un subconjunto A ? X, su imagen f(a) es un punto adherente de f(A). Designando la adherencia de un conjunto sobrerrayando la letra que lo representa, la proposición anterior equivale a

_ ___

f(A n x) ? f(A),

para todo A C X (Conservación de la adherencia).

Las recíprocas de estas dos proposiciones son ciertas, por lo que se pueden considerar como caracterizaciones de las funciones continuas.

Propiedades de X que se conservan en la imagen son las siguientes: Si f(x) es continua en X, y X es un conjunto conexo, f(X) es también conexo (Conservación de la conexión). Si f(x) es continua en X, y X es compacto, f(X) es también compacto (Conservación de la compacidad). Las recíprocas de estas proposiciones no son ciertas en general.

c) Las propiedades generales anteriores, referidas a funciones reales de variable real, dan lugar a los teoremas clásicos: 1) Si f(x) es continua en un conjunto compacto (en particular, en un intervalo cerrado) posee un máximo y un mínimo (Weierstrass). 2) Si f(x) es continua en un intervalo [a, b], y son f(a) y f(b) de signos contrarios, existe un xo del intervalo en el que es

f(x)=0 (Bolzano).

Otra propiedad notable es la de continuidad uniforme: Si f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] , para cada E positivo, existe un 8 positivo, tal que si x’ y x" son dos puntos cualesquiera del intervalo y

¦x’-x"¦ < d,

es

¦f(x’)-f(x’’)¦ < E(Cauchy).

Esta propiedad se generaliza cuando la función es continua en un compacto y tanto el dominio como el recorrido pertenecen a sendos espacios métricos.

d) Para precisar el concepto de aproximación, se han de considerar las sucesiones (v.) de funciones y, en particular, las convergentes. Una sucesión de funciones reales

f1(x), f2(x), ..., fn(x), .. ,

todas con el mismo dominio X, converge en el punto x ? X hacia un número b, cuando la sucesión numérica

f1(a), f2(a), ..., fn(a), .. ,

converge hacia b. Si para todo x ? X la sucesión de funciones converge, queda definida la función límite f(x), por los valores de los límites correspondientes a cada x ? X, y se escribe lím fn(x)=f(x). Un tipo de convergencia especial es la convergencia uniforme de la sucesión de funciones

f1(x), f2(x), ..., fn(x), ...,

hacia f(x). La sucesión de funciones

f1(x), f2(x), ..., fn(x), ...

convergente hacia f(x), converge uniformemente en X, si para cada E positivo, existe un número entero positivo no tal que para todo

n>no

es

¦fn(x)-f(x)¦ < ?

cualquiera que sea x E X. En el caso de funciones reales de variable real, todas las gráficas de las funciones fn(x) para

n>no

están en el espacio limitado por las dos gráficas de

f(X)-?Yf(x)+?.

Aunque el límite de una sucesión de funciones continuas convergente puede no ser continuo, el límite de una sucesión de funciones continuas en X, que converge uniformemente en X, es una función continua en X.

e) Dada una función real f(x), se dice que la función g(x) aproxima a f(x) en X en menos de E, si es

¦f(x)-g(x)¦ < ?

para todo x E X. La posibilidad de aproximar una función real continua en un intervalo por un polinomio

p(x)=a0 + a1x + ... + anxn,

la resolvió afirmativamente Weierstrass con su famoso teorema, uno de los resultados más sobresalientes de la teoría clásica de funciones:

Si f (x) es una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] y es E positivo, existe un polinomio p(x) tal que

¦f(x)-P(x)¦ < ?

para todo x ? X.

Este teorema tiene como consecuencia el que toda función continua f(x) en [a, b] admita un desarrollo en serie de polinomios, que converge uniformemente hacia f(x) en el intervalo, pues si

?1, ?2,..., ?n,...

es una sucesión de números positivos que tiende a 0, y

p1(x), p2(x), ..., pn(x), ...

es la sucesión correspondiente de polinomios tales que

¦f(x)-pn(x)¦<?n,

se tiene

f(x)=p1(x)+(p2(x)-p1(x))+ ... +(pn(x)-pn-1(x))+...

En 1948 publicó Stone una generalización del teorema de Weierstrass referente a las funciones reales o complejas continuas definidas en un espacio métrico compacto, que es, sin duda, el resultado más útil de los espacios de tales funciones continuas.

La forma generalizada del teorema de Weierstrass permite aproximar una función continua por otras clases de funciones, tales como los polinomios trigonométricos

p(?)=1/2+S ar cos r? + ßr sen r?

donde

arYßr e R.

También, de este teorema, se sigue la consecuencia de que toda función continua y de periodo 2,r, admite un desarrollo en serie de polinomios trigonométricos, que converge uniformemente hacia la función.

Polinomios de aproximación de la función continua f(x) en el intervalo [0, 1] son los de Bernstein

?(n k) xk(1-x)n-kf(k n),

para n= 1, 2, ...

f) Aunque toda función real continua f(x) de variable real es representable por series uniformemente convergentes de polinomios en x o trigonométricos, no es posible, en general, la representación de una función continua f(x) por series de polinomios cuando se exigen a éstos formas determinadas. En las series de potencias

ao+a1x+a2x2+...

y en las trigonométricas

(ao/2) + al cos x + b1 sen x+a2 cos 2x+b2 sen 2x+...,

las sumas parciales son efectivamente polinomios, pero de un tipo muy particular, y en general las funciones continuas no son representables en series de potencias o trigonométricas. El campo real no es el adecuado para determinar la clase de funciones representables por series de potencias; en el complejo son las analíticas. Tampoco queda precisada la clase de funciones reales con periodo 27r que admiten representación en serie trigonométrica. Se dan condiciones suficientes, y entre ellas la de Dirichlet exige que la función f(x) sea continua y tenga un número finito de máximos y mínimos en cada periodo, resultando una serie que converge uniformemente hacia f(x). En particular, entre las series trigonométricas están las de Fourier en las que los coeficientes ak y bk están dados por las fórmulas

ak= (1/?) ? f(x) cos kx dx

y

bk=(1/?) ? f(x) sen kx dx

llamados coeficientes de Fourier de la función f(x), que no precisa ser continua para el cálculo de los mismos, y existe un tipo de funciones discontinuas representables por series de Fourier, aunque la convergencia no será uniforme. Si se designa por Sn(x) la suma n-ésima de la serie de Fourier, se pueden dar acotaciones de

¦f(x)-Sn(x)¦

para cada n, dependiendo de las propiedades de la función. Si f(x) tiene derivada de orden r acotadas por K, se tiene

¦f(x)-Sn(x)¦=(cr K log n)/nr

donde c, es una constante que sólo depende de r.

Otra propiedad notable del desarrollo de Fourier de una función continua es que permite de determinación de polinomios trigonométricos de aproximación. Fejer probó que la media aritmética de las sumas parciales de la serie de Fourier:

(S0(x)+S1(x)+...+Sn(x))/(n+1).

llamada suma de Fejer de orden n, converge uniformemente hacia f(x) cuando n tiende a infinito.

g) Otro tipo de aproximación de una función f(x) es según la media cuadrática. Si la función g(x) se considera como aproximación de f(x) en el intervalo [a, b] en el sentido de la media cuadrática, el error de la aproximación está determinado por

?(f(x)-g(x))2dx=0

Dada una función f(x), el polinomio trigonométrico de orden n que da una aproximación media cuadrática óptima, es la suma S?(x) del desarrollo de Fourier, y se tiene que para toda función continua de periodo 2? es

lím (f(x)-Sn(x))2dx=0.

3. Funciones monótonas. Una clase interesante de funciones reales de variable real es la de las monótonas: f(x) definida en un intervalo, semirrecta o recta, es creciente si para cada par x’, x", cuando

x´<x´´

es

f(x’) = f(x´´)

(cuando se excluye el signo igual es estrictamente creciente). Análogamente se definen las f. decrecientes. Las funciones monótonas pueden ser discontinuas, pero siempre el número de puntos de discontinuidad es numerable. Si J (x) es discontinua en un punto c existen límites por la derecha y por la izquierda de c que se designan por

f(c+0)yf(c-0)

y la diferencia entre estos dos números es el salto de la función en c. Toda función monótona se puede expresar como suma de una función continua y otra llamada función de saltos, cuyo valor en x es la suma de los saltos en los puntos de discontinuidad anteriores a x.

Íntimamente ligadas a las funciones monótonas están las de variación acotada: J (x) es de variación acotada en el intervalo [a, b] si para cada subdivisión finita de [a, b] tal como

a=xo< x1<x2<...

formada la suma

S¦f(xi)-f(xi-1)¦,

el conjunto de estas sumas está acotado. Estas funciones están caracterizadas porque se expresan como diferencia de dos funciones igualmente monótonas. Condición necesaria y suficiente para que un arco sea rectificable es que sus ecuaciones paramétricas sean continuas y de variación acotada.

4. Funciones complejas de variable compleja. a) Si A es una región del plano (o esfera) complejo, toda aplicación

f:A-->C

de A en el plano (o esfera) complejo es una función compleja de variable compleja de dominio A y recorrido f(A). Si al número complejo

z=x+iy

le corresponde el

w=u+iv

en f, se escribe

w=f(z).

Para la representación gráfica de la función f(z) se consideran dos planos complejos, el z y el w, y la función f hace corresponder a cada punto z E A del primer plano, un punto

w ? f(A)

del segundo. Se precisa esta representación considerando en el plano z una red formada por dos familias de líneas y fijando en el segundo plano w sus imágenes. Cada punto intersección de dos líneas en el plano z tiene como imagen el punto intersección de las imágenes de dichas líneas en el plano w.

Como tanto

z=x+iy

como

w=u+iv

son vectores (v.) bidimensionales, la función w= f (z) queda determinada por dos funciones reales de dos variables reales:

u=u(x, y)yv=v(x, y).

Considerando en el plano z la red de rectas paralelas a los ejes, sus imágenes en el plano w son las curvas que en forma paramétrica se obtienen fijando, en las ecuaciones anteriores, bien la x, bien la y.

b) Como al plano complejo se puede dar estructura de espacio euclídeo (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS n), tomando como distancia entre dos puntos el módulo de la diferencia, resulta aplicable el concepto general de continuidad para las aplicaciones entre espacios métricos:

w=f(z)

es continua en un zo <-- A, si para cada e > 0 real, existe un d > 0 real, tal que para todo z E A que cumpla

¦z-zo¦< d,

se verifique

¦f(z)-f(z0)¦< e.

Si el conjunto A contiene el punto del infinito (caso de la esfera compleja), se cambia la distancia euclídea por la cordal que es la longitud del segmento que une los dos puntos de la esfera compleja, imágenes de los dos del plano.

c) Tanto la definición de función como la de continuidad son las usuales para las funciones vectoriales de variable vectorial, e igualmente se podría introducir la noción de diferencial como la aplicación lineal tangente, en el punto que se considere. Sin embargo, esta teoría general adquiere un carácter particular muy notable cuando se introduce el concepto de derivada de f (z) respecto de la variable compleja z. La estructura formal de la definición es análoga a la de las funciones reales, pero su contenido es totalmente distinto. Efectivamente, la aplicación lineal que aproxima a

?=f(z)

en el entorno de un punto, en el que existe la derivada y es distinta de cero, es la compuesta de un giro y una homotecia.

La derivada f’(zo) de la función f(z) en el punto zo, es

f’(z0) = lím ((f(z)-f(z0)/(z-z0)) = lím?f(z0)/(?z0)

z-->zoz-->zo

donde los valores que toma Azo son cualesquiera en un entorno del origen, y el límite ha de existir independientemente de la manera de tender Ozo hacia 0. De esta definición resulta que si la función f(z) es derivable en zo, es continua en este punto (v. CÁLCULO I).

Si la función f(z) tiene derivada no nula en el punto z0, es

w-w0=f´(z0)(z-z0)

una aproximación lineal y de primer orden (por lo menos) de la función f(z) en el punto zo, lo que permite un estudio local de la función en un entorno del punto (fig. 3). Si p es el módulo de f’(zo) y a su argumento, resulta que del incremento Ozo en el plano z se pasa al incremento Owo en el plano w, multiplicando el módulo por el número positivo p y realizando un giro de magnitud a. De esta propiedad resulta que dos curvas que se corten en el punto zo formando un ángulo v, tendrán como imágenes dos curvas que se cortarán en wo formando el mismo ángulo y. Si esta propiedad se cumple en todos los puntos de una región A, resulta que la correspondencia entre los planos z y w definida por la función f(z), que tiene derivada no nula, conserva los ángulos, lo que también se expresa diciendo que la aplicación de A en f (A) es conforme.

d) Para la existencia de la derivada f’(zo), que como se ha indicado exige de la diferencial que sea una aplicación compuesta de un giro y de una homotecia, las funciones u(x, y) y v(x, y) han de cumplir determinadas condiciones. Supuesta la existencia de las derivadas parciales primeras de estas funciones en el punto (xo, yo), son condiciones necesarias para la existencia de f’(zo),, las denominadas de Cauchy-Riemann:

du/dx=dv/dyydu/dy=-dv/dxen (x0,y0)

y si tales derivadas parciales son continuas en (xo, yo), estas condiciones son suficientes.

Se dice que f(z) es analítica en zo si existe f’(z) en zo y en un entorno de este punto. Una función será analítica en una región del plano complejo cuando lo sea en cada uno de los puntos. De la definición resulta que la región será abierta.

Son funciones analíticas en todo el plano complejo, las racionales enteras w=p(z), donde p(z) es un polinomio con coeficientes complejos. Las racionales

w=p(z)/q(z)

son también funciones analíticas en todo el plano salvo para los valores de z que anulan al denominador.

e) Una generalización natural de los polinomios son las funciones definidas por series (v.) de potencias dentro de su dominio de convergencia. La serie de potencias

a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...

con coeficientes complejos, converge en un círculo de centro zo y su radio de convergencia R está determinado por

R=1/?donde ? = límv¦an¦

n-->8

Si a=0, la serie es convergente en todo el plano; y si

?=8

es zo el único punto donde converge la serie. La función definida por una serie de potencias es analítica en el interior del círculo de convergencia, y su derivada se obtiene derivando cada uno de sus términos. La serie obtenida tiene el mismo radio de convergencia que la original. Más notable que esta propiedad es, sin embargo, la que en cierta forma, es recíproca de la anterior, y es que toda función analítica queda determinada por una serie de potencias, lo que se prueba por medio de fórmulas integrales que permiten representar a toda función analítica.

f) Series de potencias notables son las siguientes:

E(z)=1+(z/1!)+(z2/2!)+...+(zn/n!)+...

cuyo radio de convergencia es 8, y define la función compleja exponencial ez.

sen z = z-(z3/3!)+(z5/5!)-(z7/7!)+...

cosz=1-(z2/2!)+(z4/4!)-(z6/6!)+...

shz=z+(z3/3!)+(z5/5!)+(z7/7!)+...

coshz=1+(z2/2!)+(z4/4!)+(z6/6!)+...

cuyo radio de convergencia esa , y son las series que definen las funciones seno, coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico, respectivamente, en el campo complejo, y que se pueden expresar fácilmente por la función exponencial mediante las fórmulas de Euler:

senz = (eiz-e-iz)/2i,cosz = (eiz+e-iz)/2,

shz = (ez-e-z)/2,coshz = (ez+e-z)/2

Las series logarítmica y binómica son las siguientes:

log(1+z)=z-z2/2+z3/3-z4/4+...

(1+z)a=1+(a 1)z+(a 2)z2+(a 3)z3+...

cuyos radios de convergencia son 1. La logarítmica se denomina así porque para valores

¦z¦< 1,

es

log (1 + z)

una función inversa de la exponencial. La binómica, descubierta por Newton, permite el cálculo de una función potencial para valores

¦z¦< 1.

También tiene interés la serie geométrica que da el valor de la función

1/(1-z)

para los valores

¦z¦ < 1,

que es el radio de convergencia de la serie:

1/(1-z)=1+z+z2+z3+ ...

Esta serie es un caso particular de las series recurrentes. La serie

a0+a1z+a2z2+a3 z3+...

es recurrente (linealmente) si cada k+1 coeficientes de términos sucesivos están ligados por una relación lineal:

ck.an+ ck-1.an+1+...+c0.an+k=0,n=0, 1, 2, ... ,

donde

ck, ck-1, .... c0

son números fijos. Una serie recurrente da el valor de una función racional

p(z)/q(z)

cuyo denominador es el polinomio

c0+c1z+...+ckzk,

y cuyo numerador es un polinomio p(z) de grado menor que k, cuyos coeficientes están determinados por los k primeros coeficientes

a0, a1, ..., ak-1

de la serie. Su radio de convergencia es el módulo de la menor de las raíces del denominador.

5. Teoría de Cauchy de las funciones analíticas. a) El instrumento más adecuado para el estudio de las funciones analíticas es la integración de funciones de variable compleja. Se trata de integrales calculadas a lo largo de contornos que cumplen ciertas condiciones de regularidad. Un contorno de integración es un arco c definido por dos funciones continuas

x=f(t)ey=?(t)

de la variable real t que varía en un intervalo [a, b], tales que para valores distintos del parámetro t los puntos correspondientes son distintos (arco simple de fardan), con la condición de que las funciones

Sea A una región del plano complejo, en el que está definida una función compleja de variable compleja f(z), y un contorno C de integración contenido en la región A. Se define como integral de la función f(z) a lo largo del contorno C, y se representa por

?f(z)dz

a la siguiente integral

?f(f(t) + i?(t))(f´(t)+i?´(t))dt,

obtenida sustituyendo formalmente z por

f(t) + i?(t),

y extendida al intervalo [a, b] de variación de t. Se puede asegurar la existencia de la integral, cuando f(z) esté acotada y sea continua sobre C, salvo a lo más en un número finito de puntos.

b) Al aplicar la definición de integral a las funciones analíticas se obtiene un resultado fundamental, enunciado primero por Cauchy y después perfeccionado por Goursat, que expresa, en ciertas condiciones, la independencia del valor de la integral respecto del camino, y que se puede enunciar de la siguiente forma:

Sea C un contorno de integración cerrado y f(z) una función analítica en una región A que contiene C y el interior de C; entonces es

?c f(z) dz=0.

Consecuencia del resultado anterior es la llamada fórmula integral de Cauchy, que expresa el valor de una función en un punto zo de la región de analiticidad A por medio de una integral a lo largo de un contorno C alrededor de dicho punto z0:

f(z0)=1/(2?i)?f(z)/(z-z0)dz.

A partir de esta fórmula se pueden calcular las derivadas sucesivas de la función f(z) en zo obteniéndose

f(n)(z0)=n!/(2?i)?f(z)/(z-z0)n+1dz

que coinciden con el resultado que se obtiene por derivación formal de la fórmula de Cauchy respecto de zo.

Una de las consecuencias más sorprendentes de las fórmulas anteriores es que si f(z) es analítica en zo (lo que exigía la existencia de la derivada en zo y en un entorno de zo), en todos los puntos de un entorno de zo existen derivadas de todos los órdenes. Este resultado se completa, probando que el desarrollo en serie de potencias que se obtiene formalmente por la fórmula de Taylor converge, y así resulta que toda función analítica en zo admite un desarrollo en serie de potencias de z-zo en un entorno de zo (Serie de Taylor).

c) Una generalización natural de la serie de Taylor, es la serie de Laurent, que está formada de una parte con potencias positivas de z-z0, análoga a la de Taylor, y de otra con potencias enteras negativas. Esta serie permite la representación de una función analítica en una corona circular que contenga en su interior singularidades de la función. El desarrollo de Laurent de f(z), analítica en la corona circular de centro zo y radios R1 y R2 es:

f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...+b1(1/z-z0)+b2(1/z-z0)2+...+bn(1/z-z0)n+...

Si existe un entorno de zo en el que f(z) es analítica, excepto en el mismo zo, se dice que zo es un punto singular aislado.

El desarrollo de Laurent permite el estudio de f(z) en el entorno de zo. Si C1 es una circunferencia de centro zo, tal que en el círculo sea zo el único punto singular de f(z), entonces f(z) admite el desarrollo

bi b2

f(z)=a0 +a1 (z-z0)+a2 (z-z0)2+...+b1/(z-z0)+b2/(z-z0)2+...,

donde los coeficientes bn están dados por la fórmula 1

bk=1/2?i?(z-z0)k-1f(z) dz.

siendo C una circunferencia cualquiera de centro zo interior a CI, que es válido para todos los puntos interiores a Cl excluido únicamente el zo.

La parte de las potencias negativas de z-z, se denomina parte principal de f(z) en zo, y el coeficiente b, es el residuo de la función en zo, cuyo valor es precisamente:

Res. (f(z)) bz=z0 = b1 = 1/2?i?f(z)dz.

c

La consideración de los residuos tiene especial interés en el cálculo de integrales complejas o reales de funciones cuyas primitivas no tienen forma simple conocida. Los métodos se basan en el uso adecuado de la siguiente proposición:

Sea C un contorno que limita una región del plano complejo en el cual f(z) es analítica (contorno incluido), excepto en un número finito de puntos singulares

z1, z2, ..., zn

interiores a C; entonces se tiene

?f(z) dz=2?i?Res.(f(z)) bz=zi

considerando el contorno C recorrido en sentido directo (Teorema de los residuos).

d) Si el desarrollo de Laurent de una función f(z) carece

de parte principal (se reduce al desarrollo de Taylor), la función es regular en su campo de convergencia.

Si la parte principal consta sólo de un número finito de términos:

b1/(z-z0)+b2/(z-z0)2+...+bm/(z-z0)m

se dice que el punto singular zo es un polo de orden m de la función. En particular, si m=1 se trata de un polo sin nle. Evidentemente, si una función tiene en zo un ceru (le orden m, su inversa tiene un polo del mismo orden.

Una función f (z) definida en una región A del plano complejo que sólo tiene puntos singulares aislados en A y son precisamente polos, se dice que es meromorfa en A. Si A coincide con el plano complejo (excluido el punto del infinito) se dice simplemente que es meromorfa.

Si la parte principal del desarrollo de Laurent de la función f(z), según las potencias de z-zo, consta de infinitos términos, se dice que zo es un punto singular esencial.

Al comportamiento de una función en el entorno de un punto singular esencial aislado, se refieren las siguientes proposiciones:

En el entorno de cada punto singular esencial aislado zo, la función f (z) se aproxima indefinidamente a cada número complejo finito o infinito (Weierstrass).

Si zo es un punto singular esencial aislado, la función f(z) toma en cada entorno de zo infinitas veces cada valor finito o infinito, excepto a lo sumo dos valores (Picard).

e) Cuando el campo de regularidad de una función f(z) es todo el plano complejo, es una función entera. Su único punto singular es el del infinito. Si éste es singular esencial, es decir, si el desarrollo de Taylor tiene infinitos términos, la función es entera trascendente, y si es finito es un polinomio. En el estudio de las propiedades de los polinomios, juega un papel importante el de la determinación de sus raíces. El teorema fundamental del Álgebra asegura que todo polinomio p(z) toma el valor 0 por lo menos una vez (y en general todo valor a). Esta propiedad no se verifica en general para todas las funciones enteras (E(z) no toma el valor 0). Sin embargo, toda función entera toma infinitas veces un valor dado, con la posible excepción de un solo valor (Picard).

Funciones meromorfas desarrolladas en series de fracciones simples son

Tg(?z/2)=(4z/2)S(1/(2k-1)2-z2)

y

cotg?z=1/(?z)+(2z/?)S1/(Z2-k2)

7rz 7r k=1

Los polos de

tg(?z)/2

son los valores de z que anulan a

cos(?z)/2,

es decir,

z=±(2k-1), k=1,2...

y todos son polos simples.

Los polos de cotg ?z son los valores de z que anulan a sen ?z, es decir,

z=±k, k=0,1,2...

f) Entre las funciones meromorfas están las funciones elípticas que son doblemente periódicas, es decir, son funciones f(z) para las cuales existen dos números w1 y w2, cuyo cociente no es real, y tales que

n1?1 + n2?2

es un periodo de f (z):

f(z + n1?1 + n2?2) = f(z)

Si f(z) no tiene otros periodos, el rectángulo de vértices

0, ?1, ?1+ ?2, ?2

es el paralelogramo de los periodos, y conocido el comportamiento de f(z) en tal paralelogramo, se conoce la función en todo el plano.

Entre las funciones elípticas más notables está la 6>(u) de Weierstrass, cuyo desarrollo en fracciones simples es

?(u) = 1/(u2)+S´[(1/(u-?)2)-(1/?2]

con

?=nl?l+ n2?2(nl=n2(0).

Los polos, que son dobles, están en los vértices de la red formada por los periodos, y sus residuos son nulos. La función f(u) verifica la ecuación diferencial

(?’(u))2=4(?(u))-g2?(u)-g3

con

g2=60S´(1/?4), g3=140S´(1/ ?6)

Poniendo

?(u)=z,

se obtiene la función inversa

=?z (dz/(v4z3-g2z-g3))

que es la integral elíptica de primera especie en la forma normal de Weierstrass.

V. t.: CÁLCULO; ESPACIOS MATEMÁTICOS; ÁLGEBRA.

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.: En la Collection de monographies sur la Théorie des functions (dir. E. BOREL, ed. Gauthier-Villars, París) se encuentra la evolución de la teoría en su aspecto moderno. Igualmente es de gran interés la Col. Monografie Matematyczne, Varsovia (dir. W. SIERPINSKI y K. KURATUWSKI); E. W. HOBSON, The Theory of functions of a real variable and the theory of Fourier series, Nueva York 1957; C. CARATHEODORY, Vorlesungen über reele Funktionen, Nueva York 1948; ÍD, Theory of functions of a Complex variable, Nueva York 1954; H. HAHN, Reele Funktionen, Nueva York 1948; G. VITALI y G. SANSONE, Moderna teoria delle funzioni de variabile reale, Bolonia 1943-46; A. E. TAYLOR, General Theory of functions and inlegration, Nueva York 1965; E. C. TITCHMARSH, The Theory of functions, Oxíord 1939; E. HILLE, Analytic function Theory, Boston 1959-62; H. BEHNKE y F. SOMMER, Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veránderlichen, Berlín 1962; W. RUDix, Real and Complex Analysis, Nueva York 1970 (excelente introducción al Análisis funcional).