Funciones, II. Funciones Elementales.

Categoria:

Matemáticas

Generalidades. En sentido estricto, las f. elementales son la lineal, la potencial, la exponencial y la logarítmica. La selección de estas funciones entre las reales de variables real, como elementales, no es arbitraria. Se trata de las funciones que se originan de manera natural al exigir que se conserven ciertas propiedades de la estructura algebraica y topológica del cuerpo R de los números reales.

En el conjunto R de todos los números reales, la operación de adición proporciona a R una estructura de grupo (v.) abeliano aditivo. En el conjunto R+ de los números reales positivos, la operación de multiplicación proporciona a R+ una estructura de grupo abeliano multiplicativo. Naturalmente, estas dos estructuras no son independientes, pues son estructuras parciales del cuerpo R de los números reales.

Al pretender hallar los isomorfismos (v. ÁLGEBRA) posibles entre los grupos definidos en R, es decir, aquellas aplicaciones de un grupo sobre otro que conserven las operaciones, se pueden dar los cuatro casos siguientes:

a) Los isomorfismos f del grupo aditivo de R sobre el grupo aditivo de R, serán las aplicaciones

f:R--> R

tales que:

f(x1+x2)=f(x1,)+f(x2)para todo par x1, x2 de R.

b) Los isomorfismos f del grupo aditivo de R sobre el grupo multiplicativo de R+, serán las aplicaciones f:R--> R’,

tales que:

f(x1+x2)=f(x1).f(x2)para todo par x1, x2 de R.

c) Los isomorfismos f del grupo multiplicativo de R+ sobre el grupo aditivo de R, serán las aplicaciones

f: R+--> R,

tales que:

f(x1.x2)=f(x1)+f(x2)para todo par x1, x2 de R+.

d) Los isomorfismos f del grupo multiplicativo de R+ sobre el grupo multiplicativo de R+, serán las aplicaciones

f : R+--> R+,

tales que:

f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)para todo par x1, x2 de R+.

Función lineal. Hallar los isomorfismos en el caso a) equivale a resolver la ecuación funcional

f(x1+x2)=f(x1)+(x2)

que tiene infinidad de soluciones. Pero si se exige la continuidad de f, existe una sola clase de soluciones. Cada una de las soluciones de esta clase está determinada por

f(1)=c,

que se puede dar arbitrariamente. La función f (x) así determinada es la función lineal cx, y estas funciones son todos y los únicos isomorfismos continuos del grupo aditivo de los números reales sobre sí mismo.

Función exponencial. Como en el caso a), la ecuación funcional

f(x1+x2)=f(x1).f(x2)

tiene infinidad de soluciones. Pero si se exige la continuidad de f, existe una sola clase de soluciones. Cada una de las soluciones de esta clase está determinada por

f(1)= a ? 1

que se puede dar arbitrariamente. La función así determinada se indica por ax y se denomina función exponencial de base a, y estas funciones son todos y los únicos isomorfismos del grupo aditivo de los números reales sobre el multiplicativo.

Función logarítmica. El isomorfismo

f:R--> R+

definido por la función exponencial de base a, determina la aplicación inversa

f -1: R+ --> R,

que verificará la ecuación funcional del caso c). La función inversa de la ax se denomina función logarítmica de base a y se representa por log ax.

Función potencial. La ecuación funcional f(x1.x2)=f(x1).f(x2),

con la exigencia de continuidad, tiene sólo soluciones de una clase, cada una de las cuales queda determinada por el valor de la función en un

x=b ? 1

y positivo. Estas funciones se indican por x° que es una función potencial de exponente a, y son los únicos isomorfismos continuos del grupo multiplicativo de los números reales sobre sí mismo.

Propiedades. a) La función lineal expresa la proporcionalidad directa entre dos magnitudes. Si x e y son las medidas de estas magnitudes, la proporcionalidad queda expresada por

y = cx.

El número c es la constante de proporcionalidad. La representación cartesiana de la función lineal es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente igual a c.

b) Por la misma definición, la función exponencial ax con base a positiva y distinta de 1, está definida para todo x real, y puede tomar todos los valores reales positivos, y es una función continua (fig. 1). Si a> 1, la función es creciente en todo el campo real. Como

a-x=1/ax

para valores opuestos de x tiene la exponencial valores inversos; por lo cual, si a < 1, la función es decreciente en todo el campo real. En el cuadro 1 queda resumida la variación de 1’a función exponencial.

La forma en que con más frecuencia se presenta la función exponencial es con una base igual a e, base de los logaritmos naturales, y con el exponente multiplicado por un coeficiente numérico, es decir,

e?x=(e?)x,

por lo que si ?> 0 es e?x creciente, y decreciente si ?<0.

La función exponencial se presenta de una manera natural en el estudio de los problemas de crecimiento instantáneo, que es un modelo matemático del crecimiento biológico. Si No es el número de individuos que viven en un instante to y Á es el coeficiente incremental de la especie, el número N de individuos que vivirán en el instante

to+TesN=No e?T.

Con la notación introducida, las reglas de cálculo con exponenciales son

ax1.ax2=ax1+x2,ax1 : ax2 = ax1-x2,

(ax1)x2 = ax1.x2.

c) Siendo la función logarítmica la inversa de la exponencial, sus propiedades se deducen fácilmente de las de ésta. Cualquiera que sea la base a de la función logarítmica, los valores que puede tomar x han de ser siempre positivos, mientras que los de y son todos los del campo real (fig. 2). También esta función es continua en todo su campo de definición. La variación de la función logarítmica queda resumida en el cuadro 2, obtenido a partir del correspondiente de la exponencial intercambiando las variables.

La forma en que con más frecuencia se presenta la función logarítmica es cuando la base es el número e, y entonces se escribe simplemente log x o !x. Cuando se tenga la función log. x y se quieran usar los logaritmos naturales (o neperianos), se hace la siguiente transformación:

loga x = loga e ? log x = (1/ loga ) . log x.

Con la notación introducida, las reglas de cálculo con logaritmos son

loga (xl ? x2) =loga x1 + loga x2;

loga (x1 : x2)=loga x1-loga x2;

loga (xl)n=n loga x1,

y

loga vx1=(1/n) loga x1,.

d) Las propiedades de la función potencial dependen de la naturaleza del exponente (fig. 3). Si en xa el exponente es entero y positivo, está definida para todo valor real de x. Cuando el exponente es par, x 2k, es una función par, es decir, toma los mismos valores para x y -x, y cuando el exponente es impar,

x2k+1

es una función impar, es decir, toma valores que sólo difieren en el signo para x y -x. Unas y otras funciones son crecientes para valores positivos de x. Aunque la función potencial general sólo está definida para valores positivos reales de x, en el caso que se considera, y en otros, se puede extender la definición a todos los números reales.

Si el exponente de xa es entero y negativo, se tiene

x-n=1/xn,

y el comportamiento de la función difiere esencialmente del caso de exponente positivo. También si n es par o impar, la función es par o impar, respectivamente, pero no está definida en x=0, y cuando x tiende a 0, x-" tiende a infinito. Unas y otras funciones son decrecientes para valores positivos de x.

Si el exponente de xa es fraccionario:

a=p/q,

se originan las funciones irracionales con una raíz de índice igual al denominador q del exponente, ya que se escribe

xp/q = qvxp.

Si es

a=(2h+1)/2k

se tiene la función

y=2k+1 v x2h

que es par, y se puede definir para todo valor real de x, tomando y todos los valores positivos.

Si es

a=(2h+l)/2k

se tiene la función

y=2kvx2h+1,

que sólo está definida para los valores positivos de x. Como, por otra parte, las raíces de índice par tienen dos valores en el campo real con signos + y - se puede considerar que la función tiene dos ramas, obteniéndose una de la otra, por cambio de signo.

Si es

a=(2h+1)/(2k+1),

se tiene la función

y=2k+1vx2h+1,

que es impar y se puede definir para todo valor real de x, tomando la función valores positivos para x positiva.

Como al crecer x también crecen las potencias de exponente positivo, resulta que en los casos considerados la y positiva crece cuando x crece.

Los casos de función potencial de exponente racional negativo tienen campos de defir~ilción análogos, a los anteriores, salvo en el origen en que? no están definidas y en la proximidad del cual tienden a infinito. Por otra parte, en todo caso, la y positiva decrece cuando x crece.

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.: N. BOURBAKI, Éléments de Mathématique, IX, Livre IV, Act. Scientifiques et Industrielles 1074, París 1958; J. DIEUDONNÉ, Fundamentos de Análisis moderno, Barcelona 1966; P. ABELLANAS, Elementos de Matemática, Madrid 1971.