Funciones, III. Teorema de Existencia de Funciones Implicitas.

Categoria:

Matemáticas

Teorema clásico, debido a Young, que se refiere a la existencia de funciones definidas mediante un sistema de ecuaciones constituido por funciones diferenciables.

Consideremos n funciones,

f1(x1, x2, ... , xm, y1, y2, ... , yn)

f2(x1, x2, ... , xm, y1, y2, ... , yn), ... ,

fn(x1, x2, ... , xm, y1, y2, ... , yn),

de n+m variables,

x1, x2, ... , xm, y1, y2, ... , yn

tales que se anulan en un punto,

M=(a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bn);

si las funciones,

f1, f2, ... ,fn,

son diferenciables en M (v. CÁLCULO) y el valor del determinante

¦(d f1/dy1)(d f1/dy2),... ,(d f1/dyn) ¦

¦(d f2/dy1)(d f2/dy2), ... ,(d f2/dyn) ¦

¦(d fn/dy1)(d fn/dy2), ... ,(d fn/dyn) ¦

es distinto de cero en M, existen unas funciones

g1(x1, x2, ..., xm), g2(x1, x2, ..., xm ), ..., gn(x1, x2, ..., xm ),

definidas en un entorno del punto

M´= (a1, a2, ..., am ),

que son diferencia bles y tales que para cualquier i, la función

fi[x1, x2, ..., xm, g1(x1, x2, ..., xm), ... , gn(x1, x2, ..., xm)]

es idénticamente nula en un cierto entorno del punto

(a1, ..., am);

este conjunto de funciones está unívocamente determinado si las derivadas parciales,

dfi / dfj,

son continuas para

i, j=1, 2, ..., n,

en un entorno de M. La demostración de este teorema se suele hacer por inducción sobre n, reduciendo el teorema al caso en que n=1, en el que se puede realizar fácilmente. Las diferenciales de primer orden de las funciones

g1, g2, ..., gn

pueden calcularse a partir de las diferenciales de primer orden de las funciones

f1, f2, ..., fn

mediante la resolución de un sistema lineal cuyos coeficientes son las derivadas parciales,

dfi/dxj, dfi,/dyk

sistema que es compatible y con solución única (v. ROUCHÉ-FROBENIUS, TEOREMA DE); las derivadas parciales de primer orden pueden determinarse a partir de las diferenciales de primer orden; un procedimiento análogo permite el cáculo de las derivadas y diferenciales de orden superior.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: Este teorema se encuentra desarrollado en casi todos los manuales generales de teoría de funciones, aunque a veces solamente se estudia el caso n=1, m=2. Un desarrollo completo puede verse en CH.-J. DE LA VALLÉE PDUSSIN, Cours d’Analyse Infinitésimale, I, 10 ed. París 1947.