Euclides

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Biografía GER

Matemático griego que vivió entre los s. iv-ir1 a. C. Fue llamado por el rey de Egipto, Ptolomeo I, al Museo de Alejandría donde a expensas del Estado se creó un gran centro cultural, dispensando amplia protección a la investigación. Su obra fundamental, Elementos, es modelo en su método y exposición. No contiene esta obra toda la geometría griega y ni siquiera es un resumen de toda ella; contiene una gran parte de la matemática que los griegos anteriores a E. y el mismo E. elaboraron, pero seleccionada de forma conveniente para convertir este conjunto de conocimientos en un sistema.

El método euclídeo, denominado también método axiomático, consiste en obtener de forma rigurosamente deductiva la teoría a partir de unas hipótesis o principios. Los Elementos comprenden 13 libros (el XIV y el XV son apócrifos) que comienzan en su mayoría con una serie de definiciones (E. las denomina términos), a las que se agregan en el libro I los axiomas, que el mismo E. distribuye en dos grupos: postulados y nociones comunes. Las definiciones son meras exposiciones de los objetos que va a utilizar después y no han de entenderse como enunciados básicos; esta función la desempeñan en los Elementos sólo los postulados y las nociones comunes. Los postulados, que son cinco, han sido elegidos de tal manera que su función esencial consiste en fijar la existencia de los entes fundamentales: punto, recta, etc.

Particularmente discutido ha sido el postulado sobre rectas paralelas: E. llama paralelas a dos rectas coplanarias que, prolongadas cuanto se quiera, no se encuentran (Def. XXIII). Demuestra (Prop. XXVII-XXVIII) que dos rectas que forman con una transversal ángulos alternos internos iguales, o bien ángulos correspondientes iguales, o ángulos internos de un mismo lado suplementarios, son paralelas. Para demostrar las recíprocas de estas proposiciones, se apoya en el siguiente postulado (V): "Si una línea recta que corta a otras dos forma ángulos internos del mismo lado de la secante cuya suma sea menor que dos rectos, aquellas dos rectas, prolongadas hacia este lado, se encuentran".

La teoría euclídea de las paralelas se completa con los siguientes teoremas: Líneas rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí (Prop. XXX). Por un punto dado se puede trazar una sola recta paralela a una recta dada (Prop. XXXI). Los segmentos comprendidos entre segmentos iguales y paralelos son iguales y paralelos (Prop. XXXII). Entre las consecuencias más notables de esta teoría se encuentra el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo y las propiedades de las figuras semejantes.

Desde los más antiguos, todos los comentadores del texto euclídeo opinaron que el postulado V no era bastante evidente para aceptarlo sin demostración. Fue Gauss (1777-1855) el primero en tener una visión clara de una geometría independiente de dicho postulado (geometría no euclídea), de la misma manera que Bolyai (1802-60) y Lobachevski (1793-1856).

Así como E. trata de fijar con los postulados la existencia de entes específicamente geométricos, con las nociones comunes pretende fijar las operaciones entre magnitudes, sean geométricas o no. Los cuatro primeros libros de los Elementos comprenden las proposiciones más importantes de la geometría plana elemental. Los libros V y VI se ocupan de la teoría de las proporciones y de su aplicación a la geometría. Los tres libros siguientes, VII, VIII y IX, se refieren a la teoría de números, tratando sólo de numeros enteros y positivos. El libro X, el más extenso y de más complicada lectura, trata de los irracionales. En un apéndice a este libro (probablemente en una redacción posterior) se encuentra la célebre demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado respecto del lado, proposición por la cual los griegos tomaron contacto con las magnitudes irracionales. Los tres últimos libros, XI, XII y XIII, están dedicados a la geometría del espacio.

En el contenido de los Elementos, aparte de la contribución de los matemáticos anteriores a E. es necesario atribuirle, sólo a él, el mérito de haber utilizado por primera vez un método que ha resultado de gran fecundidad para la matemática y para la ciencia en general, poniendo de manifiesto, además, una nota característica de la matemática, como es su absoluta independencia de toda aplicación práctica o concreta.

Otras obras atribuidas a E. son: Data, que contiene el tema de los seis primeros libros de los Elementos; Porismata, perdido, pero del cual se posee un largo resumen de Pappus; De locis ad superf iciem, Conica, Optica, etc.

CAROLINA CUARTERO.

BIBL.: M. D’OCAGNE, Histoire des Sciences Mathématiques, París 1955; R. TATON, Histoire du Calcul, París 1957; R. BONOLA, Geometrías no euclidianas, Madrid 1945; A. MIELI, El mundo antiguo, Buenos Aires 1952; 1. BABINI, Historia sucinta de la Matemática, Buenos Aires 1952; D. E. SMITH, History of mathematics, Nueva York 1958; L. W. H. HULL, History and philosophy of science, Londres 1959; G. GIORGI, Compendio di Storia delle Matematiche, Turín 1948; F. ENRIQUES, Problemas de la ciencia, Buenos Aires 1947.