Espacios Vectoriales. CIENCIA

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Ciencia

1. La estructura de espacio vectorial. La noción de e. v., que empezó siendo una abstracción inmediata para facilitar la aplicación de la Geometría euclídea (v. GEOMETRÍA vi), ha pasado a desempeñar un papel primordial como base de exposición de las geometrías clásicas y figura actualmente como un instrumento importante en casi todas las ramas de la Matemática.

Un e. v. V, sobre un cuerpo (v. ÁLGEBRA,11) k, es una estructura matemática compuesta por un grupo (v.) conmutativo (que suele indicarse con el mismo símbolo que el e. v.) cuya operación se indica aditivamente, un cuerpo k, y una operación definida sobre kxV con valores en V, que se indica multiplicativamente, y que verifican las propiedades siguientes: 1)

r(a + b) = ra + rb,

para cualesquiera elementos, a y b de V y r de k; 2) (r + r’)a = ra + r’a,

para cualesquiera elementos, r y r’ de k y a de V; 3) r(r’a) =(rr’)a,

para cualesquiera elementos, r y r’ de k y a de V; 4) la=a,

para cualquier elemento a de V, siendo 1 el elemento unidad del cuerpo k. Nos limitaremos al caso de ser k un cuerpo conmutativo, aunque muchos de los resultados pueden ampliarse al caso de cuerpos no conmutativos. Un ejemplo sencillo de e. v. sobre el cuerpo de los números reales lo constituye el conjunto de los segmentos de un plano euclídeo que poseen un extremo común, cuando se define la suma mediante la ley del paralelogramo y el producto de un segmento por un número real, a través del producto de la longitud del segmento por el valor absoluto del número real (cambiando el sentido del segmento si el número real es negativo).

Los elementos de un e. v. se denominan vectores (v.). Observemos que de la definición se deduce que un e. v. no es sino un módulo cuyo anillo de definición es un cuerpo. La relación más inmediata que puede establecerse entre los vectores de un e. v. es la de la dependencia o independencia lineal. Sea vi un conjunto de vectores de un e. v.; se dice que el vector v depende linealmente del conjunto vi cuando existe una relación del tipo, v=!r¡vj,parar¡ E k,vi E vi;

si no existe una relación de este tipo se dice que el vector v no depende linealmente del conjunto dado. De esta definición se deduce que cualquier vector, v, depende del conjunto constituido por este mismo vector, y que si v depende linealmente del conjunto vi y cada uno de los vi depende linealmente del conjunto u¡, v depende linealmente del conjunto u;. Asimismo es inmediato deducir de la definición que el vector nulo (el elemento nulo del grupo conmutativo del e. v.) depende linealmente de cualquier conjunto de vectores. Se dice que el conjunto vi es un conjunto de vectores linealmente independientes, si una relación del tipo,

Y.r¡v¡=0,ri E k,v¡ E vi

implica que todos los ri son nulos; se dice que son linealmente dependientes cuando existe una relación del tipo,

Ir¡v¡=0,r¡ E k,v¡ E vi

siendo alguno de los r¡ distinto del elemento nulo. Estas dos definiciones están relacionadas con el siguiente teorema: la condición necesaria y suficiente para que el conjunto vi sea un conjunto de vectores linealmente independientes es que ninguno de los v¡ dependa linealmente del conjunto de los vectores de vi distintos de v¡.

Se dice que un conjunto de vectores vi de V es un sistema de generadores, cuando todo vector de V depende linealmente del conjunto vi. Se dice que un conjunto de vectores vi de V es una base de V, cuando es un conjunto de vectores linealmente independientes que constituye un sistema de generadores de V; se puede demostrar que basta que un sistema de generadores sea tal que cualquier subconjunto distinto del total no sea un sistema de generadores, para que se pueda asegurar que es una base. Si vi es un sistema de generadores de V y v es un vector cualquiera, existe una relación del tipo v=5.r¡v¡,v¡ E vi,r¡ E k,

pero los coeficientes ri de esta expresión no están, en general, unívocamente determinados por la relación anterior. Si vi es una base, los coeficientes r¡ distintos de cero de la expresión,

v=Yr¡v¡ están unívocamente determinados por esta relación. El disponer de una base vi, permite reducir la expresión de un vector, v, a un conjunto de la forma (r¡), siendo v=lr¡v¡

en que las r¡ se denominan las componentes del vector v respecto a la base vi; esta representación de los vectores presenta la ventaja de su simplicidad para las operaciones de adición y multiplicación, puesto que

(r¡)+(r’¡)=(r¡+r’¡), r(r¡)=(rr¡).

La cuestión de la existencia de bases de un e. v. tiene solución afirmativa en cualquier caso, es decir, existe siempre una base de e. v. y, además, si vi es un conjunto de vectores linealmente independientes, existe una base que contiene a ese conjunto de vectores. Si el e. v. posee una base con un número finito de elementos, cualquier otra base del e. v. posee el mismo número de elementos, y si un e. v. posee una base con un número infinito de elementos, todas las bases poseen un número infinito de elementos y entre los elementos de dos bases cualesquiera del e. v. puede establecerse una correspondencia biunívoca. Se llama dimensión de un e. v. al número de elementos de una base, y se indica por dim. V.

2. Variedades lineales. Sea V un e. v.; si U es un subconjunto de V, se dice que U es una variedad lineal o subespacio vectorial de V cuando se verifican las propiedades siguientes: 1) U es un subgrupo del grupo que define el e. v.; 2) Si

UEU y rCk, ruEU;

es decir, U es una variedad lineal de V si las operaciones que definen a V subordinan en U unas operaciones con respecto a las cuales U es un e. v. definido sobre k. Se puede demostrar que la condición necesaria y suficiente para que U sea una variedad lineal es que todo vector que dependa linealmente de los vectores de U sea un vector de U, es decir, que U sea cerrado respecto a la dependencia lineal. Si v;=C es un conjunto de vectores de V, el conjunto de todos los vectores de V que pueden expresarse en la forma

Yr¡v¡,r¡ E k,vi e vi),

constituye una variedad lineal de V que se indica por L(C) y es la variedad lineal mínima que contiene a C, es decir, que si U es una variedad lineal que contiene a C se verifica que U contiene a L(C). Si U es una variedad lineal de V, se dice que un subconjunto vi de vectores de U es un sistema de generadores de U, cuando todo vector de U depende linealmente de vi, o lo que es equivalente, cuando

U=Lvi;

se dice que un sistema de generadores vi, de una variedad lineal U es una base de U, cuando vi) es un conjunto de vectores linealmente independientes; si vi es una base de U, todo vector, v, de U se puede expresar en la forma

v=lrjvi,rj E k,vj E vi,

y los coeficientes r¡ distintos de cero están unívocamente determinados por la relación anterior.

Con respecto a la existencia de bases para una variedad lineal se tienen unos resultados similares a los de un e. v.: si C es un conjunto de vectores linealmente independientes, contenido en una variedad lineal U, existe una base de U que contiene a C. De aquí se deduce que si U y U’ son variedades lineales tales que U contiene a U’, toda base de U’ puede prolongarse a una base de U. Todas las bases de una variedad lineal U tienen el mismo número de elementos; este número se denomina dimensión de U y se indica por dim. U.

3. Teoremas de isomorffa. Sea U una variedad lineal del e. v. V. Consideremos en V una relación definida por:

v-v’,

cuando y solamente cuando v-v’ E U; esta relación es una relación de equivalencia. Si consideramos el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de V constituidos por los elementos equivalentes entre sí, en esta relación de equivalencia podemos construir, de manera natural, una estructura de e. v., definiendo las operaciones del modo siguiente: si

r E kya+U

representa el subconjunto de V constituido por todos los vectores de V que son equivalentes al vector a en la relación anterior,

r(a+U)=ra+U,(a+U)+(á +U)=(a+á)+U.

Se puede demostrar que así queda determinado un e. v., que se indica por V/U y se denomina e. v. cociente de V con respecto a la variedad lineal U. Entre las dimensiones de V, U y V/U se verifica la relación siguiente: dim. V=dim. U+dim. V/U.

Si U y U’son variedades lineales de un e. v., la intersección (en sentido de la teoría de conjuntos, v.), U n U’, es una variedad lineal que se llama intersección de las variedades U y U’. Se define la suma de las variedades U y U’, U+U’, por

U+U’=L(U, U’)=x E VIx=y+z, y E U, z E U’ Entre las dimensiones de

u, u’, u+u’, u n u’, existe la relación siguiente:

dim. U+dim. U’=dim. (U n U’)+dim. (U+U’).

Por otra parte, existe una correspondencia biunívoca entre las variedades lineales de V que contienen a una variedad lineal U y las variedades lineales de V/U, y en esta correspondencia se conservan la suma y la intersección de variedades lineales.

Si V y V’ son e. v. definidos sobre el mismo cuerpo, k, se dice que una aplicación (v. CORRESPONDENCIAS), f, de V en V’ es un homomorfismo o aplicación lineal de V en V’ cuando se verifican las propiedades siguientes: 1)

f(a+a’)=fa+fa’;

2)

f(ra)=rfa, para cualesquiera elementos a y a’ de V, y r de k. La condición 1) equivale a decir que f debe ser un homomorfismo respecto a la estructura de grupo. Se denomina imagen de una aplicación lineal, f, a la imagen de f en sentido conjuntista, es decir, al conjunto de los elementos de V’ que son de la forma fv para al menos un vector, v, de V; se indica a la imagen de f por im. f, que es una variedad lineal de V’. Se denomina núcleo de la aplicación lineal f, y se indica por ker. f, al conjunto de los vectores de V que se transforman en el vector nulo de V’; el núcleo de una aplicación lineal es una variedad lineal;entre las dimensiones de V, ker, f, e im, f, existe la siguiente relación:

dim. V=dim. im. f+dim. ker f.

Si U es una variedad lineal de V, la aplicación, f, de V en V/U, definida por,

f(v)=v+u,

es un homomorfismo que se denomina homomorfismo natural, y la aplicación natural de U en V que hace corresponder a cada elemento de U el mismo elemento de V, es también un homomorfismo que se denomina, asimismo, homomorfismo natural. Se dice que una aplicación lineal, f, de V en V’ es suprayectiva cuando

V=im. f,

y se dice que es inyectiva cuando fv=fv’ implica que

v=v’.

La condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal sea inyectiva es que el núcleo de la aplicación lineal se reduzca al conjunto constituido por el vector nulo. Un isomorfismo es una aplicación lineal que sea biunívoca, es decir, una aplicación lineal que sea suprayectiva e inyectiva; cuando existe un isomorfismo entre dos e. v., V y V’, se dice que son isomorfos y se suele indicar por

v .-- V’.

Si f es una aplicación lineal de V en V’ h la aplicación lineal natural de V en V/ker. f, g la aplicación lineal natural de im. f. en V’, existe un isomorfismo, b, de V/ker.1 en im. f, tal que, f=gbh, y este isomorfismo está unívocamente determinado por la relación anterior, relación que tiene como consecuencia que

V/ker. f -- im. f

(resultado conocido también como primer teorema de isomorf ía) . Si U y U’ son variedades lineales de un e. v., V, existe un isomorfismo, b, entre

u/u n u’yu+u’/u’,

es decir,

u/u n u’ - u+u’/u’, estando definido b por

b(v+u n u’)=v+u’,

resultado que es conocido también como segundo teorema de isomorf ía.

4. El espacio vectorial de los homomorfismos. Si V y V’ son e. v. definidos sobre el mismo cuerpo k, v, un sistema de generadores de V y para cada vi de vi tenemos dado un elemento, v’? de V’ no existe en general un homomorfismo de V en V’ que transforme vi en v;. Si v, es una base de V, existe siempre un homomorfismo de V en V’ que transforma v; en v; y este homomorfismo está unívocamente determinado por esta condición. Si indicamos por

Hom. (V, V)

el conjunto de las aplicaciones lineales de V en V’, Hom. (V, V’) posee, de manera natural, una estructura de e. v. dada por

(f+8)V=fv+gV, (rN=f(fV),

para todo vector v de V (se comprueba sin dificultad que las aplicaciones definidas son aplicaciones lineales y que con estas operaciones se tiene una estructura de e. v. sobre el cuerpo k). Entre las dimensiones de V, V y Hom. (V, V) existe la relación siguiente:

dim. Hom (V, V’)=dim. V - dim. V’.

Si V y V’ son e. v. de dimensiones finitas n y m, respectivamente, sean

VI, V2,, Vnyt -’l, V’2, ..., V’.

unas bases fijas de estos e. y (a¡¡) una matriz (v.) de n filas y m columnas; hagamos corresponder al vector de V, de componentes

(ri, r2, . ., rn)

respecto a la base

V1, V2, ..., Vn,

el vector de V’ cuyas componentes respecto a la base V’1, V’2, -, V ’m

están dadas por el producto de matrices (ri, r2, _ _ rn) (ai¡);

esta correspondencia es una aplicación lineal y toda aplicación lineal puede obtenerse de este modo, es decir, elegidas unas bases en los e. v., las componentes del transformado de un vector pueden obtenerse multiplicando la matriz de las componentes del vector por una matriz fija; así se puede establecer, una vez fijadas unas bases, una correspondencia entre los homomorfismos y las matrices de n filas y m columnas, y esta correspondencia es biunívoca; con respecto a la estructura vectorial de Hom. (V, V’), esta representación es manejable, puesto que las operaciones de suma y producto de los homomorfismos vienen dadas por,

(a¡¡)+(a’i¡)=(ai¡+a’i¡), r(ai¡)=(rai¡).

El espacio dual. Un caso interesante por sus aplicaciones es el e. v., Hom. (V, k) en (donde se considera a k como un e. v.) que se llama e. v. dual de V, y se suele representar por V*; la dimensión de V* es igual a la dimensión de V. Si

VI, V2, .... Vn

es una base de V e indicamos por vi* al homomorfismo de V en k que aplica vi en el elemento nulo para jai y el vector vi en el elemento unidad de k, el conjunto

VI*, V2*,.., Vn*

es una base de V*, unívocamente determinada por la base

VI, V2, ..., Vn,

y se llama base dual de la dada. Indicando por V** al e. dual de V* es decir a (V*)*, existe, cuando la dimensión de V es finita, un isomorfismo natural de V en V** que permite que en general se consideren idénticos ambos e. v. Sea L una variedad lineal de V y Sea L* el conjunto de todos los homomorfismos de V en k que apliquen todo vector de L en el elemento nulo; L* es una variedad lineal de V* que se denomina variedad ortogonal a la variedad L. Entre una variedad y su ortogonal existen las relaciones siguientes: a)

L*=L’*

implica L=L’; b)

dim. L+dim. L*=dim. V ;

c)

(L tl L"*=L*+L’*;

d)

(L+L’)*=L* 0L’*;

e)

,

f)

LCL’

implica

L* D L’*.

Representación matricial de los homomorfismos. Si VI, V2, ..., VnyV 1, V’2, ..., V’-

son bases de un e. v. V (de dimensión finita), y (ri), (r’i) son las componentes de un vector v respecto a las dos bases, existe una matriz cuadrada, T, de orden n, no singular (es decir, cuyo determinante es distinto de cero), que solamente dependen de las bases consideradas y tal que

(r’i) =T (r¡) ;

recíprocamente, si T es una matriz cuadrada, de orden n y no singular, y

VI, V2, ..., Vn

es una base de V, existe una base de V1,V2,? ,Vn

tal que la relación entre las componentes con respecto a esta base y con respecto a la base dada viene expresada por medio del producto matricial por T. De aquí se deduce que si f es un homomorfismo de V en V’ (e. v. de dimensión finita) tal que con respecto a unas bases de V y V’ viene representado por una matriz, A, y S y T son matrices cuadradas no singulares (para las que está definido el producto S-IAT), existen unas bases en V y V’ respecto a las cuales la matriz que representa el homomorfismo f es la matriz S-IAT. Si f es un endomorfismo, es decir, f es una aplicación lineal de V en sí mismo, S es igual a T, por lo que todas las matrices de la forma T-IAT representan el mismo endomorfismo si se toma una base adecuada en el e. v. Se puede estudiar la posibilidad de encontrar una base respecto a la cual la expresión del endomorfismo (es decir, la matriz T-1AT) sea la más sencilla posible. Otro problema relacionado con el planteamiento anterior es el estudio de las variedades lineales invariantes en el endomorfismo, es decir, el estudio de aquellas variedades lineales tales que se transforman en sí mismas en el endomorfismo; estas dos cuestiones que están íntimamente relacionadas tienen una solución bastante completa para e. v. de dimensión finita, pero su exposición excedería los límites de este artículo; en particular, son de un interés especial los resultados relativos a automorfismos, es decir, a isomorfismos de un e. v. en sí mismo.

5. El producto escalar. Si V es un e. v. real, una operación definida sobre V X V y con valores en R (es decir, una operación a cada par de vectores asigna un elemento del cuerpo R de los números reales) se dice que es un producto escalar si se verifican las propiedades (se representa la operación multiplicativamente): 1)

vv’ = v’v,

para

v, v’EV;

2)

v(v’+v")=vv’+vv,",

para

v, v’, v" E V ;

3)

v(rv’)=r(vv ),

para

v, v’EV, rEk;

4)

vvi=0,

para todo vector vi de V, es equivalente a v=0. 5) Si V x E V,xx,>0.

es de dimensión finita y tomamos una base, y si (vi) y (v’i) son las matrices de las coordenadas de dos vectores v y v’, respectivamente, respecto de dicha base, existe una matriz fija (gii), tal que,

vv’=(vi)(git)Wi)~?

La matriz (gii) es simétrica, no singular y definida positiva, esto es, tal que

(vi)(g¡J)(viYi0 d(vi)

y la igualdad sólo se verifica para (vi)=(0). recíprocamente, si se define una operación por vv’=(vi)(hii)(v’i)’,

siendo (hii) una matriz simétrica, no singular y definida positiva, esta operación es un producto escalar. Si tenemos definido un producto escalar en un e. v. V que está expresado por la matriz (gii) con respecto a una base

V1, v2, .... vn f

de V, se llaman componentes o coordenadas covariantes de un vector v respecto a esa base a los elementos de k obtenidos por

ri =vvi

a las coordenadas consideradas hasta ahora se les llama contravariantes. Si

v =(rol, r2, .., r’n)

son las coordenadas covariantes de v’ y v=(rl, r2, .., rn)

son las coordenadas contravariantes de v, se tiene que vv’=Ir’;ri.

Un producto escalar define una estructura métrica en el e. v. real. Al e. v. real con una estructura métrica se le llama euclídeo; se llama módulo de un vector, v, a la raíz cuadrada (tomada con signo positivo) de vv; el módulo de un vector v se suele indicar por Iv1 o por v; la propiedad fundamental del concepto de módulo de un vector en un e. v. euclídeo es la propiedad triangular: 1v+v’¡<__¡vi+w’1;

en estos e. v. se puede definir el ángulo de dos vectores y, por consiguiente, la relación de perpendicularidad de vectores; se llama base métrica de un e. v. euclídeo a toda base

v1, v2, -, Vn

tal que vi vi sean la unidad para i=Í y sea 0 para

en estas bases las componentes covariantes y contravariantes de un vector coinciden; finalmente, indicaremos que en todo e. v. de este tipo se pueden hallar bases métricas.

V. t.: ÁLGEBRA; CORRESPONDENCIAS; ANÁLISIS MATEMÁTICO; CONJUNTOS, TEORÍA DE; GRUPOS, TEORÍA DE; FUNCIONES I; VECTORES Y CÁLCULO VECTORIAL.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: M. QUEYSANNE, Algébre, 5 ed. París 1964; R. COURANT y H. ROBBINS, ¿Qué es la Matemática?, Madrid 1958; J. KEMENY y OTROS, Estructuras matemáticas finitas, Buenos Aires 1967; L. A. GALLI, Álgebra vectorial y sus aplicaciones, Buenos Aires 1968; R. GODEMENT, Álgebra, Madrid 1967; N. CUESTA DUTARI, Geometría vectorial. Introducción intuitiva al álgebra lineal.