Espacios Topológicos. CIENCIA

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Ciencia

1. Topología en un conjunto. Un e. t. es un conjunto X en el que se ha definido una topología. Una topología en un conjunto X es una familia T de subconjuntos de X que cumple las siguientes propiedades: a) el conjunto vacío (D y el conjunto X pertenecen a T; b) la unión de una familia arbitraria de elementos de T pertenece a T; c) la intersección de una familia finita de elementos de T pertenece a T (v. CONJUNTOS, TEORÍA DE).

Un e. t. viene dado, pues, por un conjunto X y una topología T en X. Se expresa por el par (X, T). El e. t. resulta ser el instrumento matemático con que se pueden definir, analizar, describir, etc., propiedades que expresan o tienen relación con la idea intuitiva de proximidad. He aquí una breve exposición de cómo se han ido desarrollando las ideas a este respecto.

Inicialmente se tiene una noción de proximidad, p. ej., entre dos puntos de un plano, mediante la distancia que existe entre ellos; así, dado un punto P de un plano, si consideramos la circunferencia de centro P y radio un segmento de longitud un número real S > 0, los puntos que están en el interior del círculo bordeado por esta circunferencia son todos los puntos del plano cuya distancia a P es menor que S. De esta forma, la consideración de todas las circunferencias de centro P y radio de longitud un número real mayor que cero, permite expresar la proximidad de un punto cualquiera del plano a P por su posición respecto a estas circunferencias: si un punto Q está contenido en el interior del círculo bordeado por la circunferencia de centro P y radio de longitud S > 0, diremos que Q pertenece al entorno circular de P de radio S.

Hemos construido estos entornos circulares del punto P utilizando el concepto de distancia, que está definida en el plano euclídeo; y se pueden construir en cualquier conjunto en que esté definida una distancia, es decir, en un e. métrico (v. iv). Pero se puede expresar la idea de proximidad sin necesidad de apoyarse en la noción de distancia, observando en su lugar las propiedades del conjunto de los entornos circulares de un punto.

Efectivamente, podemos observar que las familias FP de los entornos circulares de cada punto P del plano verifican estas propiedades, que se pueden expresar sin la noción de distancia: a’) el punto P pertenece a todos los entornos circulares de P; b’) la intersección de dos elementos de la familia FP contiene otro elemento de FP; c’) Si Q es un punto de un entorno circular U de la familia FP, existe un entorno circular V de la familia FQ que está contenido en U.

Utilizando estas propiedades se puede hacer una generalización del concepto de entorno circular de un punto, así:

Si X es un conjunto, y para cada punto de P de X se tiene una familia FP de subconjuntos cualesquiera de X que cumplan las propiedades: a") el punto P pertenece a todos los elementos de la familia FP (fig. 1); b") la intersección de dos elementos de la familia Fp contiene otro elemento de FP; c") si Q es un punto de un elemento U de la familia FP, existe un elemento V de la familia FQ que está contenido en U (fig. 2); entonces cada uno de los subconjuntos que constituyen la familia FP es un entorno abierto del punto P, y todos ellos, al considerar todos los puntos de P de X, definen una estructura topológica en el conjunto X. Dado el punto P, queda expresada la idea de proximidad de un punto cualquiera Q de X al punto P, por la posición de Q respecto a la familia FP de los entornos abiertos de P; y, como se observa, viene dada por la estructura topológica del conjunto X, sin necesidad de una noción previa de distancia. Es una idea de proximidad que tiene carácter local, en el sentido de que hace referencia a cada punto P aisladamente, pero que no permite comparar la proximidad respecto a un punto con la proximidad respecto a otro.

Un modo habitual de definir una estructura topológica en un conjunto X consiste en dar una topología T en X, pues para cada punto P de X, todos los elementos de T que contienen a P constituyen una familia FP que cumple las propiedades a"), b") y c"), y por ello definen una estructura topológica en el conjunto X. Un subconjunto de X que es un elemento de la familia T, se llama un abierto de la topología. Y se llama entorno de un punto P de X a cualquier subconjunto de X que contiene un abierto que, a su vez, contiene al punto P. La familia de todos los entornos de un punto P es el sistema de entornos de P.

En un e. topológico (X, T), se llama conjunto cerrado el que es complementario de un conjunto abierto. Por esta razón, la familia de los conjuntos cerrados determina la topología T, y está caracterizada por las propiedades: a"’) el conjunto vacío 0 y el conjunto X son cerrados; b"’) la intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado; c"’) la unión de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Base de una topología T del espacio (X, T) es una subfamilia B de T tal que todo abierto de T es unión de conjuntos de la subfamilia B. El interés de este concepto radica en que puede ser una familia más pequeña que T, y, por ello, más fácilmente manejable, que determina a T totalmente. Cuando (X, T) admite una base B que es una familia numerable, se dice que el e. topológico (X, T) cumple el segundo axioma de numerabilidad.

Base del sistema de entornos de un punto P es una subfamilia AP del sistema de entornos de P, tal que para todo entorno U de P hay un entorno V en la familia AP que está contenido en P. Una base del sistema de entornos de un punto P es también, en general, una familia más pequeña que la de todos los entornos de P, y la determina totalmente. Cuando todo punto P del espacio (X, T) tiene una base de entornos numerable, se dice que el espacio (X, T) cumple el primer axioma de numerabilidad.

2. Subconjuntos en un espacio topológico. En un e. topológico (X, T), dado un subconjunto M de X, cada punto P de X tiene una determinada posición topológica respecto del subconjunto M (fig. 3):

P es un punto interior de M si existe un entorno de P contenido en M. El conjunto de los puntos interiores de M constituyen el conjunto interior de M, que resulta ser el mayor conjunto abierto contenido en M.

P es un punto exterior de M, si existe un entorno de P contenido en el conjunto complementario X-M de M. El conjunto de los puntos exteriores de M constituye el conjunto exterior de M.

P es punto adherente de M, si todo entorno de P tiene parte común no vacía en el conjunto M. El conjunto de estos puntos es la adherencia o cierre de M y es el mínimo conjunto cerrado que contiene a M.

P es un punto de acumulación de M, si todo entorno U de P es tal que el conjunto

u-P

tiene parte común no vacía con M.

P es un punto frontera de M, si P es punto de acumulación de M y de su complementario X-M. El conjunto de los puntos frontera de M constituye la frontera de M, que es un conjunto cerrado.

Sucesiones y límites. En un e. t. tiene sentido el concepto de límite de una sucesión (v.). Una sucesión en un conjunto X es una aplicación

f: N-> X,

del conjunto N de los números naturales en X; si llamamos

xn - f(n),

la sucesión está determinada por el conjunto imagen x,, x2,..,x?,...

Si (X, T) es un e. t., un punto a de X es punto límite de una sucesión

x,, x2, ..., x?

de X, si para cualquier entorno U del punto a existe un índice i, tal que todos los términos posteriores a xi, es decir,

xi+l, xi+2, ...

pertenecen al entorno U de a. Dicho de otra forma, cualquiera que sea el orden de proximidad U de a, fijado previamente, los puntos

xi+l, xi+2, ...

están dentro de este orden de proximidad de a. Se dice también, en este caso, que la sucesión es convergente al punto a.

Según esta definición, puede ocurrir que una sucesión tenga varios puntos límites; esto depende de las propiedades de separación que tenga el e. t.; p. ej., que puntos distintos del espacio X se puedan separar o no por medio de entornos. Hay toda una gama de posibilidades, que vienen expresadas por los siguientes axiomas de separación. Enunciamos solamente los más usuales. Axiomas de separación. To. Un e. t. verifica el axioma de separación To, si dados dos puntos cualesquiera, distintos, P y Q, existe al menos un entorno de uno de ellos que no contiene el otro.

Ti. Un e. t. verifica el axioma T,, si dados dos puntos distintos, P y Q, existe un entorno de P que no contiene a Q, y un entorno de Q que no contiene a P. Esta condición es equivalente a decir que todo conjunto unitario P del e. es un conjunto cerrado.

T2. Un e. t. es separado T2, o es un e. de Hausdorf, f, cuando para cada dos puntos distintos P y Q existe un entorno U de P y un entorno V de Q que soli disjuntos, es decir, no tienen parte común distinta del vacío. En un e. separado T2, si una sucesión tiene punto límite, éste es único.

T3. Un espacio X es regular cuando para cada conjunto cerrado A de X y cada punto P que no pertenece a A, existen un abierto U que contiene a A y un entorno V de P que son disjuntos. Un e. que es regular y verifica la propiedad T, se dice que es separado T3.

Ta. Un e. t. X es normal cuando para cada dos conjuntos cerrados disjuntos A y B de X, existen abiertos U, que contiene a A y V que contiene a B, que son disjuntos. Un e. que es normal y Tl se dice que es Ta.

3. Aplicaciones continuas. Homeomorfismos. En teoría de conjuntos se definen las aplicaciones de un conjunto en otro (v. CORRESPONDENCIAS); cuando los conjuntos tienen una estructura topológica, las aplicaciones que tienen interés son las aplicaciones continuas, que permiten relacionar las topologías de los dos conjuntos. Estas aplicaciones son las que, por decirlo de algún modo, conservan la idea de proximidad dada por la topología, en el sentido de que a puntos próximos hacen corres ponder puntos próximos.

Sean(X, T),(Y, S)dose. t., y

f : (X, T) - (Y, S)

una aplicación de X en Y; se dice que f es continua en un punto x de X, si para cualquier entorno V del punto f (x) existe un entorno U de x, tal que su imagen f (U) está contenida en V. Se dice que f es continua en todo el espacio X si es continua en todos los puntos de X; lo que es equivalente a que la imagen inversa f-’(A) de un abierto cualquiera A de (Y, S) sea un abierto del espacio (X, T). Una aplicación continua

f : (X, T) - (Y, S)

conserva la convergencia de una sucesión, en el sentido de que si

x,, x2, ..., x?, ...

es una sucesión en X convergente al punto a, la sucesión imagen,

f(xl), f(x2), ..., f(xn), ...

es convergente al punto f(a). Esta propiedad, en relación con la convergencia de sucesiones, caracteriza las aplicaciones

f: X ->Y

que son continuas en el caso de e. que cumplen el primer axioma de numerabilidad (p. ej., en los e. métricos), aunque no en el caso general.

Los e. t., como objetos, y las aplicaciones continuas, como morfismos, dan lugar a una categoría (v.). Los isomorfismos de esta categoría son los homeomorfismos. Un homeomorf ismo entre dos e. t. es una aplicación

h : (X, T) -> (Y, S)

que es biyectiva, y tanto h como su inversa h_i: Y-->X,

son continuas. Cuando existe un homeomorfismo h entre dos espacios (X, T), (Y, S), se dice que éstos son homeomorf os.

Resulta de la definición que un homeomorfismo hace corresponder entre sí los e. punto a punto, y también hace corresponder entre sí los abíertos de un e. y otro, y las sucesiones convergentes. Por ello, dos e. homeomorfos son equivalentes topológicamente; y todos los e. t. se clasifican, de e:ne modo, en clases constituidas por e. que son homeomorfos entre sí.

Invariantes topológicos. Esta clasificación de los e. t. permite definir el concepto de invariante topológico. Un invariante topológico es una propiedad que se conserva por homeomorfismo; o lo que es lo mismo, es una propiedad que si la tiene un e., la tienen todos los e. homeomorfos a él. Esta noción es de gran interés en el estudio de los e. t., pues permite asegurar que dos e. no son equivalentes topológicamente cuando se comprueba que difieren en alguno de los invariantes. Al mismo tiempo, es interesante saber cuándo la coincidencia en algunos invariantes topológicos es suficiente para asegurar la equivalencia de dos e. Así, p. ej., se ha resuelto recientemente la llamada "conjetura generalizada de Poincaré" por la que se puede asegurar que para n >, 5, una n-variedad combinatoria cerrada, orientable y (n-1) conexa es equivalente topológicamente a una n-esfera; y está aún sin decidir la famosa conjetura de Poincaré: si toda 3-variedad cerrada, orientable y simplemente conexa es topológicamente una 3-esfera. Son invariantes topológicos, además de las citadas propiedades de separación

To, .... T4,

la conexión, conexión local, conexión por caminos, compacidad, etc., que son de carácter conjuntista; y otros, como los grupos de homotopía y los grupos de homotopía de un e. t., que tienen un carácter algebraico, y cuyo estudio da lugar a la topología algebraica.

Un e. topológico X es conexo, si no existe en él un subconjunto que sea a la vez abierto y cerrado, distinto del conjunto vacío y del conjunto X. Este concepto de conexión viene a expresar la idea intuitiva de que el e. no está "roto en dos trozos".

Un camino en un e. topológico (X, T), que empieza en un punto P y termina en un punto Q, es una aplicación continua

f: [0,1]-X,

del intervalo cerrado

I=[0, 1]

de los números, reales en el espacio X, tal que

f(0)=P y f(1)=Q. Se dice que X es conexo por caminos cuando, dados dos puntos cualesquiera de X, existe un camino que empieza en uno de ellos y termina en el otro. Todo e. conexo por caminos es conexo, pero no recíprocamente.

Un e. topológico X es compacto si cualquier familia de conjuntos abiertos que cubre todo el e. tiene una subfamilia finita que cubre también todo el e. Como puede observarse, la compacidad expresa una idea de finitud del e. en un sentido muy preciso.

4. Grupos de homotopía. La definición de los grupos de homotopía de un e. requiere introducir previamente los conceptos de homotopía y de aplicaciones homótopas. Sean X, Y dos e. t., y

f: X ->Y,g: X->Y dos aplicaciones continuas;

I=[0, 1]

el intervalo cerrado de los números reales. Las dos aplicaciones f y g son homótopas si existe una aplicación continua

H: Xxl->Y

tal que para todo punto x de X es

H(x, 0)=f(x),yH(x, 1)=g(x).

La aplicación continua H es una homotopía entre las aplicaciones f y g.

La homotopía expresa la idea de una deformación continua que lleva de la aplicación f a la g, pasando por las aplicaciones intermedias ft definidas por

ft(x)=H(x, t),

para los valores t del intervalo [0,1] (fig. 4).

La relación que se establece entre dos aplicaciones continuas cuando existe una homotopía entre ellas es una relación de equivalencia, por lo que se puede hacer una clasificación en el conjunto de aplicaciones continuas de X en Y, según la cual la clase a la que pertenece una aplicación f está formada por todas las aplicaciones homótopas a f. Sea entonces un e. topológico X conexo por caminos, y P un punto de X (fig. 5); consideremos todos los caminos en X que empiezan y terminan en P clasificados homotópicamente: en el conjunto 11,(X, P) de estas clases de caminos homótopos se define una operación algebraica, la composición de clases, por la que se da al conjunto 11,(X, P) estructura algebraica de grupo. Éste es el grupo fundamental, o grupo de homotopía de dimensión 1 del espacio X, relativo al punto P. Para puntos P y Q distintos, se tienen grupos fundamentales de homotopía que son isomorfos, y de esta forma se llega al grupo fundamental de homotopía 11,(X) del espacio X. El grupo fundamental de homotopía de un e. conexo por caminos es un invariante topológico, en el sentido de que e. homeomorfos tienen grupos fundamentales que son isomorfos. Es de observar que la afirmación recíproca no es cierta en general.

Si en lugar de considerar caminos que empiezan y terminan en P, consideramos aplicaciones continuas del cubo n-dimensional In en X, que aplican el borde del cubo en el punto P, por medio de un proceso análogo al expuesto anteriormente se construye el grupo de homotopía 11n(X) de dimensión n del espacio X. Para n > 1, estos grupos son conmutativos. Tratando de dar un significado geométrico intuitivo a los grupos de homotopía

11n(X, P)

se podría decir que, en determinadas condiciones, reflejan el "número de huecos" del e., entre otras cosas.

Un espacio X conexo por caminos, cuyo grupo fundamental de homotopía se reduce al elemento unidad, es un e. simplemente conexo. Si esto ocurre con todos sus grupos de homotopía

nk(X, P)

para los valores de

k=1, 2, . ., n, el e. se llama n-conexo.

5. Construcción de espacios topológicos. Si (X, T) es un e. topológico,

T=UT

la familia de abiertos de X, y Z es un subconjunto de X, se tiene la aplicación inclusión i: Z -> X. Se verifica que

i-1(U,)=U, n z;

y la familia

U, n z

es una topología para el conjunto Z. Es la mínima topología de Z que hace continua la aplicación i. El subconjunto Z, con esta topología, es un subespacio topológico de (X, T).

Si (X, T), (Y, S) son dos e. t. con topologías T=UT, s=Vu,

y es X X Y el producto cartesiano de los dos conjuntos, se tienen las proyecciones

px: XXY -> X,py: XXY -> Y.

La mínima topología del producto XXY que hace continuas las dos proyecciones es la que tiene como una base las intersecciones finitas de conjuntos

pX 1(Ur),py 1(Vw).

El conjunto XXY con esta topología es el e. t. producto de los espacios (X, T) e (Y, S). Son dos ejemplos de topologías iniciales, porque en estos casos se trata de construir topologías en los conjuntos iniciales de unas aplicaciones.

Si (X, T), (Y, S) son, como antes, dos e. topológicos, y los conjuntos X e Y son disjuntos, se tiene el conjunto suma X U Y, y las aplicaciones inclusión

iz: X->XUY,iy: Y->XUY.

La máxima topología de X U Y que hace continuas iz e iy es la que tiene como abiertos los subconjuntos W de X U Y tales que W n X es un abierto en X, y W n Y es un abierto en Y. El conjunto X U Y con esta topología es el e. t. suma de (X, T) e (Y, S).

Finalmente,sea(X, T)une. t.,Yunconjunto,y f : X --> Y una aplicación. Se llama topología cociente de Y respecto de la aplicación f la que tiene como abiertos aquellos subconjuntos W tales que f-1(W) es un abierto de (X, T). Es la máxima topología de Y que hace continua la aplicación f. Si R es una relación de equivalencia en X, X/R el conjunto cociente, y

p: X->X/R

la aplicación canónica, se llama e. t. cociente de (X, T) respecto de la relación de equivalencia R, al conjunto cociente X/R con la topología cociente respecto de la aplicación canónica p. Las topologías suma y cociente son dos ejemplos de topologías finales, porque con ellas se da estructura de e. t. al conjunto final de una aplicación.

6. Algunos tipos especiales de espacios topológicos. He aquí algunos tipos especiales de e. t., nacidos de la consideración de alguna circunstancia especial que interviene en su definición y que motiva el interés de su estudio. Cada uno de ellos representa una rama fundamental dentro de la topología.

Espacios funcionales.Son e. t. cuyos elementos son aplicaciones de un conjunto X en un e. topológico Y; en particular, aplicaciones continuas para una topología dada en X. Estos e. tienen especial interés en Análisis matemático.

Espacios métricos (v. iv).

Grupos topológicos, anillos topológicos, cuerpos topológicos, espacios vectoriales topológicos. Son estructuras algebraicas (v. ÁLGEBRA) en cuyo conjunto de elementos se ha definido una topología que hace continuas las operaciones algebraicas de la estructura respectiva, y el paso al elemento simétrico, cuando éste está definido.

Se dice que la topología es compatible con la estructura algebraica.

Poliedros. Son e. t. que admiten una triangulación por medio de un complejo simplicial; su estudio es objeto de la topología combinatoria.

Variedades topológicas de dimensión n. Son e. t. de Hausdorff, con una base numerable y tales que cada punto tienen un entorno homeomorfo a un subconjunto abierto del e. euroclídeo de dimensión n o del semiespacio euclídeo de dimensión n (variedades con borde).

Variedades diferenciables. Son variedades topológicas a las que se ha añadido una estructura diferenciable. Su estudio es objeto de la Geometría diferencial y de la Topología diferencial.

7. Superficies cerradas. Por su interés geométrico e histórico hacemos referencia a las propiedades topológicas de las superficies cerradas.

Se considera un poliedro topológico de dimensión 2 definido como un sistema de un número finito de polígonos topológicos (caras del poliedro), sujeto a las cuatro condiciones siguientes: 1) dos polígonos cualesquiera del sistema no tienen punto interior común; 2) los lados de los polígonos del sistema coinciden dos a dos, formando las aristas del poliedro; 3) los polígonos del sistema no pueden estar repartidos en dos sistemas parciales disjuntos; 4) cualquiera que sea el vértice de un polígono del sistema, los polígonos del sistema que tengan este vértice en común se pueden disponer en orden cíclico. III, 112, ..., II?, IIn+I=IIl,

de modo que III y IIi+I tengan un lado común que pase por el vértice considerado.

Se define topológicamente una superficie cerrada como el conjunto de puntos de un poliedro topológico de dimensión 2. Se dice que el poliedro realiza una triangulación de la superficie. Se llama característica de un poliedro de dimensión 2 el número entero

X=c-a+v,

donde c es el número de caras, a el de aristas, y v el de vértices del poliedro. Un poliedro de dimensión 2 es orientable, si es posible fijar sobre cada cara un sentido de recorrido tal que cada arista común a dos caras reciba dos sentidos opuestos de recorrido, uno para cada cara. La característica y la orientabilidad de todos los poliedros que dan lugar a las distintas triangulaciones de una superficie cerrada son las mismas, por lo que definen la característica y la orientabilidad de la superficie cerrada. Tanto la característica como la orientabilidad son invariantes topológicos de las superficies y determinan la clasificación topológica de las superficies cerradas: dos superficies cerradas son homeomorfas si, y sólo si, tienen la misma característica, y las dos son orientables o no lo son simultáneamente.

Otros invariantes topológicos de las superficies cerradas orientables son el género y el número de conexión. El género de una superficie cerrada orientable se puede definir como el número máximo de curvas (v.) cerradas de Jordan, disjuntos dos a dos, que se pueden trazar sobre la superficie sin dividirla. El género, g, está relacionado con la característica por la fórmula

2g=2-X. El género de la superficie esférica es 0, el del toro 1, y el del toro con p aperturas es p. El género permite clasificar topológicamente las superficies cerradas orientables: dos de ellas son homeomorfas si, y sólo si, tienen el mismo género. Se llama número de conexión de una superficie cerrada orientable el número máximo de curvas cerradas de Jordan, disjuntas o no, que pueden trazarse sobre la superficie sin dividirla. Resulta que el número de conexión de una superficie cerrada orientable es el doble de su género.

J. ARREGUI.

V. t.: ÁLGEBRA; ANÁLISIS MATEMÁTICO; GRUPOS, TEORÍA DE. BIBL.: C. BERGE, Espaces topologiques, París 1966; N. BOURBAKI, Topologie générale, parte 1 y 2, París; E. CECH, Topological spaces, Londres 1966; W. G. CHINN y N. E. STEENROD, Topologie élémentaire, París 1970; G. CHOQUET, Topología, Barcelona 1971 S. EILENBERG y N. STENROD, Foundations of Algebraic Topology, Princeton 1952; W. FRANz, Topología general y algebraica, Madrid 1968; M. FRÉCHET y KY FAN, Introducción a la topología combinatoria, Buenos Aires 1959; L. C. GLASER, Geometrical combinatorial topology, I, Nueva York 1966; P. J. HILTON, An introduction to homotopy theory, Cambridge 1966; J. G. HOCKING y G. S. YOUNG, Topología, Barcelona 1966; J. W. KEESEE, Introducción a la topología algebraica, Madrid 1971; J. L. KELLEY, Topología general, Buenos Aires 1962; K. KURATOWSKY, Topology, I, Nueva York 1966; J. NAGATA, Modern General Topology, Amsterdam 1968; E. H. SPANIER, Algebraic Topology, Nueva York 1966.