Espacios Proyectivos. CIENCIA

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Ciencia

Reseña histórica. Las primeras propiedades proyectivas del e. se remontan a Euclides. Entre las obras que se perdieron en la destrucción de la Biblioteca de Alejandría figura una de Euclides, Los Porismas, que debía de tener carácter proyectivo.

Existen dos razones para apoyar esta hipótesis: por un lado, unos lemas de Pappus, que, según su autor, tenían como finalidad facilitar el estudio de dicho libro. Uno de estos lemas es el actual postulado de Pappus, que establece que si un hexágono está inscrito en un par de rectas de un plano, los pares de lados opuestos se cortan en puntos de una misma recta. Esta proposición es totalmente de carácter proyectivo. Por otra parte, el título del libro, derivado de poros, que significa figura, parece indicar que la índole de la obra rompía la naturaleza estrictamente métrica de los libros de los Elementos de Euclides. Conviene observar que en los Elementos, el instrumento principal es el compás, que aparece en la segunda página del primer libro, mientras que la regla y la escuadra son posteriores.

Aun cuando Apolonio de Pérgamo (v.) compuso un tratado muy completo de cónicas, los métodos e ideas que utilizó fueron estrictamente métricos, por lo que no puede considerársele como un antecedente de la Geometría proyectiva (v. GEOMETRÍA VIII). Es preciso remontarse al s. xvli, en que aparece una obra de G. Desargues, en la que se crea por primera vez el e. p. Las nuevas ideas de esta obra, publicada en 1633, pasaron inadvertidas para los matemáticos de su tiempo, siendo descubiertas a finales del siglo pasado, cuando ya se había redescubierto el e. p. Los trabajos de J. Steiner (1824) y de 1. V. Poncelet (1818-22) desarrollaron las ideas fundamentales de la Geometría proyectiva, pero fue K. G. Staudt: (v.) quien la sistematizó por primera vez y dio la definición del e. p. real en un gran libro titulado Geometrie der Lage (Geometría de la posición), 1848, definiendo pocos años después completamente el e. p. complejo en sus Beitráge Zur Geometrie der Lage (Complementos a la Geometria de la posición). A partir de la obra de Staudt, la Geometría proyectiva se enseñoreó de la Matemática hasta el punto de provocar la frase de A. Cayley (1858): "Projective Geometry is all Geometry" ("La Geometría proyectiva es toda la Geometría"). En la actualidad, el e. p. ha perdido importancia, lo que no quiere decir que no sea indispensable para algunos problemas de la Matemática, sino, simplemente, que no ocupa la posición central que tenía en la última mitad del siglo pasado.

Definición de espacio proyectivo. El e. p. se puede definir directamente mediante un sistema de axiomas. Para este tipo de definición puede consultarse la obra fundamenta] de Veblen-Young, Projective Geometry, 1912-14. En la actualidad se define el e. p. a partir del e. vectorial (v. vli), en la forma que vamos a indicar a continuación.

Sea V un e. vectorial de dimensión n+ 1sobre un cuerpo (v. ÁLGEBRA, 11) conmutativo K. En V se define la relación de igualdad R: xRy equivalente a

y=Xx,Á E K,X 5¿= 0.

A los elementos del conjunto cociente V/R se les llama puntos del e. p. Al elemento de V/R que contiene al vector x lo designaremos por [x]. Entre los puntos del e. p. se definen las dos relaciones siguientes:

1) Relación de dependencia lineal (d.l.): Si E es un conjunto de puntos del e. p., se dice que el punto [p] depende linealmente de E (lo que se expresa abreviadamente así: [p] d. 1. E), cuando existen puntos

[al],..., [am]

pertenecientes a E, tales que:

[p]=X1[a1]+ ...+,-[a.];Jli E K,i=1, ..., m

2)Relaciónde linealmente dependientes (1. d.): Se dice que los puntos del conjunto E son linealmente dependientes (abreviadamente: E,1. d.), cuando existen unos puntos

[p1], ...+ [pr]

de E, tales que

X&1]+... + Xr[pr] =0 y no todos los elementos

XI, ..., Ár

de K son cero. Se verifica que E,1. d. en tanto y cuanto exista un punto

[p] E E talque[p]d. l.(E- [p] ).

Al conjunto V/R de todos los puntos del e. p., con la relación de dependencia lineal, se le llama e. p. y lo designaremos por P; esto es

P=(V/R, d1)

Sea Gt(P) el álgebra de Boole de las partes de P. Se define una aplicación L, de (R(P) en 61(P) del siguiente modo:

L(E)=[x] E P 1 [x] d.l. E.

Los conjuntos L(E) se llaman variedades lineales del e. p. Al conjunto de todas las variedades lineales del e. p., esto es, a ¡ni. (L), lo designaremos por X(P). En Z(P) se pueden definir dos operaciones: n, +, del siguiente modo: se llama intersección de dos variedades lineales, Ll y L2 y se designa por

L, n LZ

a la intersección conjuntista de L, y LZ (v. ÁLGEBRA 6). Se verifica que la intersección de dos variedades lineales es otra variedad lineal o el conjunto vacío, por lo que conviene considerar al conjunto vacío como una variedad lineal. Se llama suma de dos variedades lineales Ll y LZ y se designa por

L,+LZ

a la variedad lineal:

L1+LZ= n L L~uL2CL

en donde la intersección está extendida a todas las variedades lineales que contienen a

L, U LZ.

El conjunto X(P) con estas dos operaciones es un retículo modular, complementario y atómico. Las dos operaciones n, +, son las operaciones fundamentales de la Geometría proyectiva y reciben los nombres de: cortar y proyectar, respectivamente. Se llama dimensión del e. p. sobre el e. vectorial V a la dimensión de V disminuida en una unidad.

V. t.: GEOMETRÍA VIII; ÁLGEBRA.

PEDRO ABELLANAS.

BIBL.: E. TORROJA, Geometría; P. ABELLANAS, Geometría básica, 2 ed. Madrid 1967; W. V. D. HODGE y D. PEDRE, Algebraic geometry, Oxford 1948; N. BOURBAxI, Algébre, 11, París 1961.