Espacios Métricos. CIENCIA

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Ciencia

Distancia. Un e. métrico (X, d) es un conjunto X en el que está definida una distancia d. Se dice que en un conjunto X está definida una distancia d cuando a cada par de puntos x, y del conjunto X está asignado un número real, su distancia,

d(x, y)=r,

que es mayor o igual a cero, de modo que se cumplen estas tres propiedades: a)

d(x, y)=0,

si y sólo si, x =y;b) para todo par de puntos x, y de X es

d(x, y)=d(y, x)

(propiedad simétrica de la distancia); c) para tres puntos cualesquiera x, y, z de X se verifica que

d(x, z)

Los ejemplos más importantes de e. métricos son la recta real R, en la que la distancia entre dos números reales x, y de R está dada por el valor absoluto de su diferencia,

d(x, y)= I x-y1

el plano euclídeo

R X R = R2,

y, en general, el e. euclídeo (v. LI) de n dimensiones, Rn, en los que la distancia entre dos puntos x, de coordenadas

XI, xz, . ., xn,

e y, de coordenadas

y1, y2, ..., yn es la distancia euclídea:

d(x,y)= (x1-y1)2+(x2-y2)2+...+(xn-yn)2. Propiedades métricas. Sean (X, d), (Y, d’) dos e. métricos. Una aplicación f de X en Y se llama una isometría cuando f es biyectiva, y para dos puntos cualesquiera x1, x2 de X es

d’(f(x1), f(x2))=d(x1, x2);

es decir, f conserva la distancia.

Los dos e. métricos (X, d), (Y, d’) son entonces equivalentes desde el punto de vista métrico. Por medio de las isometrías se consigue así una clasificación de los e. métricos, en clases formadas por e. equivalentes entre sí. Las propiedades que se conservan por isometrías se llaman propiedades métricas. Así, la distancia es una propiedad métrica.

Topología de un espacio métrico. La importancia grande de los e. métricos (X, d) se deriva del hecho de que por medio de la distancia se puede definir fácilmente una topología (v.) en el conjunto X, y el e. topológico (v. vi) que resulta tiene unas propiedades topológicas que lo hacen un e. cómodo. Muchos de los e. topológicas usados habitualmente son e. métricos.

La idea central para la construcción de la topología de un e. métrico es la de esfera abierta E(p, r) de centro un punto p, y radio un número real r > 0; E(p, r) es el conjunto de todos los puntos de X cuya distancia a p es menor que r. Resulta que el conjunto de todas las esferas abiertas de X son una base de la topología de X.

Son propiedades topológicas de los e. métricos, entre otras, el ser e. separados (T1 y T2), regulares, normales y verificar el primer axioma de numerabilidad. Un e. métrico es compacto si, y sólo si, todo subconjunto infinito tiene algún punto de acumulación. Un e. métrico compacto tiene una base numerable y en él existe un subconjunto numerable que tiene parte común con todo conjunto abierto no vacío.

Propiedades de la estructura uniforme de un espacio métrico. En un e. métrico, además de las propiedades métricas, invariantes por isometrías, y de las topológicas, de proximidad, invariantes por homeomorfismos, se tienen las propiedades uniformes, nacidas de la noción de isomorfismo uniforme, intermedia entre las de isometría y homeomorfismo, y que expresa la idea de "pequeñez". Definen invariantes uniformes el concepto de sucesión de Cauchy y el de e. métrico completo. Una sucesión

XI, x2, ..., x?, ...

en (X, d) es de Cauchy, cuando, dado un número real e > 0, existe un índice i tal que para todo par de índices j, k, mayores que i, es

d(xi, xk) < e.

Un e. métrico es completo cuando toda sucesión de Cauchy es convergente, es decir, tiene límite. Estos e. tienen interés, entre otros motivos, porque al existir límite de toda sucesión de Cauchy, se han podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales en determinadas condiciones.

Espacios normados. Dado un e. vectorial V (v. VII) sobre el cuerpo K de los números reales o complejos, se llama’ norma V a una aplicación (v. CORRESPONDENCIAS) p de V en la recta real R que cumple las siguientes propiedades:

a)

p(x)=0 implica x=0.

b) Para todo x, y pertenecientes a V es p(x + y) < p(x) + P(y).

c) Para todo x de V y a de K es P(.kx) =1 X 1 p(x).

En un e. vectorial normado, es decir, con una norma, se define fácilmente una distancia d a partir de la norma, así:

d(x, y)=p(x- y),

para dos vectores cualesquiera x, y de V. Un e. normado es así un e. métrico. La topología de esta métrica es compatible con la estructura algebraica de e. vectorial, por lo que el e. normado es un e. vectorial topológico. Ejemplos de e. normados completos son los e. de Banach, los de Hilbert y los euroclídeos de dimensión infinita. La estructura de e. normado ha permitido definir topologías en e. de funciones de mucho interés en Análisis matemático.

Espacios metrizables. Es de interés observar que, si bien todo e. métrico es un e. topológico, con la topología definida por la distancia, no todo e. topológico (X, T) es tal que exista una distancia en X que dé lugar a la topología T. Si existe en X tal distancia, el e. topológico (X, T) se dice que es metrizable. El teorema de metrización de Urysohn da las propiedades topológicas que caracterizan estos espacios.

V. t.: ÁLGEBRA; GEOMETRíA; CONJUNTOS, TEORÍA DE.

J. ARREGUI.

BIBL.: N. BoURBAKI, Espaces vectoriels topologiques, cap. 1 y 2, París 1966; íD, Espaces vectoriels topologiques, cap. 3 y 4, París 1967; E. T. COPSON, Metric spaces, Cambridge 1968; G. CROQUET, Topología, Barcelona 1971; J. DIEUDONNÉ, Fundamentos de Análisis moderno, Barcelona 1966; J. L. KELLEY, General Topology, Nueva York 1955; H. J. KowALSKY, Topological spaces, Nueva York 1964; K. KURATOWSKY, Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología, Barcelona 1966; A. P. y W. J. ROBERTSON, Topological vector spaces, Cambridge 1966; W. SIERPINSKI, General Topology, Toronto 1952.