Espacios Matemáticos. Espacios Afines. CIENCIA

Categoria:

Ciencia

Históricamente es anterior la noción de e. a. a la de e. vectorial, pero su exposición se sistematiza mejor si se toma como punto de partida este último (v. vil).

Sea A un e. vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo k, cuyos elementos llamaremos ahora puntos, entre los que definiremos la siguiente relación de dependencia lineal (que es distinta de la dependencia lineal definida en un e. vectorial; por tanto, tenemos dos dependencias sobre el e., según se consideren como puntos o vectores los elementos): dado el conjunto A; de puntos de An, se dice que el punto P depende linealmente deAIcuando se verifica una relación del tipo:

P=l~riAj,Yri=1,Ai E A;,ri E k;

si no existe una relación del tipo anterior se dice que el punto P es linealmente independiente del conjunto AI; se dice que A¡ es un conjunto de puntos linealmente independientes cuando las relaciones

YrjAj=0,Yri=0,Ai E A;,ri E k,

implican que todos los coeficientes, ri, son nulos; se dice que A; es un conjunto de puntos linealmente dependientes cuando existe una relación del tipo,

1r¡Aj=0,!rj=0,A¡ E At,ri, E k,

en que no todos los ri son nulos; estos conceptos están relacionados del modo siguiente: la condición necesaria y suficiente para que A¡ sea un conjunto de puntos linealmente independientes es que cualquier punto, A¡, de A¡, sea linealmente independiente del conjunto de todos los puntos de A; que son distintos de A¡. Existe una estrecha relación entre los conceptos de dependencia lineal de puntos y de vectores que permite incorporar a la teoría de la dependencia lineal de puntos los resultados obtenidos para la dependencia lineal de vectores. Se llama e. a. a un e. vectorial con la estructura dada por la dependencia lineal de puntos. La dependencia lineal de puntos posee las dos propiedades fundamentales siguientes: a) si A¡ C A¡, A; depende linealmente de A¡; b) si el punto A depende linealmente de A¡, y cada uno de los puntos de AJ depende linealmente de un conjunto de puntos, C, A depende linealmente del conjunto de puntos C.

Una variedad lineal de un e. a. es un conjunto, L, de puntos tal que cualquier punto P que depende linealmente de L es un elemento de L. Si L es una variedad lineal del e. a., y P es un punto de L, el conjunto de todos los puntos de la forma P-P;, para P; E L es una variedad lineal del e. vectorial sobre el que está definido el e. a.; esta variedad es independiente del punto P elegido para determinarla y se llama variedad de dirección de la variedad L; una variedad de un e. a. solamente coincide con su variedad de dirección si contiene al punto que corresponde al vector nulo. Se llama dimensión de la variedad L al máximo número de puntos que son linealmente independientes disminuido en una unidad; observemos que el conjunto reducido a un único punto es una variedad lineal y que el conjunto vacío, que no contiene ningún punto, se considera como variedad lineal de dimensión -1; el conjunto de todos los puntos de un e. a. es una variedad lineal cuya dimensión se llama dimensión del e. a.;se deduce de esta definición que las dimensiones de una variedad lineal y de su variedad de dirección son iguales y así, si el e. a. está definido sobre un e. vectorial de dimensión n, la dimensión del e. a. es igual a n.

Si C es un conjunto de puntos y llamamos L(C) al conjunto de todos los puntos que dependen linealmente del conjunto C, L(C) es una variedad lineal, que es la variedad mínima que contiene a C, es decir, si M es una variedad lineal que contiene a C, M contiene a L(C). Si L y L’ son variedades lineales, la intersección (v. ÁLGEBRA 6) en sentido conjuntista de L y L’, L (1 L’, es una variedad lineal que se llama intersección de las variedades L y L’; la suma de dos variedades L y L’ es, por definición, la variedad L(LU L’), en que la unión se toma en sentido conjuntista; de la definición de intersección se deriva la necesidad de considerar al conjunto vacío como variedad lineal, puesto que de no hacerlo así la intersección de variedades no sería en cualquier caso una variedad lineal. Las variedades de dimensión 1 se suelen llamar rectas, las de dimensión 2 planos y las variedades distintas del e. total que tienen dimensión máxima, hiperplanos.

Vamos a referirnos, finalmente, a las relaciones de un e. a. con un e. proyectivo (v. v) de la misma dimensión. Sea P un e. proyectivo de dimensión n sobre el cuerpo k; tomando un sistema de referencia, sus elementos vienen representados por elementos de la forma,

(xo, XI, ..., xn),

en que

xi C k.

y en que

(xo, XI, ..., xn)=(y0, yv ..., yn) cuando, y solamente cuando,

xi=ryi,

para todo i y para un r E k fijo; si H es el hiperplano,

Xo=0,

de P, y se considera la aplicación (v. CORRESPONDENCIAS) del conjunto de los puntos que pertenecen a P y no pertenecen a H, determinada porque al punto

(x0, XI, - ., xn)

le hace corresponder el punto del e. a. determinado por el vector cuyas componentes respecto a una base fija son

(XIIxo, xz/xo, ..., X11/X0),

la correspondencia es biunívoca y a puntos independientes o dependientes del e. proyectivo corresponden puntos independientes o dependientes, respectivamente, del e. a. Esto permite considerar un e. a. de dimensión n como un subespacio de un e. proyectivo de dimensión n.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: P. ABELLANAS. Geometría básica, Madrid 1961.