Espacios Fibrados. CIENCIA

Categoria:

Ciencia

El concepto matemático de e. fibrado se elaboró por los años 30 de este siglo y ha tomado gran interés por sus aplicaciones a la Geometría diferencial, pues, en condiciones muy amplias, la variedad tangente a una variedad diferenciable tiene estructura de tal espacio. En 1951 se publica la obra de N. Steenrod The topology of fibre bundle (La topología del haz fibrado), que es una primera exposición sistemática de esta materia.

Han aparecido varias definiciones, no equivalentes, de lo que es un fibrado, justificadas en cada caso por una mayor utilidad en su aplicación a determinados problemas. Pero, en esencia, una estructura de fibrado (B consiste en: 1) un e. topológico B (v. vi), que es el e. del fibrado; 2) un e. topológico X que es el e. base del fibrado; 3) una aplicación continua

p :B > X,

llamada proyección del fibrado, y 4) un e. topológico Y, que es el e. fibra, y es homeomorfo a cada uno de los espacios p-’(x), la fibra en el punto x de X.

Un caso particular de mucho interés en Geometría y en Topología diferenciales es el de fibrado vectorial, en el que, esencialmente, se tiene además una estructura de e. vectorial topológico en cada fibra.

Aplicaciones de la estructura de fibrado. Gran parte de la utilidad de la estructura de fibrado radica en este modo de relacionar varios e. topológicos por medio de aplicaciones continuas y homeomorfismos, tal como se aprecia en la definición; de esta manera quedan relacionados entre sí invariantes topológicos de varios e., y se hace posible entonces, en determinadas situaciones, calcular invariantes topológicos de unos e. en función de los de otros, ya conocidos. Un ejemplo importante de esto viene dado por la sucesión de homotopía de un fibrado, que relaciona los grupos de homotopía del e. fibrado, los del e. base, y los del e. fibra en un punto x de la base. Con ello se ha podido, p. ej., calcular grupos de homotopía de algunas esferas n-dimensionales. Utilizando una técnica análoga, considerando fibrados con grupos clásicos como fibra, se pueden calcular grupos de homotopía de grupos clásicos, y también de variedades de Stiefel (v. GRUPOS, TEORÍA DE).

Secciones transversales. Una noción de gran interés para el estudio y las aplicaciones de los e. fibrados es la de sección transversal: Si

p: B-->X

es un fibrado, una sección transversal es una aplicación continua

s: X>B,

tal que la composición

p.S: X>X

es la identidad en X. En el caso en que B es el e. producto X X Y, y p la proyección

p: XXY>X,

una sección transversal es una aplicación (v. CORRESPONDENCIAS) continua de X en Y. De este modo, los problemas de existencia, extensión y clasificación homotópica de secciones transversales en el fibrado son problemas de existencia, extensión y clasificación de aplicaciones continuas de X en Y, cuestiones de gran interés en Topología. En el caso en que X es una variedad diferenciable, y

p:BXX

un fibrado tensorial sobre X, una sección transversal de este fibrado es un campo tensorial sobre la variedad: el estudio de la existencia de secciones transversales conduce en este caso a resultados importantes de la teoría de variedades diferenciables. El estudio sobre la posibilidad de extender secciones transversales, analizando la obstrucción que se presenta a esta extensión, ha llevado a la teoría de clases características de fibrados, desarrollada por Whitney, Stiefel, Chern y Pontrjagin, y posteriormente por Hirzebruch y Grothendieck.

Una reciente aplicación de la teoría de fibrados es la llamada K-teoría, desarrollada por Atiyah y Hirzebruch, que consiste en una teoría de cohomología generalizada, definida usando clases de estabilidad de fibrados vectoriales.

V. t.: VI; ÁLGEBRA;CORRESPONDENCIAS.

J. ARREGUI.

BIBL.: M. ATIYAH, K-theory, Nueva York 1967; D. HUSEMOLLER, Fibre bundles, Nueva York 1966; J. MILNOR, The theory of characteristic clases, Princeton 1957; J. T. SCHWARTZ, Differential Geometry and Topology, Nueva York 1968; N. STEENROD, The topology of libre bundle, Princeton 1951; G. W. WHITEHEAD, Homotopy theory, ed. Inst. Tecnológico de Massachusetts 1966.