Espacios Euclideo, Eliptico E Hiperbólico. CIENCIA

Categoria:

Ciencia

Para poder adoptar cómodamente un punto de partida común para los e. euclídeo, elíptico e hiperbólico, conviene partir del e. euclídeo considerado como subespacio de un e. proyectivo (v. v), interpretando proyectivamente las relaciones de perpendicularidad; esta interpretación lleva de manera natural a considerar otras posibilidades de definición de la perpendicularidad, y dos de ellas dan lugar a los e. elíptico e hiperbólico, distintos del e. euclídeo, a los cuales se pueden adaptar una parte de los resultados clásicos de la Geometría euclídea (v. GEOMErRíA vi). Desde un punto de vista abstracto, el carácter real de estos e. es el mismo, aunque por presentarse en la vida ordinaria unas condiciones experimentales más próximas al e. euclídeo, desde un punto de vista superficial parezca éste el más natural de los e. Daremos por supuestos los conceptos generales expresados en Geometría euclídea.

Si Pn es un e. proyectivo definido sobre el cuerpo (v. ÁLGEBRA) de los números reales, existe una correspondencia (v.) biunívoca entre los hiperplanos de Pn y las ecuaciones del tipo

(UOXO+ U IXI + . .. -F u,Xn) = 0

siendo p un factor de proporcionalidad arbitrario distinto de cero, y si asignamos a cada hiperplano del e. proyectivo el punto de un e. proyectivo definido sobre el mismo cuerpo cuyas coordenadas respecto a un sistema de referencia fijo son

(a0, u I, .., un),

es decir, los coeficientes que determinan las ecuaciones del hiperplano, el e. proyectivo así definido se llama e. dual del e. dado. Existe una correspondencia biunívoca entre las variedades lineales de un e. proyectivo y las variedades lineales de su e. dual, correspondencia en la que a intersección de variedades lineales corresponde suma de variedades lineales, y a suma de variedades lineales corresponde intersección de variedades lineales. Las formas cuadráticas o hipercuádricas del e. dual se llaman formas cuadráticas o hipercuádricas del e. dado. Dada la cuádrica del espacio dual

f(u, v)=0

y la variedad lineal U, se llama variedad polar de U, respecto de f, a la variedad lugar de todos los puntos representados por las ecuaciones

f(u, v)=0

cuando v recorre todos los hiperplanos de U. La variedad U’ se llama conjugada con la variedad U respecto de la cuádrica f, cuando la dimensión de la intersección de U con la variedad polar de U’ es igual a la dimensión de U menos uno.

Consideremos en el e. proyectivo P? la forma cuadrática dual definida por la ecuación

0. uó+u¡+... +u,2,=0,

que se llama absoluto del e. euclídeo n-dimensional. Si U y U’ son variedades lineales del e. proyectivo Ptt que no están contenidas en el hiperplano impropio

Xo=0

(en cuyo caso no pertenecerían al e. euclídeo, que está constituido por los puntos del e. proyectivo no contenidos en el hiperplano impropio), la condición necesaria y suficiente para que las variedades U y U’ sean ortogonales es que U y U’ sean variedades lineales conjugadas con respecto al absoluto; con esto queda expresada la ortogonalidad en términos de e. proyectivo. En el caso de dimensión 2, el absoluto es la forma cuadrática,

u¡+uZ=0,

que es una forma cuadrática reducible la cual está formada por todas las rectas que pasan por uno de los puntos imaginarios (0, 1, i) y (0, 1, -i), que se suelen llamar puntos isótropos. En el caso de dimensión 3 el absoluto desempeña un papel importante en el estudio de las propiedades métricas de las formas cuadráticas, puesto que la forma cuadrática impropia de una forma es una cónica (v.) del plano impropio; sus relaciones con la cónica

XI+XI+X3=0

(que interviene fundamentalmente en la definición del absoluto) dan una gran parte de las propiedades métricas de la forma cuadrática considerada. (Las relaciones del absoluto con las transformaciones propias del e. euclídeo pueden verse en la VOZ TRANSFORMACIÓN). De la consideración del absoluto como base de definición de la relación de perpendicularidad, surge la posibilidad de definir otros e. variando la forma cuadrática que define el absoluto.

En el e. hiperbólico se toma como absoluto la hipercuádrica

la hipercuádrica,

Xó+X¡+...+X2_I-X,2,=O

divide al e. proyectivo (excluidos los puntos de la hipercuádrica) en dos regiones: interior y exterior. La región interior está formada por aquellos puntos que poseen un hiperplano polar con respecto a esta forma cuádrica que no tiene ningún punto en común con ella; los puntos de la región exterior son aquellos cuyos hiperplanos polares poseen puntos en común con la hipercuádrica; los puntos de la hipercuádrica se llaman puntos impropios o puntos del infinito. El e. hiperbólico está formado por los puntos de la región interior. Se dice que dos rectas son paralelas cuando su intersección es un punto impropio y que son no secantes cuando no tienen ningún punto en común o se cortan en un punto exterior. Resulta de esta definición que por un punto exterior a una recta se pueden trazar dos rectas paralelas (pues toda recta que tiene puntos interiores corta en dos puntos a la hipercuádrica), infinitas secantes e infinitas no secantes, todas ellas contenidas en el plano definido por el punto y la recta. Se consideran como variedades del e. hiperbólico a las intersecciones de las variedades lineales del e. proyectivo con la región interior. Se dice que dos variedades son ortogonales cuando son conjugadas con respecto al absoluto. Por un punto cualquiera del e. hiperbólico pasa un hiperplano perpendicular a una recta dada.

En el e. elíptico se toma como absoluto la hipercuádrica,

uó+u; +... +uñ=0;

esta hipercuádrica es irreducible y no posee puntos en el e. proyectivo real. Los puntos y las variedades del e. elíptico son los mismos que en el e. proyectivo sobre el que está definido. Dos variedades son ortogonales cuando son conjugadas respecto al absoluto. No existen variedades paralelas y, en concreto, por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela. Un ejemplo típico de e. elípticos lo constituyen las radiaciones de los e. euclídeos. Si L es una variedad lineal de un e. euclídeo, se llama radiación de base L al e. cuyos puntos son las variedades, L;, del e. euclídeo tales que

L; D L,dim. L;=dim. L+1(dim.=dimensión).

Las variedades lineales de la radiación están constituidas por todos aquellos puntos de la radiación que como variedades lineales del e. euclídeo están contenidos en una variedad lineal del e. euclídeo que contiene a L; con estas definiciones existe una correspondencia biunívoca entre las variedades lineales del e. euclídeo que contienen a L y las variedades lineales de la radiación, y esta correspondencia conserva la relación de inclusión entre variedades, la intersección y la suma de variedades lineales. Si se define la perpendicularidad de variedades de la radiación mediante la perpendicularidad de estas variedades en el e. euclídeo, se puede demostrar que la radiación es e. elíptico, en el sentido de que existe un e. elíptico y una correspondencia biunívoca entre sus puntos y los puntos de la radiación, de modo que transforma (de manera biunívoca) las variedades del e. elíptico en las variedades de la radiación y que la condición necesaria y suficiente para que dos variedades del e. elíptico sean perpendiculares es que lo sean sus variedades correspondientes en la radiación.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: P. ABELLANAS, Geometría básica, Madrid 1961.