Curvas EDUC.

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Educación

Noción de curva. Curvas planas. El concepto intuitivo de c. es vago. Para ser introducido en el lenguaje de la Matemática con el rigor que ésta implica, exige darle un sentido bien determinado. Ya en los Elementos de Euclides (libro 1, definición 2) se trata de precisar en términos lógicos el concepto de línea. En él aparecen expresiones como "longitud sin espesor", "borde de una superficie" o "trayectoria de un móvil" que, por supuesto, no son suficientes. Es en el s. xvii cuando se introduce la noción de función (v.) y se la precisa con una gran diversidad de formas. La noción de "curva cualquiera" aparece a menudo, pero sin precisión; probablemente se concibe bajo forma cinemática o todo lo más, experimental, sin que por ello se crea necesario que una c. sea capaz de una caracterización analítica o geométrica que permita servir de objeto a los razonamientos. Así proceden entre otros Cavalieri, Pascal y Barrow; en particular este último, cuando razona sobre la c. definida por

x=kt, y=f(t),

junto con la hipótesis de que la derivada f’(t) sea creciente, dice expresamente que "no importa en absoluto que f’(t) crezca con regularidad siguiendo una ley cualquiera, o bien irregularmente"; lo que con lenguaje actual diríamos "sea susceptible o no de una definición analítica". Por desgracia, esta noción clara y fecunda, que una vez bien precisada habría de reaparecer en el s. xix, no pudo en su época prevalecer contra la confusión originada por Descartes, quien, en primer lugar, eliminó de la Geometría todas las c. no susceptibles de una definición analítica, y, en segundo lugar, se limitó únicamente a las operaciones algebraicas como medios de formación admisibles en una tal definición. Pese a su gran influencia, la mayor parte de los matemáticos coetáneos le abandonaron en este último punto y admitieron diversas operaciones trascendentes, como el logaritmo, la exponencial, las funciones trigonométricas, etc.

Los conceptos de línea y función se han desarrollado en paralelo desde que Descartes en su Geometría los puso en correspondencia (v.) por medio de la establecida entre los pares de números reales y los puntos del plano. Leibniz afirma que también deben ser objeto de la Geometría algunas c. trascendentes, como la cicloide. En 1879 K. Weierstrass afirma que líneas analíticas son aquellas cuyos puntos tienen por coordenadas x e y, funciones analíticas de un parámetro t; es decir,

x=f(t), y= g(t),

donde f y g son dos series (v.) convergentes. Prosiguiendo el camino iniciado por Weierstrass, los miembros de su escuela formulan la siguiente definición: Línea plana es el lugar de puntos determinados por dos funciones continuas

x=f(t), y=g(t),

definidas en un intervalo; o a la manera geométrica de Hurewicz: C. plana es un conjunto de puntos en correspondencia continua con los de un segmento. Con este concepto general aparecen las llamadas c. de Peano y de Hilbert que llenan un área plana; otras que carecen de tangente en todo punto, pese a ser continuas, lo que intuitivamente es inimaginable; y, por último, otras sin parecido alguno con la noción ingenua (trayectoria engendrada por un punto móvil), lo que obliga a disminuir la generalidad para acercarse nuevamente a la noción intuitiva.

Cantor, en 1883, limitándose a las líneas planas, las define como "un conjunto continuo de puntos de plano sin puntos interiores", logrando con ello la traducción lógica de la idea de Euclides ("línea es longitud sin anchura"). Pese a todo, aún comprende líneas que no encajan en la noción vulgar, como, p. ej.: la formada por los cuatro lados de un cuadrado, de longitud igual a la unidad, y los segmentos de igual longitud contenidos en él y trazados paralelamente al eje OY por los puntos del eje OX de abscisas racionales cuyos denominadores sean una potencia de dos, los cuales dividen al cuadrado en infinitos rectángulos que intuitivamente parece que llenan el cuadrado. Jordan, en 1893, inspirado quizá en la noción física del movimiento de un punto respecto a un sistema de coordenadas, define las líneas (o arcos de ellas) como conjuntos de puntos en correspondencia biunívoca y continua con los puntos de un segmento. El haber impuesto la condición de biunivocidad, además de la de continuidad, evita el que estas c. puedan llenar un área plana, como las de Peano, gracias al carácter invariante del número de dimensiones del espacio, demostrado por Brouwer y los Lebesgue (1911), cuestión clave para la Matemática, puesto que si existiesen c. de Jordan como las de Peano se reduciría el estudio de los espacios de cualquier número de dimensiones al de los de una sola dimensión, y el de las funciones de cualquier número de variables independientes, a las de una sola variable. Pese a ser ya muy restringidas las condiciones impuestas a las c. de Jordan, todavía pueden presentar una estructura de difícil concepción intuitiva (tal sucede con las c. abierta y cerrada de Helge von Koch: Sur une courve continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire, "Acta mathematicae" 30 (1906) 145-174).

De acuerdo con la última definición, las c. de Jordan pueden carecer de tangentes; para superar esta deficiencia se introduce el concepto de c. regular. Una c. de Jordan se llama regular, si las funciones

x=f(t), y=g(t)

que la definen poseen derivadas continuas no simultáneamente nulas para todos los valores de t pertenecientes al intervalo de definición, excepto a lo sumo en un número finito de puntos; si una c. no fuese regular en todo el intervalo de definición, pero se pudiera descomponer éste en intervalos parciales en número finito, a cuyos valores de t correspondiesen arcos regulares de la c., ésta se llamaría regular a trozos. Además, se exige a dichas funciones que sean continuas, derivables y monótonas por secciones, llamando función monótona la que no tiene dentro del intervalo de existencia ningún máximo ni mínimo. Una función es monótona por secciones cuando, tanto ella como sus transformadas mediante cualquier sustitución lineal, únicamente poseen un número finito de máximos y mínimos. Éstas son las llamadas por P. du Bois-Reymond funciones ordinarias. Por último, si cada una de las funciones que definen una c. de Jordan es desarrollable en serie de Taylor (V. TAYLOR, TEOREMA DE) convergente en un entorno de todo punto t del intervalo de definición, estas c. se llaman analíticas en dicho intervalo.

Con lenguaje moderno, siendo E2 un plano euclídeo, V2 el plano vectorial asociado y

(0; CI, e2)

un sistema de referencia métrico de E2 con

el ’ el=sií(i, 1=1, 2),

sea x(t) una aplicación biunívoca y diferenciable de un intervalo I(t) en V2. A todo t del intervalo I se le asocia el punto X de E2 tal que

OX= x(t).

Al conjunto de todos los puntos X así hallados se le llama arco de c. plana. Se llama c. plana a todo conjunto de puntos del plano que sea unión de un número finito de arcos de c. y de sus puntos de acumulación (v. TOPOLOGíA). Un caso particular de expresión paramétrica de una c. son las ecuaciones explícitas:

x2=f(XI),

que corresponden a la representación paramétrica x1=t, x2=f(t).

Curvas alabeadas en el espacio euclídeo. Sea x=x(t) una aplicación biunívoca de un intervalo I de la recta real en un espacio vectorial euclídeo tridimensional. Se supone que x(t) tiene derivadas terceras continuas. Sea E3 el espacio euclídeo asociado al vectorial y

(O; e,, e2, e3)

un sistema de referencia métrico de E3. A cada vector x(t) se le asocia, respecto del origen O, un punto X(t) de E3. Al lugar de todos estos puntos se le llama arco de curva de E3.

V. t.: ESPACIOS MATEMÁTICOS; CORRESPONDENCIAS (MATEMÁTICAS).

G. GARCÍA LÓPEZ DE HEREDIA.

BIBL.: P. ABELLANAs, Geometría básica, Madrid 1961; R. J. WALKER, Algebraic curves, Princeton (N.J.) 1950; F. SEVERI, Lecciones de análisis, I y II, Barcelona 1951; J. REY PASTOR, Introducción a la Matemática superior, Madrid 1916; ¡D, Fundamentos de la Geometría proyectiva superior, Madrid 1916; F. NAVARRO BORRÁS y S. Ríos, Curso preliminar -de q análisis matemático, Madrid 1947; J. REY PASTOR, A. SANTALV y M. BALANZAT, Geometría analítica, Buenos Aires 1955; E. RODRIGÁÑEZ, Geometría analítica y análisis vectorial, Madrid 1947; W. V. D. HODGE y D. PEDOE, Methods of Algebraic Geometry, Cambridge 1947; J. G. SEMPLE y L. ROTH, lntroduction to Algebraic Geometry, Oxford 1949.