Aritmética HIST.

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Historia

En el estado actual de la Matemática no puede hacerse una separación rigurosa entre ramas tales como el Álgebra, la Combinatoria e incluso otras; por ello en este bosquejo histórico aparecerán involucradas casi la totalidad de las disciplinas que componen la ciencia matemática.

En sentido estricto podría definirse la A. como la teoría matemática de los números naturales (1, 2, 3, ...) a cuyo conjunto se representa por N. En sentido amplio, como a teoría matemática que se ocupa de los naturales, de los enteros relativos (positivos y negativos) que se representan por Z, de los racionales que se representan por Q, de los reales representados por R, y, finalmente, de los complejos que se representan por C.

Los sistemas de numeración. Existe evidencia histórica de que hubo una Matemática muy evolucionada antes de la griega. Son hitos importantes en la evolución de la A. la aparición de los diversos sistemas de numeración. Conviene distinguir claramente la diferencia existente entre los números enteros (como nociones) y los símbolos usados para representarlos. La forma más frecuente de representación se reduce a descomponer los enteros en sumas de unidades sucesivas UI,u2,.... u?,... en las que cada una es múltiplo de la anterior. En el caso en que u? : u?_I es constantemente igual a un número fijo b, éste recibe el nombre de base del sistema. Se observan excepciones a esta práctica entre los sistemas empleados por los babilonios y los mayas. Además, la representación debe indicar el número de unidades uI de orden i. En los sistemas egipcio, griego y romano los múltiplos sucesivos c - u¡ (con c tomando valores comprendidos entre 1 y (u; +1: u;)-1) se representan por símbolos que dependen de c y de i. La base más frecuente es la decimal, que utiliza los números llamados dígitos (nombre derivado de los dedos de la mano) y cuyos símbolos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

El primer progreso consistió en representar todos los números c. ui (para igual c) por el mismo símbolo; es el principio de numeración por posición relativa. El índice i señala que el símbolo de c. u¡ se halla en el i-ésimo lugar de la serie de cifras que representan el número. Fue en Babilonia 2000 años a. C. donde primero apareció un tal sistema, pero adolecía de un grave defecto, la falta del cero, lo que motivaba ambigüedad por carecer de una señal que advirtiese que unidades de un determinado orden podían no existir. Pero dos siglos antes de Cristo los propios babilonios introducen el cero como cifra. Otros sistemas que lo emplean de forma sistemática son el de los mayas (al comienzo de nuestra Era) y el sistema decimal actual, que a través de los árabes procede de la matemática hindú, en la que el uso de dicho sistema desde los primeros siglos de nuestra Era está demostrado.

El sistema de numeración de base 2, con sólo dos cifras, 0 y 1, es el más sencillo; Leibniz lo defendió apasionadamente. Como los circuitos electrónicos están especialmente adaptados a la resolución de cálculos en sistema binario, los ordenadores electrónicos actuales de alta velocidad están diseñados para trabajar en este sistema.

Las Edades Antigua y Media. Las operaciones aritméticas elementales y el cálculo con fracciones, dieron lugar, sin duda, a conocimientos empíricos sobre la divisibilidad entre los números enteros. Ahora bien, los babilonios (conocedores del Álgebra) y los egipcios, que conocían un cálculo fraccionario muy artificioso, no hallaron propiedades generales sobre tales cuestiones. Este mérito corresponde a la Matemática griega: teoría del máximo común divisor de dos enteros, algoritmo de Euclides (Libros VII y IX de los Elementos) e incluso el teorema sobre la infinidad de los números primos. En cuanto a la unicidad de la descomposición de un número entero en producto de números primos, aunque Euclides no llegó a enunciarlo como un teorema general, fue, sin duda, por la falta de una notación adecuada. Por otra parte fue la Escuela Pitagórica la que demostró la, irracionalidad de J2, anticipo de la noción moderna de número real. También los griegos poseyeron métodos de aproximación indefinida de las raíces cuadradas (basta recordar el método de Arquímedes para el cálculo de a) y la aproximación de 2 por fracciones continuas en forma geométrica aparece en un texto de Zeón de Esmirna (dos siglos después de Cristo). Parece que fue Diofanto el primero en ocuparse del problema de las ecuaciones "diofánticas" o sistemas de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros, de los que sólo se buscan las soluciones enteras. Realmente el estudio de las soluciones enteras de las ecuaciones indeterminadas se llevó a cabo por los matemáticos medievales chinos e hindúes. A los primeros se debe una regla de resolución de congruencias lineales simultáneas y a los chinos la de los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales, y son también los primeros en abordar y resolver problemas de segundo grado, algunos de los cuales son casos particulares de la ecuación de Fermat.

Los tiempos modernos. F. Vieta (1540-1603) con su cálculo literal, aunque imperfecto, supuso un gran avance. Son fundamentalmente P. Fermat, L. Euler, M. J. Lagrange y K. F. Gauss quienes dan un paso gigantesco en el desarrollo de la A. que desemboca en el s. xix. A Gauss sus problemas aritméticos le fuerzan a la resolución de ecuaciones que le obligan, a su pesar, a introducir los números complejos, lo que, a su vez, exige la demostración del llamado teorema fundamental del Álgebra en donde aparecen nociones íntimamente ligadas con la de número. Si los números son el objeto de la A., los cuerpos que aparecen por ampliaciones sucesivas poseen sus características propias. Es a fines del s. xix cuando, al estudiar la fundamentación de la Matemática, aparece la A. axiomatizada de G. Peano, con la que se pretende cimentar toda la Matemática. La aparición de G. F. Cantor, con su teoría de conjuntos, invierte los papeles y es entonces ésta el fundamento tan ansiosamente buscado (pese a sus paradojas pronto aparecidas y a los defectos intrínsecos que tenía). Son D. Hilbert (v.) y los matemáticos de su escuela los que mayor aportación hacen a esta teoría que desemboca en la llamada Metamatemática que, por cierto, es condenada en forma definitiva, al menos .tal y como la entendía Hilbert, por el matemático vienés K. GSdel (v.), quien, con su teorema, no cierra totalmente la puerta a los intentos de demostración de no contradicción, aunque sí obliga a abandonar las restricciones en torno a los procedimientos finitos. Gentzen, en 1936, consigue demostrar la no contradicción de la A. formalizada, empleando de forma intuitiva la inducción transfinita hasta el ordinal numerable Eo. El valor de certidumbre atribuible a tal razonamiento es, en esencia, un problema de psicología personal para cada matemático.

GONZALO G. LÓPEZ DE HEREDIA.

BIBL.: D. J. STRUIK, A concise History of Mathematics, Nueva York 1949; N. BOURBAKI, Elementa d’Histoire des Mathématiques, París 1969; L. Ca. KARPINSKI, The history of arithmetics, Chicago 1925; J. REY PASTOR y J. BABINI, Historia de la Matemática, Buenos Aires 1951; F. VERA, Breve historia de la Matemática, Buenos Aires 1946.