Aritmética

Categoria:

Matemáticas

Supuestos de este artículo. Razones de espacio nos exigen suprimir demostraciones, muchas definiciones y su articulación lógica. Para consulta del simbolismo empleado, v. LÓGICA.

Suponemos conceptos básicos de conjuntos (v.). Éstos se designan con letras mayúsculas. Al es el sistema de subconjuntos de A. x 1 p(x) es el conjunto de las x que verifican a la función proposicional p(x).

Números cardinales. La Aritmética cardinal trata de los números cardinales. Éstos responden a la pregunta ¿cuántos? Hay casos en que no tiene contestación; así: ¿cuántos super-conjuntos tiene un conjunto?; ¿cuántos supergrupos tiene un grupo?, etc.

[Al = IBIsignifica: existe correspondencia (v.) bi-uni-voca entre A y B.

[Al IBI que tiene solución la función proposicional (X S;; B) A (¡XI=IAI).

(JAI < ¡Al) ==> (¡Al =IBI) (Teorema de Cantor-Bernstein). ¡Al < IBIsignifica: (¡Al S IBI) A -, (IBI S A). ¡Al < IAII (Desigualdad de Cantor). (JAI < IBI) V (IAI =IBI) V (IBI < IAI) (Tricotomía de números cardinales).

(Al=) es la estructura de clasificación de Al por IXI =JY1. La relación IXI < IZ1 se conserva al recorrer las clases. Las clases de (Al=) quedan totalmente ordenadas por sus cardinales. Es una buena ordenación.

Por la tricotomía, los cardinales de las clases de (Al=) agotan los

A es finito en cualquiera de estos casos: a) Si (XCA)A (IXI=IAI)

no tiene solución (Dedekind); b) Si hay un orden total (A

(IXI < ¡Al) A (A finito)(X finito);

(IAI < IXI) A (A infinito)(X infinito);

A finitoAl finito.

¿Hay solución para JAJ < IXI < JAIl? Este problema general del continuo se refiere a la sucesión completa de cardinales < JAI, no a una parcial, que podría ser isomorfa a la completa, por lo que sería uno de los modelos para los axiomas que definen el tipo ordinal de la sucesión.

Números ordinales. La forma temporal de nuestro pensamiento nos obliga a pensar los objetos uno a uno y que el considerádo venga tras los ya pensados. Y se sigue de esto que todo semi-rayo final, no vacío, tiene ínfimo, que es la propiedad definidora del buen-orden. Los tipos t(M < bn) de buena-ordenación tienen propiedades análogas a las de los números cardinales.

Para dos tipos de orden total, escribimos t(M

cuando existan dos proyectores (p, w’) entre M y M’, que verifiquen

(,P-I=0 A (0-I= -P) A

A ((a < b) =:> (acp <’ b~p)) A ((a’<’ b7 ==> (a ’¡P < b’q)). Escribimos

t (M

(X s M’) A (t(X <’)=t(M < t(M’<’) equivale a

(t(M < t(M’ <)).

La implicación siguiente es lógicamente isomorfa al teorema de Cantor-Bernstein:

(t(M <bo)1<bo)1<bu))

=:> (t(M <bo))?

Zermelo demostró esta tricotomía, lógicamente isomorfa a la de los números cardinales:

(t(M < t(N

V (t(N < t(M <bo))?

Ponemos

m=xl x

(a E M) A (b E M) A (a (t(a < t(b <bo))?

O sea: Al recorrer m, en sentido creciente, una buena-ordenación, los tipos ordinales,

t(n2 <bo),

de los semi-rayos iniciales, crecen. (Teorema del escalonamiento.)

En consecuencia, el tipo

t(m <bo),

determina el puesto de m en (M

La tricotomía implica el siguiente teorema de completitud ordinal:

(t(A < t(M <bo))

tiene solución (x E M) A (t(A

O sea: las secciones iniciales de una buena-ordenación (M <bo).

Cada ordinal a determina un cardinal ¡al, el común a todos los conjuntos M que verifiquen

t(M

(a < P) => (lal <¡,el).

Si k designa un número cardinal, la ecuación Jel=k tiene solución única, precisamente si k fuera finito. Si fuera infinito, hay infinitos ordinales que la cumplen. Por tanto, los ordinales y cardinales finitos, se determinan mutuamente. Por esto, la teoría de los números naturales admite dos desarrollos lógicamente equivalentes: el cardinal y el ordinal.

El primer ordinal transfinito de Cantor, el co, es el de una buena-ordenación con estas propiedades determinativas: a) no tiene supremo; b) todo semi-rayo inicial, ni vacío ni completo, tiene supremo.

Los cardinales de los ordinales menores que W, agotan los cardinales finitos.

Los cardinales aleph se definen recursivamente: ido=1W1, 3~i=I1~1=meoI, ~fiZ=I1~1=~i1,...,~~,_ o,Z "Todo conjunto admite una buena-ordenación (Zermelo). En consecuencia: Todo cardinal transfinito es un aleph. Los semi-rayos iniciales de alephs son sistemas completos de cardinales transfinitos, no mayores que el determinante.

Signos numéricos finitos. Para los números finitos, el problema onomástico, que es fundamental, tiene una solución insuperable: la decimal.

Hay un "alfabeto", finito y ordenado, de signos atómicos, cuya formación no es sistemática: las cifras. Ciertas sucesiones finitas, "palabras" de cifras, nombran inequívocamente a los números. La formación de estas palabras es sistemática: una regla define las operaciones a que debe someterse un signo numérico, para producir el siguiente.

Es insostenible contar entre los "indefinibles" al operador secuencial. Si todos sabemos formar el siguiente, ¿podría ello acontecer si no estuviera definido? He aquí la definición:’

a) Aplicado el * a cada cifra, produce la siguiente en el orden circular progresivo. Así, p. ej., en el pentádico: 0*=1, 1*=2, 2*=3, 3*=4, 4*=0.

b) El operador secuencial w, aplicado a una "palabra" de cifras, aplica el asterisco al grupo final (si lo hubiera) formado por la última cifra del "alfabeto", y a la inmediata precedente, que se supone cero si no la hubiera. Así, p. ej., en el pentádico:

31244cp=312*4*4*=31300, 314=312*=313, 44

Podríamos dar esta definición del número natural, puramente formal: Es toda "palabra" escrita con un "alfabeto" finito y ordenado de cifras, que aparezca aplicando al cero la operación secuencial, y reiterándola sobre los signos así formados.

Resulta extraño que no se haya suscitado duda sobre este enunciado físico: Los signos numéricos son todos diferentes. Nadie lo demostró jamás.

Tampoco se ha demostrado que largas "palabras" de cifras, no iniciadas en cero, p. ej.: 458.975.729.004.730.649.360.102.651.114, aparezcan en el proceso numerativo. Por extraño que parezca, cabría dudar se trate de números naturales; o sea, objetos que verifiquen la definición formal.

Si éstos, y otros hechos físicos, son verdaderos, los implica físicamente la regla física de formación enunciada. Cabe decir que es su "causa" física.

El operador secuencial es un operador generativo; por tanto, deductivo. Los números naturales son los signos que integran el conjunto secuencialmente cerrado 0 ~, edificado sobre el 0. Si

0 1 10

~ 11100101110

00 01~ 111 1000 1001 ... 000 001 010 011

Los sistemas decimales de numeración tienen dos fallos: a) la formación arbitraria de los signos alfabéticos. Ésta se reduce a lo mínimo en el diádico; b) que algunas "palabras" exigen tantas (o más) cifras que elementos tiene el conjunto finito designado. Así, designando con (n) el número de cifras del signo n, tenemos en el diádico:

n 0 1 10 11 100 101 110 111 1000

(n) ~ 1 ~ 11010 11111111100... También estamos convencidos de este hecho físico: A partir del 11, n > (n).

Hay que considerar mal nombrados a los números 0, 1, 10. Los restantes están bien nombrados.

El problema onomástico para números cardinales y ordinales. El orden aritmético creciente de los números cardinales es un buen-orden. Por eso, el problema de nombrarlos se reduce al de los ordinales. Las condiciones de una onomástica ordinal sistemática, parecen ser las siguientes:

a) Que los signos numerales sean "palabras" bienordenadas de signos atómicos, y que el tipo ordinal (n) de la "palabra" n, sea menor que n.

b) Que el orden cronológico de formación sea un buen-orden.

c) Que la formación del siguiente sea recursiva, esto es: 1) Que el signo siguiente a uno ya formado, se obtenga mediante una manipulación bien definida, y fija, ejecutada sobre dicho signo. 2) Que el signo siguiente a una sucesión sin supremo, de signos ya construidos, se obtenga mediante una manipulación, bien definida y fija, ejecutada sobre dicha sucesión.

Las dificultades parecen ser las siguientes:

1) En ciertas etapas, el tipo ordinal de la "palabra" formada, coincide con el número ordinal que se intenta

nombrar. Parece que esto exigiría introducir una "cifra" nueva, situación isomorfa a la que, en un sistema deductivo, se produce, al añadir una proposición consistente con las del sistema ya obtenido, pero que no se deduce de ellas.

Se podría intentar la formación sistemática de la nueva "cifra", a partir de las "palabras" anteriores; p. ej., encerrando a la primera entre paréntesis. Pero este proceso no se podría aplicar, si ya se habían encerrado entre paréntesis todas las ya formadas. Entonces no habría más remedio que introducir un signo atómico de formación arbitraria.

2) Que el ordinal de la sucesión de signos atómicos arbitrarios ya utilizados, coincidiera con el del tipo ordinal que se intenta nombrar.

Problema difícil parece éste: Determinar el tipo ordinal de la sección inicial completa de los números ordinales nombrados por cada sistema onomástico. El decimal, p. ej., alcanza a todos los ordinales finitos.

Problema especial, sumamente interesante, sería definir (si se puede) un sistema onomástico para todos los números ordinales de cardinal 0o. V. t.: ÁLGEBRA; NÚMERO I, 2.

N. CUESTA DUTARI.

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