Análisis Matemático II

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Matemáticas

ANÁLISIS FUNCIONAL. Se designa así el capítulo del a. dedicado al estudio de los conjuntos o espacios funcionales, es decir, aquellos cuyos elementos son funciones (v.) numéricas o, en general, aplicaciones de un conjunto en otro. De desarrollo reciente, se puede considerar al cálculo de variaciones como antecedente histórico, pues esta parte fue estudiada en primer lugar. Otros capítulos de a. funcional son las distribuciones, los funcionales analíticos, la transformación de Fourier y la teoría espectral de espacios de Banach o localmente convexos. En todas estas teorías es esencial precisar el espacio fundamental sobre el que se consideran las aplicaciones.

En las distribuciones se toma el espacio D(Rn) de funciones de n variables reales infinitamente derivables con soporte compacto, con la topología (v.) de la convergencia uniforme de la función y todas las derivadas. Se llama distribución a toda forma (o aplicación sobre el

cuerpo complejo) lineal y continua (v. ECUACIONES). Ejemplos típicos de distribuciones son las definidas por funciones localmente sumables: si f (x) es una de tales, se le asocia la distribución que a una

f... L f(x)

En esta forma las funciones del a. clásico forman un subespacio del de distribuciones. Además, hay otras distribuciones que no son funciones; p. ej., la

(-1)P J... f R.dx1, ..., dxn, Rrt

donde DP,, ._P. es símbolo de derivación parcial, y representa una distribución que sólo es función en el caso en que f admita derivada del mismo orden

af

ax1PI, ..., axnp?.

Un caso particular es la distribución 8, 8(sp)=p(0) y sus derivadas, introducidas por Dirac en mecánica cuántica, mucho antes de que Sobolev y Schwartz introdujeran el concepto de distribución. Toda distribución admite derivadas y primitivas de todos los órdenes, con lo que el cálculo diferencial e integral adquiere en distribuciones una mayor perfección y simetría. Variando el espacio fundamental D(Rn) se obtienen clasés importantes de distribuciones: si se toma el espacio E(Rn) de funciones infinitamente derivables y soporte cualquiera, se obtienen las de soporte compacto; si se toma el de funciones periódicas, se obtienen las distribuciones periódicas. Otro es el S(Rn) de funciones de decrecimiento rápido al que corresponde el de distribuciones de crecimiento atemperado.

Para estas últimas es importante la transformación de Fourier

~P(x)=... f e-(x,t,+...+xrttrt),p(tl, ..., t?) dt1, ..., dt? Rrt

que asigna a toda (p la transformada 0=Tcp también en el mismo espacio S(Rn). De la transformación de Fourier de funciones se pasa a la de distribuciones T=TT pbr la condición

Esta transformación de Fourier intercambia las operaciones de derivación con las de multiplicación por las variables, de donde deriva su gran aplicación a las ecuaciones diferenciales, permitiendo en muchos casos su resolución. Algunas transformadas de Fourier están agrupadas en tablas contenidas en los tratados.

En los funcionales analíticos se considera como espacio fundamental el de las funciones analíticas sobre cierto conjunto, que en la mayoría de aplicaciones es la recta real, llamémosle %(R), y un funcional analítico lineal será una aplicación lineal continua de %(R) en el cuerpo complejo. A todo funcional analítico u(f) corresponde una función analítica

u(zix) llamada indicátriz, definida a menos de una función entera. Esta teoría permite también una definición correcta de funciones generalizadas, pero no se ha difundido su uso y se opera más bien con distribuciones.

Una teoría más general dentro del a. funcional parte de una definición abstracta del espacio fundamental: se llaman espacios de Banach a los espacios vectoriales en los que existe una norma I lxl l con las propiedades

1.Ilxll %o,

2. Ilxll=0 si y sólo si x=0, 3.llx+yll,< Ilxll + llyll

y que son completos. Espacio localmente convexo es un espacio vectorial con una topología compatible con la estructura vectorial y con un sistema de entornos que sean conjuntos convexos. Para estos espacios se desarrolla la llamada teoría espectral. Se consideran los operadores dentro del espacio y se estudian sus posibles estructuras.

V. t.: VECTORES Y CÁLCULO VECTORIAL.

J. AUGÉ FARRERAS.

BIBL.: J. DIEÜNONNÉ, Fondements de l’analyse moderne, París 1965; K. YOSIDA, Functional Analysis, ’Berlín 1965.