Análisis Matemático I

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Matemáticas

GENERALIDADES. Es una parte de la Matemátíca que se ocupa del estudio de las funciones, por métodos en los que interviene el paso al límite.

Para poder apreciar el alcance del a. m. se han de considerar las etapas más notables de su desarrollo histórico. Aparece esta rama de la Matemática en un momento en que los avances de la Tecnología y de la Física y los descubrimientos de la Astronomía imponen una línea de pensamiento funcional, frente a la del pensamiento predicativo. Cuando Galileo en 1604 creyó demostrar la ley de caída de los graves (s=atz) basándose en la consideración de una velocidad variable, introducía el concepto de variación independiente de un soporte sustancial, y aunque el lenguaje que usó era predicativo, el concepto sólo podía tener cabida en el pensamiento funcional.

Una representación cinemática está presente durante gran parte del s. xvli al dar forma matemática a los conceptos de variable y de función. En una ley de movimiento, que expresa el espacio s recorrido en un tiempo t, la t y la s son, respectivamente, las variables independiente y dependiente y la correspondencia entre ellas se expresa diciendo que s es función de t, según la nomenclatura introducida por j. Bernoulli y Leibniz. La concepción de Newton de la variación es esencialmente física, y se refleja en el lenguaje que introduce, y así denomina "fluentes" las funciones del parámetro temporal t. Desde estos orígenes el concepto de función experimenta una evolución constante no sólo en la terminología, sino en sí mismo.

La consideración de las funciones como objetos matemáticos exige un método adecuado para su estudio. Así se renueva el conflicto entre el continuo y el discreto, ideándose como solución de compromiso los indivisibles, infinitamente pequeños, ya presentes en la obra de Arquímedes. A la manera de los átomos de Demócrito, han de ser partículas reales indivisibles, e infinitesimales en sentido actual. Gracias al carácter funcional de la Matemática en este momento, se prescinde del estudio esencial de tales infinitesimales y se busca el método de cálculo con los mismos, Leibniz a través de una estructura formal y Newton con su cálculo de "fluxiones". Es así como el a. moderno encuentra vía abierta, buscando la justificación del cálculo infinitesimal (v.), no en las demostraciones rigurosas, sino en la fecundidad y coherencia de sus resultados. Entre 1695 y 1700 en las Acta Eruditorum, publicadas en Leipzig, van apareciendo

las memorias de Leibniz, los Bernoulli, L’Hópital y otros, donde se tratan los problemas más variados con el nuevo cálculo, que se ha forjado en el s. XVII. Las primeras oscuridades de los infinitesimales van dando paso a la formalización de un concepto nuevo latente desde siglos en la Matemática, que es el concepto de límite, y que da un carácter propio al a. m.

El concepto de función. Como se ha indicado, tal concepto experimenta una evolución constante, adquiere mayor generalidad y aumenta en precisión. Desde el primitivo sentido físico, se llega al actual, que expresa ciertas correspondencias entre conjuntos abstractos. Para analizar, desde un punto de vista moderno, el concepto de función se ha de recorrer la siguiente escala de conceptos intermedios: conjunto y subconjunto, par ordenado, producto cartesiano, correspondencia, aplicación y función.

Si se dice que un conjunto está formado por la agrupación de objetos simples para formar un todo, más que una definición se hace referencia a un acto de abstracción que conduce a la idea primitiva de conjunto. Introducido por G. Cantor (1845-1918) en el campo de la Matemática, da lugar a la Teoría de conjuntos (v.). Pretender una definición reduciendo tal concepto a otros más simples es tarea inútil. Para la teoría cantoriana, basta tomar como principio que un objeto M (conjunto) determina de una manera precisa otros objetos a, b, c?. (elementos), lo que se expresa diciendo: "a pertenece a M", o, en forma simbólica, a E M, y lo mismo para los otros elementos. A partir de la relación de pertenencia y de sus propiedades, se deduce la llamada teoría "ingenua" de conjuntos. Mientras no aparecen conjuntos de, estructura contradictoria, la teoría "ingenua" es suficiente, pero para salvar tales contradicciones (antinomias) ha sido necesaria una axiomatización de la teoría (Zermelo, Fraenke1, etc.).

Si todos los elementos de un conjunto A lo son de otro M, es A un subconjunto o una parte de M; y se escribe A CM. La relación entre M y -sus subconjuntos A es la de inclusión. Par ordenado es un conjunto formado por dos elementos, en el que se distingue uno de ellos, que se suele denominar primer elemento; el otro es el segundo elemento. Producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se designa por A X B, es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados (a, b), en los que el primer elemento a de cada par pertenece a A, y el segundo b a B. Una correspondencia entre dos conjuntos cualesquiera A y B, es un subconjunto C del producto cartesiano AXB. Si el par (x, y) pertenece a e, se dice que al elemento x E A le corresponde el elemento y E B en la correspondencia G. El conjunto X formado por todos los primeros elementos de los pares que pertenecen a e se denomina dominio de la correspondencia, y el conjunto Y de los segundos elementos se denomina recorrido.

Una clase especial de correspondencias son las aplicaciones. Una aplicación de X en Y es una correspondencia en la que a cada x E X le corresponde uno y un solo elemento y E Y. Si se designa con f a la aplicación, se expresa que al elemento x le corresponde el y, escribiendo y= f (x). Una función definida en X con valores en Y, equivale á una aplicación de X en Y, es decir, función y aplicación son sinónimos. Sin embargo, es más usual emplear la palabra función para aquellas aplicaciones en las que el dominio es un conjunto de números.

El concepto de límite. También el concepto de límite experimenta una evolución paralela al de función. Aunque tal concepto es extraño a la Matemática griega, la idea del mismo se encuentra en la paradoja de Zenón y en el método de exhaución de Eudoxo. A una imagen cinemática de la función cual la del s. xvil, corresponde un concepto de límite, como "lugar" al que se aproxima una variable. Este sentido se pierde ante un concepto de función ligado a la existencia actual de un conjunto de pares.

La primera definición precisa de límite es la que da Cauchy (1789-1857) para las sucesiones, y que está ligada estrechamente al proceso de aritmetización del a.: la sucesión al, a2, ..., a?, ... de números reales tiende a un límite 1, y se expresa lim. a?=l, si para cada número positivo e existe un índice v tal que todos los términos de la sucesión de índice superior a v, difieren de 1 en menos de e, es decir la.-II < e, para todo n > v.

Para poder extender el concepto de límite a una función f (x) cuando x tiende a xo, se habrá de expresar que a los valores de x "próximos" a xo les ha de corresponder valores de f (x) "próximos" al límite. Esta "proximidad" se precisa por medio del concepto de entorno (v. TOPOLOGÍA), obteniéndose la definición: Una función f (x) tiende hacia el límite l, cuando x tiende hacia xo, si para cada entorno V(l) existe un entorno U(xo), tal que los f (x) correspondientes a todos los x E U(xo) del dominio de la función (x; xo), pertenecen a V(1); es decir, para todo x del dominio, si x E U(xo) -xo es f (x) E V(1).

La función f (x) es continua en xo, si el límite de la función cuando x tiende a xo, coincide con f (xo).

En el caso de las funciones reales de variable real, 1=1im f(x) cuando X-->X0, si ara cada e positivo, existe un 8 positivo tal que si 0 < rx-xoi < a es 1 f(x)-l1 < e.

Secciones notables del a. m. son: Cálculo diferencial e integral (v.), Cálculo de variaciones (v. CÁLCULO I, IV y v), Teoría de ecuaciones (v.) diferenciales e integrales, Teoría de funciones (v.) reales y complejas y Análisis funcional (v. II).

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.: CII. PICARD, Traité d’Analyse, 3 ed. París 1922-28; E. GouRsAT, Cours d’Analyse, París 1942-49; F. SEVERI, Lezioni di Analisi, 2 ed. Bolonia 1946; G. VALIRON, Cours d’Analyse Mathématique, París 1945-48; R. SAN JUAN, Lecciones de análisis matemático, Madrid 1946; 1. REY PASTOR, P. PI CALLEJA y C. A. TREJo, Análisis matemático, Buenos Aires 1965; T. M. APOSTOL, Análisis matemático, Barcelona 1960; N. BOURBAKI, Éléments de Mathématique. Premiére Partie. Les structures fondamentales de Panalyse, París 1939-62.