Análisis Factorial

Categoria:

Matemáticas

1. El problema. El a. f. es un método matemático-experimental, muy usado en Psicología, que tiene por objeto descubrir y estudiar las dimensiones de covariación o factores de un campo empírico.

Sean, p. ej., las medidas de anchura, área, volumen, etcétera, de los cuerpos físicos. Si aplicamos el a. f. a estas medidas descubrimos tres factores: longitud, altura y profundidad. Todas las variables de este campo son función de esas tres dimensiones, factores o variables fundamentales. En este caso ya lo sabíamos. La situación es muy distinta en otras ciencias -Psicología, Pedagogía, Sociología- donde en muchos casos se desconocen las dimensiones. Así, la inteligencia ¿es una aptitud, varias o muchas? Igual pregunta cabe hacer respecto de la percepción visual, la memoria, la aptitud musical, las actitudes, la extraversión, la reactividad emotiva, etc. El problema es capital. Mientras no se resuelva es difícil hacer estudios serios en estas disciplinas. Estudiar, p. ej., las relaciones de la inteligencia con otras variables, supone conocer previamente si hay una o varias inteligencias y a cuál de ellas nos referimos.

2. Historia. El a. f. surgió en 1904 precisamente para estudiar la inteligencia (v.). Su creador es C. Spearman (1863-1945), que representa con G. H. Thomson (18811955) el periodo del a. unifactorial, en el que las teorías dominantes destacaban un solo factor. Hacia 1930 empieza otro periodo, el del a. multifactorial, representado, sobre todo, por C. Burt (1883) y L. L. Thurstone (18871955). En 61 se comprueba que la inteligencia está constituida por muchos factores. Actualmente el a. f. se caracteriza por: a) el empleo de modelos matemáticos superiores, especialmente el álgebra (v.) de matrices; b) el desarrollo de pruebas estadísticas para comprobar la significación de sus resultados; c) el uso de máquinas electrónicas para su cálculo automático; y d) la extensión del método a todos los campos de la Psicología (aptitudes, temperamento, carácter, motivación, aprendizaje, cte.), Pedagogía (aprovechamiento escolar, tipología de profesores, cte.), Sociología (dimensiones de grupos, actitudes políticas, cte.) y muchas otras disciplinas, como la Antropología cultural, la Antropometría, la Meteorología, la Agronomía, la Física, etc. Su uso es especialmente fecundo en Psicología aplicada, para, determinar, p. ej., las dimensiones del diagnóstico y de los estudios, profesiones y oficios, y fundamentar, así, la práctica clínica y la orientación y selección escolares y profesionales (V. PSICOLOGÍA APLICADA).

3. Teorías y técnicas del análisis factorial. Spearman. El factor "g" y el monismo neogenético. Spearman formula la siguiente hipótesis:’

f=f(g. s);z;=afg+bjs.(1) Es decir, que una actividad cognoscitiva cualquiera j es función de un factor general g, común a todas las

actividades, y un factor especifico s, exclusivo de ella e independiente de las demás y de g.

De (1) se deduce: a) que todas las correlaciones (v. PsiCOMETRÍA) entre tests cognoscitivos deben ser positivas, pues g es común, pero no perfectas, pues s es específico, y b) que la matriz de correlaciones debe ser jerárquica. Expliquemos este último punto (v. tabla 1). Es una matriz de correlaciones, es decir; un conjunto de correlaciones ordenado por filas y columnas. Supongamos que se ha obtenido aplicando cuatro tests a una muestra de sujetos y calculando las intercorrelaciones. Se dice que es jerárquica cuando sus columnas son proporcionales, como ocurre en nuestro ejemplo. Así, si se comparan término a término las columnas dos y tres:

72/63=64/56=56/49=48/42.

Pues bien, si la hipótesis (1) es correcta, la correlación parcial entre dos tests cualesquiera debe ser:

rl2.g=rl2-rlgr2gf>~ (1-rig2)(1-r2g2)=0.(2) La fórmula (2) indica la correlación entre un test 1 y otro 2, cuando se elimina el efecto de una tercera variable, en este caso de g. Su valor debe ser nulo, pues, según la hipótesis de Spearman, lo único común a los dos tests es g. Pero (2) es nula sólo si el numerador es nulo. Luego:

rI2=rlgr2g-(3) Ahora bien, en las columnas dos y tres de la tabla 1, tenemos, según (3):

r12fr13=rlgr2gl rlgr3g=r2gf r3,. (4)y en general, rn2irn3 ° rngr2gl rngr3g =r2g1r3g

Vemos, pues, que si la hipótesis de Spearman es correcta, las columnas tienen que ser proporcionales. Si de hecho se aplican numerosos tests cognoscitivos a muchos sujetos, se hallan las correlaciones y se comprueba, como en la Tabla 1, que todas son positivas, pero no perfectas, y que si todas son jerárquicas, la teoría habrá sido verificada. Es precisamente lo que, en términos generales, confirmó Spearman.

Es fácil calcular, entonces, el coeficiente factorial ajg de un test j en g, según la ecuación (1), que expresa la teoría en una primera aproximación lineal o aditiva. Este coeficiente será la correlación del test con g, que viene dada por:

ajg=rig= V rjkrj1lrkl?(5) Es decir, por la raíz cuadrada del producto de las correlaciones del test Í con otros dos, dividido por la correlación de esos dos. En efecto, si sustituimos las correlaciones de (5) por sus valores en (3), tenemos

ti’rikrjllrkt=~risrkg-risrls1%rlg° Jr.(6) z - r.8

~8 - 1 Así, la correlación del test 1 con g será:

alg= ~Jr12rl3lr23= x/(0,72)(0,63)10,56=0,90.

Los coeficientes de los cuatro tests figuran en la columna g de la Tabla 1, como puede comprobarse fácilmente aplicando la fórmula (6).

Mediante el estudio de los diferentes coeficientes de los tests en g se puede interpretar este factor. Spearman muestra que g corresponde a la abstracción neogenética, es decir, a la actividad abstractiva y relacionante que engendra (génesis) conocimiento (noem). Según Spearman, todas las operaciones inteligentes son en el fondo una y la misma cosa: la función de abstracción relacionante. Ésta se mantiene en cada sujeto a un nivel constante, porque g es la energía mental o, somáticamente, la energía nerviosa. Los factores s serían los mecanismos a través de los cuales opera esa energía. En conclusión, según Spearman, son falsas las teorías previas de la inteligencia que 61 llama monárquicas (la inteligencia es una facultad), pues existen los factores s; las anárquicas (no hay facultad ninguna, sólo actos inteligentes), pues existe g, y las oligárquicas (hay varias facultades), pues no hay facultades, sino g y s.

Thomson. Los factores y las leyes de la probabilidad. Thomson explica los mismos hechos -correlaciones positivas y jerárquicas- mediante otra hipótesis: su teoría muestral de la inteligencia. En efecto, supongamos: a) que la inteligencia es un conjunto de N elementos e, equivalentes, independientes y muy numerosos; b) que una actividad es una muestra aleatoria formada por un número NPI de elementos de ese conjunto, según la complejidad pi de la tarea; y c) que la correlación entre dos actividades depende del número de elementos que, por azar, han resultado comunes a las dos. Entonces,

j=f(ep);p=1, 2, ..., N.(7) rik=Y-xixkIN-p:rk=O’J-i O-k2.

La fórmula corriente de la correlación (8), se puede expresar como el cociente entre la covarianza c y la raíz cuadrada de las varianzas. Pero la covarianza indica el número de elementos comunes a las dos actividades. Siendo las proporciones de elementos de cada una PI y pk y las muestras independientes, el número más probable de elementos comunes será Npjpk. Asimismo la varianza de cada actividad será su número de elementos Npj y Npk. Luego (8) es:

rik=NPiPkl~/ NPjNPk=PjPklVPjPk=’Jpjpk?(9) De (9) se sigue la jerarquía. En efecto, si procedemos como en (4):

r?21rn3=1/p.P2l Vpnp3= ~Ip2l .~Ip3.( Es decir, las columnas dos y tres son proporcionales, como en el caso de Spearman.

La inteligencia no estará formada por facultades ni por factores, sino por elementos. Bstos son aspectos simples del fondo causal. Están, sin duda, relacionados con la dotación genética y con las neuronas corticales (unos diez mil millones). Son tan numerosas que las leyes de la probabilidad producen la jerarquía. Las dos teorías, de Spearman y Thomson,,se basan en el supuesto hecho de la jerarquía. Este hecho es discutible. A medida que se mejoran las técnicas y se disminuyen los errores de todo tipo, las correlaciones se alejan más y más de la ordenación jerárquica. Los dos autores lo han reconocido y han modificado sus teorías iniciales. Spearman admite, además de g, otros factores de grupo. Thomson afirma que el conjunto no es indiferenciado, sino que consta de diversos subconjuntos. La interpretación uni f actorial va dejando paso a una teoría multifactorial, que será formulada netamente por Burt y por Thurstone.

Burt. Factores y clases. Puesto que las correlaciones son positivas, hay algo común a todas: el factor g. Pero, puesto que no son jerárquicas, g no basta. Hay que admitir otros factores comunes, que actúan en varios tests, pero no en todos. Es la teoría de Burt:

j=f(g, m, s);zi=aig+ajm+... +bj,.(11) Cada test j puede expresarse en función de un factor general g, uno o varios factores comunes m y un factor específico s. Burt ha desarrollado numerosos métodos para el cálculo de estos factores. Según él, los factores no son entidades reales, sino categorías de clasificación, según las cuales las diversas actividades pueden ser agrupadas en unas pocas clases rigurosas, independientes, objetivas y empíricamente comprobables.

Thurstone. Factores y principios funcionales. Thurstone ha formulado el a. f. en términos generales. Su teoría abarca a las otras como casos particulares. Su sola hipótesis es que cada actividad j es función de un número de factores comunes m, un factor específico s y un error e:

j=f(m, s, e);zj=ajl+ai2+... +bjs+ej.(12) El número y la naturaleza de los factores es un problema a resolver experimentalmente. Para ello Thurstone ha aplicado al a. f. el modelo matemático del álgebra de matrices. Sus métodos son los adoptados en la mayor parte de las investigaciones actuales. Los factores así descubiertos son, según Thurstone, principios funcionales y rasgos del sujeto.

4. La metodología actual. Un a. f. consta de las cuatro fases siguientes:

Preparación. Definición de las hipótesis de trabajo y los medios para comprobarlas: variables, tests, sujetos, etcétera. Se procura introducir tres o más variables que, por hipótesis, dependan de cada supuesto factor y no de los otros. Los tests correspondientes se aplican a los sujetos y se calculan las correlaciones. Supongamos, p. ej., que deseamos estudiar el campo de la inteligencia. Sea nuestra hipótesis que hay dos factores: razonamiento y memoria. Ideamos numerosos tests sobre estas funciones. Por brevedad, reduzcámoslos a seis: 1) Recordar ideas; 2) repetir cifras; 3) resolver problemas; 4) repetir palabras; 5) evaluar silogismos, y 6) cumplir instrucciones. Aplicamos estos tests a un grupo adecuado de sujetos, hallamos las correlaciones y las ordenamos en una matriz, como en la tabla 2.

Factorización. El paso siguiente consiste en averiguar cuántos factores son necesarios y suficientes para explicar las correlaciones. Este número viene indicado por la característica de la matriz. Una representación geométrica ayudará a comprender fácilmente el problema. Se puede demostrar matemáticamente que la matriz de la tabla 2 es equivalente a la configuración vectorial de la fig. 1. La configuración es un conjunto de vectores y cada vector representa un test. La longitud y la posición de cada vector están determinadas por las correlaciones. Pues bien, el número de factores necesarios es el número de dimensiones del espacio definido por la configuración. Si este espacio es una recta, se necesita un solo factor, como en la teoría de Spearman. En general, se requieren más dimensiones. Cuando son más de tres, no se puede construir un modeló físico, pero se pueden calcular sus propiedades. En nuestro ejemplo la configuración está en un plano: tiene dos dimensiones, exige dos factores. Cada dimensión se representa por un eje, como en la fig. 2. El conjunto de vectores y ejes se llama estructura. La estructura de la fig. 2 conduce a la matriz factorial de la tabla 3, donde las líneas representan los tests; las columnas, los factores o ejes, y los valores, las coordenadas de cada vector en cada eje.

Rotación. En la fase anterior se han introducido los ejes necesarios. Pero hay infinitas maneras de situarlos. La posición dada es arbitraria. Obedece exclusivamente a criterios matemáticos que permiten averiguar tan sólo cuántos ejes son necesarios. Es preciso ahora hacer una rotación de esos ejes hasta una posición que tenga valor científico. El mejor criterio para ello es el de la estructura simple, ideado por Thurstone. Consiste en suponer que en la conducta humana no todo depende de todo de la misma manera; que -ciertas actividades dependen más de ciertos principios o rasgos que de otros. Si es así, y si hemos representado cada principio por varios tests, los vectores correspondientes formarán una configuración simple. No estarán en cualquier lugar del espacio, sino en subespacios bien definidos, hacia los que hay que girar los ejes. En nuestro caso hay dos dimensiones, por consiguiente hay que ver si los vectores se agrupan en dos rectas y girar hacia ellas los ejes. Es lo que se ha hecho en la fig. 3, a) y b).

Interpretación. La estructura simple de la fig. 3 conduce a la tabla 4, con las coordenadas de los vectorés en los nuevos ejes. Cada factor puede ahora ser interpretado, pues está en una dirección definida por los vectores empíricos. Su interpretación se basa en los coeficientes. Así, el factor A es algo especialmente requerido por los tests 2 y 4, repetir cifras y palabras. Parece corresponder a la memoria repetitiva. También está presente, aunque en menor cuantía, en los tests 1, recordar ideas, y 6, cumplir instrucciones. La interpretación se confirma: estos tests requieren también recordar, pero son menos mecánicos. El factor no produce diferencias individuales en los tests 3 y 5, problemas y silogismos, lo que confirma, de nuevo, que se trata de memoria de reproducción, que apenas se requiere en estos tests. El factor B se interpretaría, por el mismo proceso, como un factor de razonamiento. La interpretación de cada factor tiene que explicar por qué los coeficientes son como son -altos, bajos o nulos- en todos los tests. Con estas interpretaciones como hipótesis, podemos preparar nuevos experimentos, factoriales o de otro tipo; para ir confirmando, modificando o, en su caso, rechazando las interpretaciones previas.

5. Observaciones finales. La factorización y la rotación se efectúan hoy día mediante complejos cálculos matemáticos realizados por máquinas electrónicas. Asimismo se han desarrollado modelos para aplicar el a. f. a datos ordinales y cualitativos. Los resultados generales del a. f. indican que en todos los campos de la conducta: a) hay numerosos factores; b) estos factores no son simples y su análisis descubre diversos subfactores; c) tampoco son independientes, sino que definen factores de orden superior; d) el conjunto de factores constituye una jerarquía de rasgos. Así, la personalidad parece ser una estructura jerárquica, unitaria, pues todos los rasgos son interdependientes, y compleja, pues hay factores de muy diversos niveles. Las posibilidades del a. f., como método de investigación, son inmensas. Para dar una idea, examinemos brevemente el gráfico de covariaci6n de Cattell (fig. 4).

5 ed. Boston 1953; C. BURT, The factors of the mind, Nueva York 1941; L. L. THURSTO:,E, Multiplc factor analysis, Chicago 1947.

V.t.: APTITUD; INTELIGENCIA; PSICOMETRÍA; VECTORES Y CÁLCULO VECTORIAL.

M. YELA GRANIZO.

BIBL.: H. H. HARMAN, Modern Factor Analysis, 2 ed. Chicago 1967 (es la obra más completa y actual); M. REucHLIN, Méthodes d’Analyse Factorielle, París 1964 (es muy completa y más elemental); P. HoRsT, Factor Analysis of Data Matrices, Nueva York 1965 (con indicaciones para uso de computadores electrónicos); M. YELA GRANIZO, Psicología de las aptitudes. El análisis factorial y las funciones del alma, Madrid 1956; íD, La técnica del análisis factorial, Madrid 1957; fD, jerarquías ortogonales y oblicuas, "Rev. de Psicología General Aplicada" (1966) 82-83, 405-416; C. SPEARMAN, The abilities of man, Londres 1927; G. H. TxomsoN, The factorial analysis of human ability,