Álgebra

Categoria:

Matemáticas

1. Introducción. 2. Relaciones. 3. Aplicaciones. 4. Operaciones. S. Álgebra universal. 6. Álgebra de Boole de las partes de un conjunto. 7. El Álgebra universal" de las aplicaciones de un conjunto en sí mismo. 8. Álgebra universal de las permutaciones de un conjunto. 9. Factorización canónica de un homomorfismo entre álgebras universales. 10. Anillos. 11. Cuerpos. 12. Grupos con operadores. 13. Módulos. 14. Álgebras.

1. Introducción. La palabra A. es de origen árabe y significa reducción. Cervantes utiliza la palabra algebrasta para designar a los traumatólogos prácticos. Todo ello indica, como se verá a lo largo de este artículo, que el nombre fue bien elegido por los matemáticos.

El conocimiento de las reglas de cálculo para los números naturales y algunos números fraccionarios se remonta a los sumerios. Los babilonios manejaron algunas ecuaciones lineales, pero fueron los griegos quienes llegaron a construir una teoría algebraica de magnitudes, atribuida a Eudoxio, la cual reúne todas las características de una teoría algebraica actual, y está recogida en el quinto libro de Euclides. Sin embargo, el desarrollo sistemático del A. requería una notación adecuada. Se debe a los árabes la preparación del camino para llegar a la notación necesaria, que consiste en representar mediante letras tanto los datos como las incógnitas de un problema, lo cual fue sistemáticamente utilizado por Vieta en el s. XVI. Esto indica la gran importancia que tiene en la matemática el empleo de un simbolismo adecuado a la naturaleza del problema que se quiere estudiar. No obstante, no se desarrolla el A. en el sentido que actualmente tiene esta palabra, hasta la creación de nuevos conceptos por Galois, Abel, Moebius, Grassmann y Cayley, en la primera mitad del siglo pasado. Estos matemáticos pueden considerarse como precursores de las ideas actuales. Pero fueron Dedekind y Kronecker, a finales de dicho siglo, quienes desarrollaron de modo sistemático las primeras teorías algebraicas modernas, continuadas luego por Hilbert, Frobenius, E. Nóther, Clifford, Dickson y Wedderburn.

2. Relaciones. Sean A y B dos conjuntos (v.) y sea A X B su producto. Cada subconjunto C de A X B define una relación entre los conjuntos A y B, del siguiente modo: se dice que el elemento a del conjunto A está relacionado, en la relación R definida por C, con el elemento b del conjunto B, y se designa con la notación aRb, si, y solamente si, el par (a, b) pertenece al conjunto C. Así, p. ej., si A representa al conjunto de todos los españoles, B el conjunto de todas las poblaciones españolas y C es el conjunto formado por todos los pares cuyo primer elemento es un español y cuyo segundo elemento es la población en la que se halla empadronado en el momento presente, la relación V definida por el conjunto C es la relación de vecindad en el sentido legal de la palabra. Análogamente, si A es el conjunto de todos los seres de una determinada especie biológica, es B=A y si C es el conjunto de pares cuyo primer elemento es un ser y cuyo segundo elemento es un hijo del primero, la relación P definida por C es la relación de paternidad. Si en C se permutan entre sí los elementos de los pares se obtiene un nuevo conjunto que define la relación de filialidad. A partir de la relación de paternidad se puede obtener la relación de progenitud, P*, del siguiente modo: aP*b equivale a decir que existe una sucesión finita de relaciones de paternidad:

aPc, cPd, ..., mPb; en tal caso se dice que a es progenitor de b. La relación

P* así obtenida a partir de P se llama una potencia de la relación P.

Entre las relaciones existen dos tipos de especial interés: las relaciones de igualdad o equivalencia y las relaciones de orden. Una relación de igualdad o equivalencia es una relación, R, que verifica los siguientes postulados: 1) R es una relación de un conjunto A consigo mismo tal que, para todo elemento a de A sea aRa. 2) aRb implica bRa. 3) aRb y bRc implican aRc. La primera propiedad se llama reflexiva, la segunda simétrica y la tercera transitiva. La relación de paternidad no posee ninguna de estas propiedades, luego no es relación de igualdad. La relación de fraternidad, "tener los mismos padres", es relación de igualdad. La relación "tener el mismo color" también es relación de igualdad. La propiedad fundamental de una relación de igualdad es la de producir en el conjunto en que está definida una partición.

Una partición de un conjunto es una familia de subconjuntos del mismo que posee las siguientes propiedades: 1) La unión

U Ui ¡EI

de todos los conjuntos de la familia UiicI

es igual al conjunto dado A. 2) La intersección de dos conjuntos distintos de la familia es

ui n u;=0, siendo 0 el conjunto vacío.

Sea R la relación de igualdad definida en el conjunto A. Se representa por aR al subconjunto de A formado por todos los elementos de A relacionados en R con a. Por la propiedad reflexiva, se verifica que a E aR y, por tanto, que

U aR=A. aEA

Supongamos que los subconjuntos aR y bR tuviesen un elemento común, c. Se verificaría que aRc y bRc y de aquí, teniendo en cuenta las propiedades de la relación de igualdad, resultaría que para todo elemento x de aR sería aRe y, por tanto, cRr y bRx, luego x pertenecería a bR. Análogamente se ve que todo elemento de bR pertenecería a aR, luego sería aR=bR. Se verifica, por tanto, que a toda relación de igualdad R de un conjunto A le corresponde una partición,

aRa EA

del conjunto. Recíprocamente, a toda partición UijEI

del conjunto A le corresponde la relación de igualdad definida del siguiente modo: aRb equivale a decir que a y b pertenecen al mismo subconjunto U; de la partición. Al conjunto

aRaEA

formado por todos los subconjuntos de la partición determinada por la relación de igualdad R se le llama conjunto cociente respecto de dicha relación de igualdad y se le designa por A/R.

Sea A el conjunto de todas las cosas materiales que poseen algún color. Sea R la relación de igualdad: poseer el mismo color. El conjunto cociente A/R es el conjunto de los colores. Sea A el conjunto de todas las rectas del espacio; sea R la relación de paralelismo, que es relación de igualdad; el conjunto cociente es el de todas las direcciones del espacio. Sea A el conjunto de todas las cosas materiales; dos cosas materiales están relacionadas en la relación R cuando son la misma cosa o cuando colocadas en los platillos de una balanza la equilibran; el conjunto cociente es lo que en Física se llama masa.

Una relación R, definida entre un conjunto A y él mismo, se llama relación de orden (también es llamada de orden parcial) cuando verifica los siguientes postulados: 1) Para todo elemento a de A se verifica que aRa. 2) aRb y bRa implican que a=b. 3) aRb y bRc implican que aRc. La primera propiedad se llama reflexiva, la segunda antisimétrica y la tercera transitiva. Obsérvese que la relación de orden difiere de la de igualdad únicamente en el segundo postulado, pero, sin embargo, son muy distintas.

Sea A el conjunto de todos los hombres que viven en la actualidad o que han vivido anteriormente. Sea R la relación tal que aRb significa que a es el mismo individuo que b o bien que a es un progenitor de b. R es una relación de orden. El diagrama que se emplea corrientemente para representar esta relación de orden es el árbol genealógico. Este mismo tipo de diagrama sirve para representar cualquier relación de orden.

Un tipo particular de relación de orden está formado por aquellas que verifican además el siguiente postulado: 4) "Para cualquier par de elementos a y b de A se verifica una, al menos, de las relaciones aRb, bRa". En este caso se dice que la relación es de orden lineal o total. La relación "menor o igual que" en el conjunto de los números racionales es una relación de orden lineal.

Un conjunto en el que se ha definido una relación de orden se llama conjunto ordenado. Las relaciones de orden se acostumbran a designar con el signo

mento distinto de él no se verifica la relación x < p, se dice que el conjunto A posee primer elemento y a p se le llama primer elemento. Una relación de orden se llama de buen orden cuando es una relación de orden lineal y además se verifica el siguiente postulado: 5) "Todo subconjunto de A posee primer elemento". Un conjunto con una relación de buena ordenación se llama conjunto bien ordenado. El conjunto de los números naturales con la relación de orden "menor o igual" es un conjunto bien ordenado. El conjunto de los números enteros con la misma relación de orden no lo es, pues aun cuando se cumple el quinto postulado en muchos casos, no se cumple para el conjunto completo, o, p. ej., para el subconjunto de los números menores que un número entero dado. Un problema de fundamental importancia en toda la Matemática es el de averiguar si en todo conjunto se puede definir una buena ordenación. Se han hallado varios postulados a partir de los cuales se puede demostrar este teorema básico de la buena ordenación; los más importantes son los debidos a Zermelo, Hausdorff y Zorn. Todos estos postulados y, por consiguiente, el teorema de la buena ordenación, presentan dificultades lógicas, por lo que algunas escuelas los rechazaron, pero, desgraciadamente, sin el teorema de la buena ordenación la Matemática quedaría reducida a la décima parte y quedaría excluida toda la parte de más aplicación a las ciencias experimentales y a la técnica.

3. Aplicaciones. Toda relación R entre el conjunto A y el conjunto B determina una correspondencia, f, en la que a cada elemento, x, de A le corresponde el subconjunto, f (x), de B, formado por todos ius elementos y de B tales que xRy. El conjunto A se llama conjunto inicial de la correspondencia f, el conjunto B se llama conjunto final. El subconjunto, or, f, del conjunto inicial, in. f, formado por todos aquellos elementos x de A tales que f (x) sea distinto del conjunto vacío, se llama conjunto original. Se llama imagen de f, im. f, al subconjunto de fin. f, formado por todos los elementos y de B tales que existe un elemento, por lo menos, x de A tal que y= f (x). Si J(x)=y está formado por un único elemento, se escribe f(x)=y.

Una correspondencia unívoca es una correspondencia tal que para todo xEor, f, se verifica que f(x) consta de un único elemento (v. CORRESPONDENCIAS). Una aplicación es una correspondencia unívoca tal que or. f= in. f. Una aplicación se llama suprayectiva cuando im. ¡=fin. f. Una aplicación se llama inyectiva cuando la igualdad f(X)=f(y) implica siempre la igualdad x=y. Una aplicación que sea inyectiva y suprayectiva se llama biyectiva o biyección.

Toda aplicación f de A en B produce en A una relación de igualdad, definida del siguiente modo: xfy (que se lee: x está relacionada con y en la relación f definida por la aplicación f) equivale a

f(x)=f(Y).

Al conjunto cociente respecto de esta relación de igualdad se le representa por A/f. Por consiguiente, decir que yExf equivale a decir que xfy o bien que f(x)=f(y).

4. Operaciones. Sea A un conjunto y sea n An=AxAx...xA

la potencia nésima de A. Se llama operación naria en A a toda aplicación de Al, en A. Si n=1, la operación se llama unitaria; si n=2, binaria.

Conviene llamar operación nularia a toda aplicación

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de A en un único elemento, u, de A. Obsérvese que las operaciones de la Aritmética ordinaria comienzan siendo operaciones binarias, p. ej.: la adición es una aplicación de N X N en N tal que a cada par de números, llamados sumandos, le corresponde un único número, llamado suma.

5. Álgebra universal. Se llama Á. universal al par formado por dos conjuntos (A, O), siendo el primero de ellos arbitrario y el segundo un conjunto de operaciones del primero; en general, ambos conjuntos son infinitos.

Se puede decir ahora que el Á. es la parte de la Matemática que estudia las á. universales y especialmente algunas á. particulares, importantes por sus aplicaciones.

Sea (A, O) un A. universal. Un subconjunto A’ de A se llama subálgebra del Á. (A, O) cuando (A’, O) es un Á. universal, siendo O el mismo conjunto de operaciones del Á. (A’, O). Por consiguiente, decir que A’ es subálgebra de A equivale a decir que si o es una operación naria arbitraria de O y xl, ..., xn son n elementos arbitrarios de A’, se verifica que o(xl, ... x?) pertenece a A’.

Entre las aplicaciones que se pueden definir entre dos A. universales A y A’ (observe el lector que hablando propiamente se debería decir: aplicaciones que se pueden definir entre los conjuntos A y A’ de las A. (A, O) y (A’, O’), pero esto es excesivamente largo, por lo que debe interpretarse la expresión del texto como una abreviatura de esta otra), tienen especial interés las que conG. E. R., 143

servan la estructura de A. universal, llamadas homomorfismos. Un homomorfismo f del Á. universal A en el A. universal A’ es un par de aplicaciones (f, f’), siendo la primera, f, una aplicación de A en A’ y la segunda, f’, una aplicación de O en O’, tales que, para toda operación raria, o, de O y para todo subconjunto (xr, ..., x,.) de elementos de A, se verifique:

f[o(xl, ..., X,)] =^0) [f(xi), ..., f(x,)l.

Antes de continuar con el estudio de las A. universales conviene analizar algunas A. particulares, que tienen interés por sí mismas.

6. Álgebra de Boole de las partes de un conjunto. Sea A un conjunto arbitrario. Designaremos por P(A) al conjunto de todas las partes de A (incluido el conjunto vacío y el propio conjunto A). En P(A) existen dos operaciones, la unión y la intersección (v. CONJUNTOS, TEORÍA DE), que verifican los siguientes postulados: 1) La unión y la intersección son operaciones asociativas. 2) La unión y la intersección son operaciones conmutativas. 3) La unión y la intersección son operaciones idempotentes, esto es, se verifica que

BUB=B y BnB=B,

para toda parte B de A. 4) Se verifican las propiedades cancelativas:

BU(Bnc)=B y Bn(BUC)=B.

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5) Se verifican las dos propiedades distributivas: BU(CnD)=(Buc)n(BuD)

y

Bn(CUD)=(BnC)U(BnD).

6) El conjunto vacío 0 y el conjunto total poseen las propiedádes: Para todo subconjunto de A se verifica que Bno=0 y BUO=B. Análogamente:

B n A=ByB U A=A.

Por verificar estas propiedades se llama al elemento 0 elemento ínfimo de P(A) y al elemento A elemento supremo. 7) Para toda parte B de A existe otra, c(A), que posee las siguientes propiedades:

B n c(B)=OyB U c(B)=A.

c(B) se llama complemento de B. Pues bien, al Á. universal (A, u, n) cuyo conjunto de operaciones tiene únicamente las dos operaciones binarias U y n, que verifiquen los siete postulados anteriores se llama un Á. de Boole (v.). Se verifica, por tanto, que el conjunto P(A) de todas las partes de un conjunto es un Á. de Boole. También lo es el conjunto de todas las proposiciones, tomando como operaciones la conjunción copulativadisyuntiva "o" y la conjunción disyuntiva "y".

7. El Álgebra universal de las aplicaciones de conjunto en sí mismo. Sea C un conjunto y A el conjunto de todas las aplicaciones de C en C. En A se define una operación, llamada multiplicación, del siguiente modo: Para todo par de aplicaciones, f, g, de A, se llama producto de f por g, y se representa por gf, a la aplicación de C en C definida del siguiente modo: Para todo elemento xdeC:

gf(x)=g(f(x)).

El Á. universal (A,), cuyo conjunto de operaciones posee un único elemento, la multiplicación, posee las siguientes propiedades: 1) La multiplicación es asociativa. 2) La aplicación idéntica: i(x)=x para todo xCC, tiene la propiedad de que su producto, tanto por la izquierda como por la derecha, por cualquier otra aplicación es igual a esta última, por lo que a. dicha aplicación se le llama aplicación unidad o neutra, respecto de la multiplicación.

Se llama semigrupo a un Á. universal con una única operación asociativa.

El Á. universal formada por todas las aplicaciones de un conjunto C en sí mismo, es un semigrupo con elemento unidad.

8. Álgebra universal de las permutaciones de un conjunto. Se llama permutación de un conjunto a toda biyección del conjunto en sí mismo. Por consiguiente, todo lo que se acaba de decir para las aplicaciones es válido para las permutaciones. Ahora bien, si f es una permutación de C se puede definir otra, que se acostumbra a representar por f1 del siguiente modo: escribir f1(x)=y equivale a escribir: x=f(y). Por ser f biyección, también lo es Í1, y se verifica que

ffl=flf=i,

siendo i la aplicación idéntica.

Se llama grupo a un Á. universal con una única ope

ración, que sea asociativa, que posea elemento unidad y tal que todo elemento del grupo posea un elemento simétrico, esto es, con la propiedad de que el producto de un elemento por su simétrico sea el elemento unidad. Todo esto se puede expresar también del siguiente modo: Un grupo es un A. universal

(G,, 1, í)

con tres operaciones: la operación binaria, que es asociativa, la operación unitaria 1, que transforma cada elemento de G en su simétrico, y la operación nularia i que transforma cada elemento de G en el elemento unidad.

Por consiguiente, el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto es un grupo, llamado grupo de las permutaciones, que es uno de los grupos más importantes del A. Si a la operación binaria de un grupo se le llama multiplicación, al elemento imagen de un elemento en la operación unitaria se le llama inverso y al elemento imagen en la operación nularia, elemento unidad. Si a la operación binaria se le llama adición, la imagen de un elemento en la operación unitaria recibe el nombre de opuesto y la imagen de la operación nularia se llama elemento cero. Los grupos cuya operación binaria es la multiplicación se llaman grupos multiplicativos, y aquellos en que la operación binaria se llama adición se llaman grupos aditivos..

Sea

(G,

un grupo multiplicativo. Recordando la definición de homomorfismo de un Á. universal, resulta que para que una aplicación f de G en G’ sea un homomorfismo del grupo G en el grupo

es necesario y suficiente que la aplicación f y la aplicación f, tal que:

f’()=., f’(1)=1, f’(z) verifiquen las igualdades

a)f(xy)=f(x) f(y);

b)f(x1) =(f(x))1;

c1f(i(x))=i’(f(x)), esto es

f(u)=u’,

siendo u el elemento unidad G y u’ el elemento unidad de G’.

9. Factorización canónica de un homomorfismo entre álgebras universales. Sea f un homomorfismo del A. (A, O) en el Á. (A’, O’). 1) Se verifica que im. f es una subálgebra de A’ siempre y cuando la aplicación f de O en O’ sea suprayectiva. En efecto, sea o’ una operación naria cualquiera de O’; por ser f suprayectiva, existe una operación naria de O tal que

RO) =o’.

Sean

x’1, ... , x ’ n,

n elementos arbitrarios de im. f. Existen los elementos xl, ..., x?, de A tales que

f(XI) =x’1, ..., f(xn)=x’?.

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Por consiguiente,

o’(x’1, ..., x’n)=f (o) (f(x1), ..., f(xn))=f(o(xh ..., x?)) pertenece a im. f. 2) Sea A/f el conjunto cociente respecto de la relación de igualdad definida por f. Para toda operación, o, de O, se define en A/f la correspondencia: o(xlf, ..., xef)=0(x1, ..., xn)f,

siendo o una operación naria de A. Vamos a ver que esta correspondencia es una aplicación de (A/f)n en A/f, esto es, que es una operación en A/f. En efecto, supongamos que

xIf=y1f, ..., xnf=ynf,

esto equivale a

f(x1)=f(y1), ..., f(x?)=f(y?),

de donde

f(0) (f(x1), ..., f(x?))= f(o) (f(y1), ..., f(y,J), y, por ser f homomorfismo,

f(0(xl, ..., xn))=f(0(y1, ..., yn)),

esto es:

0(x1, ..., xn)f=0(y1, ..., yn)f, y, finalmente,_

o(xlf, ..., x?f)=0(y1f, ..., ynf)

Por consiguiente, (A/f, O) es un A. universal con el mismo dominio de operaciones O que A. 3) Sea e la aplicación de A sobre A/f definida por

e(x) =xf.

Vamos a ver que e es un homomorfismo. En efecto, tomaremos como aplicación entre los dominios de operaciones la identidad, con lo que resulta que, para toda operación raria, o, de O es

e(o(x1, ..., xr))=o(x1, ..., xr)f=o(XIf, ..., xrf)=o(e(x1), ..., e(xr)). De la misma definición resulta que e es aplicación suprayectiva. 4) Sea b la correspondencia de Al f en im. f definida del siguiente modo:

b(xf)=f(x).

Esta correspondencia es, por la misma definición, una aplicación. Veamos que es un homomorfismo. En efecto, para toda operación raria, o, de O se verifica que

bo(xIf, ..., xrf)=b(o(x1, ..., xrf=f(o(x1, ..., xr))= =f’(o)(f(x1), ..., f(xr))=f(o)(b(x1t), ..., b(xrf))

Se comprueba inmediatamente que b es aplicación inyectiva y suprayectiva, esto es, que es biyectiva. 5) Finalmente, se define la aplicación m de im.1 en A’ del siguiente modo:

m(x’)=x’.

La aplicación m es trivialmente un homomorfismo inyectivo. De todo esto resulta que el homomorfismo f admite la factorización f =mbe, llamada factorización canónica.

Un homomorfismo f del A. universal A en el A. universal A’ se llama monomor f ismo cuando, y sólo cuando,

es inyectivo. Se llama epimorfismo cuando es suprayectivo, y se llama isomorfismo cuando es biyectivo. Teorema fundamental. Todo homomorfismo (f, f’) del A. universal (A, O) en el A. universal (A’, O’) cuando f’ es una aplicación suprayectiva, se puede factorizar de modo canónico de la siguiente manera:

e b m AAff>_im.f coim. f0

y

m’ e’

0¡M. f __> M’ > coker. f0

son exactas, siendo m y m’ los monomorfismos de inmersión y e y e’ los epimorfismos canónicos.

La intersección de cualquier número de submódulos de un Amódulo M es un submódulo. Esto, como en el caso de los anillos, permite definir una aplicación

L : P(M) > L(M)

del A. de Boole de las partes de M en el conjunto cie todos los submódulos de M del siguiente modo: L(E) es el submódulo intersección de todos los submódulos que contienen a E. Si N y P son dos submódulos de M se define:

N+P=L(N iJ P).

El conjunto L(M) de todos los submódulos de M con las operaciones (n, I) es un retículo modular.

Si N y P son dos submódulos de M se verifica que N + P/N , P/N n P.

La demostración es completamente análoga a la correspondiente a los anillos.

14. Álgebras. Una Aálgebra es un Amódulo H con una multiplicación entre sus elementos, respecto de la cual es un anillo y que verifica el siguiente postulado: Para todo elemento a del anillo A y para todo par x, y de H se verifica que

a(xy)=(ax)y=x(ay).

Si en esta definición se prescinde de la asociatividad de la multiplicación, la estructura que resulta se llama de Á. no asociativa. Un ejemplo importante de Á. no asociativa es el formado por el espacio vectorial real tridimensional con la multiplicación vectorial como multiplicación del A. En este A. se verifican las dos identidades siguientes:

X2=0,(xy)z + (yz)x + (zx)y=0(2) Un A. (asociativa o no) que verifique las dos identidades (2) se llama A. de Lie. En lo que sigue nos referiremos únicamente a A. asociativas. Como para las estructuras anteriores, se comienza por definir las subálgebras de un Á. como subálgebras universales del A. universal definida por el Á. La intersección de cualquier número de

subálgebras de un A. es una subálgebra, lo que permite definir la aplicación L de P(H) en L(H) como siempre: Para toda parte E de H se pone L(E) igual a la subálgebra de H intersección de todas las subálgebras que contienen E. Se dice que E es un sistema de generadores de L(E). A partir de un sistema de generadores

G=xI