Taylor, Teorema de

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Matemáticas

Se tiene para funciones de una variable real el siguiente teorema (Taylor). Sea f una función que tiene derivada n-ésima finita f(") en todo el intervalo abierto (a, b) y supóngase que f(n-1) es continua en el intervalo cerrado (a, b), Supóngase además un puntoXo E [a, b].

Entonces para todo x de[a, b], x 7-’ xo,existe un punto x, interior al intervalo que une x con xo tal quen-1 f(k)(x0)f(n)(xl) f(x)=f(x0)+1 k1 (x-x0)k+ n1 (x-xo)n. k=1Este teorema es un resultado más general de la siguiente cuestión que plantea el teorema del valor medio: si f es una función continua en [a, b] y tiene derivada en cada punto interior, dado x en [a, b], se puede escribir f(x) =f(a)+f’(xo)(x-a)dondea<xo<x.

Esta igualdad viene a decir que la cantidad f’(xo)(x-a) mide el error cometido cuando f(x) es aproximado por f(a). Sin embargo, el teorema del valor medio no indica cómo puede calcularse xo; dice simplemente quea<xo<x.

Si x no está muy alejado de a,[f(x)-f(a)11(x-a) será aproximadamente f’(a). Esto es, f’(xo) será aproximadamente igual a f’(a), y por consiguiente la igualdad f(x) = f(a) +f’(a) (x-a)debe ser aproximadamente correcta cuando x-a es pequeño. Esto significa que f es aproximadamente una función lineal en las proximidades de a. El teorema de T. dice, con más generalidad, que f puede aproximarse mediante un polinomio de grado n-1 si f(n) existe en (a, b). La importancia de este teorema radica en el hecho de que proporciona una expresión útil del error cometido por esa aproximación. El teorema se puede ampliar a funciones de varias variables. Para establecer el teorema general en forma parecida al caso unidimensional, se introducen antes las diferenciales de orden superior.

Definición Sea f una función real definida en un subconjunto de Rn (espacio euclídeo n-dimensional). La diferencial de segundo orden dzf es una función de dos variables n dimensionales definida, para todos los puntos x de Rn en los que f admite derivadas parciales de segundo orden y para todo t de Rn, mediante la igualdad d2f(x, t)=~D;,¡f(t)t¡tisit=(t1>..., tn)La diferencial de tercer orden d3f se define como sigue: n n nd3f(x; t)= y, y, y,Di,i.kf(x)tktjti i=1 j=1 k=1y la diferencial m-ésima dmf se define de forma parecida (cuando existen todas las derivadas parciales de orden m) y donde192f(X)a3f(x)Di, i f(x)= Oxil9xi ’Di. i, k f(x)= oxiOxi8xkTAYLOR, TEOREMA DE - TE DEUMEl teorema de T. toma la siguiente forma: sea f una función que admita derivadas parciales continuas de orden m en cada punto de un conjunto abierto S de R". SiaeS, beS, a~b, y si L(a,b)CS, entonces existe un punto z en el segmento rectilíneo L(a,b)CStal quen-r11f(b)-f(a)=--dxf(a; b-a)+d-f(z; b-a).

~--~ k !n: ! x-rLa demostración de este teorema se obtiene de una forma sencilla aplicando la fórmula de T. un¡-dimensional y la regla de la cadena para funciones vectoriales.

J. M. SUSTAETA ELUSTIZA.

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