Sucesiones (matemáticas)

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Matemáticas

Sea N el conjunto (v.) de los números naturales (excluido el cero) y C un conjunto; una s. definida sobre el conjunto C es una aplicación (v. ÁLGEBRA), s, de N en C. Se deduce de esta definición que para definir una s. basta fijar para cada número natural, i, el elementos(¡), que indicaremos por ci, designando la s. por (ci), o bien dar un conjunto ordenado del tipoICI, c-,, -. , C,, ...1en que ci sea un elemento de C. Como consecuencia de esta definición, la condición necesaria y suficiente para que (C:)=(Ci)es que para todo i se verifique la igualdad c; = C,,.

Según la naturaleza de C se obtienen los diversos tipos de sucesiones.

Sucesiones reales. Consideremos primeramente el caso en que C es el cuerpo de los números reales: las s. definidas sobre C se denominarán en este caso s. de números reales o s. reales. Si entre las s. reales se define una suma y un producto por las relaciones:(a¡)+(bi)=(a¡+bi), (a;) (bi)=(aibi),se puede comprobar fácilmente que se ha definido una estructura de anillo conmutativo (V. ÁLGEBRA, 10) con elemento unidad sobre el conjunto de las s. reales, y en el cual: 1) el elemento nulo es la s. cero en que todos los términos son iguales a 0; 2) el elemento unidad es la s. en que todos los términos son iguales a 1; 3) la s. opuesta de una s. es la s. cuyos elementos son los números opuestos a los elementos correspondientes de la s. dada. Se dice que una s. real (a¡) posee un límite a,a=1ím a¡,cuando para cualquier número positivo, E, existe un número natural n, tal que,lai-a’

El conjunto de las s. convergentes constituye un subanillo del anillo de las s. reales, es decir, la diferencia de dos s. convergentes (esto es, la suma de la primera s. con el opuesto de la segunda) es una s. convergente, y el producto de dos s. convergentes es una s. convergente; se deduce de la definición de convergencia que las s. constantes (esto es, s. en que a; es fijo e independiente de i) son convergentes y, por tanto, el elemento nulo y el elemento unidad del anillo de las s. reales son elementos de subanillo de las s. convergentes.

Se llama s. de Cauchy a la que verifica la condición de Cauchy: para cualquier número positivo, E, existe un número natural, n, tal que,’la¡-ai"

Nos limitaremos a estudiar un caso, el de la monotonía de una s. en que puede darse un criterio sencillo de convergencia; se dice que una s. (a,) es monótona creciente si se verifica quea¡ 5: a;para todo i; se dice que una s. (a¿) es monótona decreciente si se verifica la relación,ai?ai+l,para todo i. La condición necesaria y suficiente para que una s. monótona creciente sea convergente es que exista un número k, tal queal k,para todo i; y la condición necesaria y suficiente para que una s. monótona decreciente sea convergente es que exista un número k, tal que,a¡--k,para todo i.

El subconjunto de las s. cuyos elementos son números racionales constituye un subanillo del anillo de las s. reales, que posee el mismo elemento unidad; este subconjunto coincide con el conjunto de las s. definidas sobre el cuerpo de los números racionales; llamaremos s. racionales a las s. que acabamos de definir. El conjunto de las s. racionales que son de Cauchy constituyen un subanillo del anterior que denominaremos R; el conjunto de las s. de R que tiene por límite 0 es un ideal (V. ÁLGEBRA) de R que denominaremos ;p; se puede demostrar que el anillo cociente RIP (V. ÁLGEBRA) es un cuerpo isomorfo al cuerpo de los números reales. Así se obtiene una posibilidad de definir los números reales a partir de las s. de Cauchy, cuyos elementos son números racionales, y en algunos manuales se usa este proceso para introducir los números reales. Una s. de números racionales puede ser de Cauchy sin que su límite sea un número racional; más aún, puede demostrarse que dado un número real cualquiera existe una s. cuyos elementos son números racionales y que admite como límite el número real dado. Con respecto a los límites y convergencia de s. reales haremos constar los resultados siguientes: 1) Sia=1ím a;,b=1ím bi,la s. suma (a;+bi) posee límite que es igual a a+b. 2) Sia=1ím ai, b=1ím bi,la s. diferencia (a¡-b¡) posee límite que es igual a a-b. 3) Sia=1ím a;, b=1ím bi,la s. producto (aibi) posee límite que es igual a ab. 4) Si (ai) es una s. que posee un límite distinto de cero, solamente hay un número finito de elementos al que son iguales a cero. 5) Silím b;=b # 0, a=1ím ai, la s. obtenida de(alIbl, a2lbz, .. , ailbi,...)suprimiendo los elementos de la forma r/0 es una s. que posee un límite igual a a/b.

Sucesiones funcionales. Cuando C es el conjunto de las funciones definidas sobre un abierto U (V. TOPOLOGÍA) de un espacio euclídeo de dimensión finita (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS Ii), las s. definidas sobre C se denominan s. de funciones o funcionales. Vamos a limitarnos al caso de funciones (v.) de una sola variable, es decir, funciones definidas sobre un abierto de la recta real. La suma y el producto de funciones permiten definir una estructura de anillo sobre el conjunto de las s. funcionales, dada por las operaciones:lfi(X)] +[gi(X)]=[fi(X)+gi(X)], [fi(X)1 [9i(X)1 = [fi(X)gi(X)].

Se dice que la s. funcional [fi(X)] es convergente en el punto a de U, cuando la s. real [f i(a)] sea convergente.

Se dice que la s. funcional [f ¡(X)] es convergente en A, siendo A un subconjunto de U, cuando la s. es convergente en todos los puntos de A. Observemos que si la s. funcional [fi(X)1 es convergente en A, dado un punto a de A y un número positivo y distinto de cero, E, existe un número natural n, tal queI fi(a) - f;(a)1 < E,para i, f mayores que n; si manteniendo fijo E variamos a, el número n no tiene por qué permanecer fijo; las s. para las cuales puede tomarse n con independencia de a se llaman uniformemente convergentes, es decir, una s. es uniformemente convergente en A, si dado un número, E, positivo, existe un número natural, n, tal que,I fi(X) - fi(X) I < E,siendo i, f números mayores que n, y para todo x EA. Una formulación equivalente del concepto de convergencia uniforme es la siguiente: seaf(X) =1ím fi(X)en que f(X) está definida en el conjunto A (en el que es convergente la s. dada); la s. es uniformemente convergente en A, si dado un número positivo no nulo, E, existe un número n, tal que,1 f(X) - fi(X) < E,para i>n y para todo elemento x de A.

Si una s. funcional [f (X)] es convergente en un conjunto A, queda definida una función en A, por la relaciónf(X) =1ím fi(X).

Una cuestión interesante es establecer relaciones entre las propiedades de las funciones que forman parte de la s. y la función obtenida en el límite. Indicaremos solamente dos resultados interesantes. Sea [fi(X)] una s. funcional definida en un abierto U que sea convergente en un abierto A C U (V. TOPOLOGÍA); si las funciones fi(X) son continuas en A, y la convergencia de la s. es uniforme en A, f (X) es una función continua en A. Con respecto a la diferenciabilidad de las funciones indicaremos el resultado siguiente: sea [fi(X)] una s. funcional convergente en un abierto A, cuyos elementos, fi(X), son funciones derivables en A, y sea [f,!(X)] la s. determinada por sus derivadas; si [fá(X)] es uniformemente convergente en A, se verifica que [fi(X)] es uniformemente convergente en A, y lím fi(X) es una función derivable, cuya derivada es la función, lím fí(X).

De una manera análoga se puede hacer el desarrollo de las s. cuyos elementos son funciones de diversas variables o funciones definidas sobre espacios distintos de los euclídeos.

M. LAPLAZA GARCÍA.

BIBL.: P. ABELLANAS, Elementos de Matemáticas, Madrid 1965; 1. M. APÓSTOL, Análisis matemático, Barcelona 1960; G. CROQUET, Cours d’Analyse, II, París 1964; 1. DIENDONNE, Fundamentos de análisis moderno, Barcelona 1967; S. LANG, Analysis, I, Reading (Mass.) 1968; A. N. KOLMOGOROV y S. V. FOMIN, Elements of the theory of functions and functional analysis, Rochester 1957; L. SCHWARTZ, Cours d’Analyse, París 1968; G. F’. SIMMONS, Introduction to topology and modern analysis, Nueva York 1963; G. ViTALI y G. SANSONE, Moderna Teoria delle Funzioni di Variabile Reale, II, Bolonia 1946.