Series

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Matemáticas

Sea N el conjunto (v. CONJUNTOS) de los números naturales, excluido el 0, y sea C un conjunto sobre el que está definida una operación conmutativa (v. ÁLGEBRA), que indicaremos aditivamente; cada aplicación (v. CORRESPONDENCIAS), s, de N en C define una serie S que es, dada la sucesión (v.) indefinida de valores:

(al, a2, ... , ai, ...)

el algoritmo resultante de sumar y pasar al límite, combinación que se representa con la expresión simbólica de su término n:

nSI= ~ai , iLLL=JJJ1

siendo

al - S(i),

teniendo en cuenta que n puede ser tan grande como se quiera. Las series difieren de las sucesiones solamente por el algoritmo utilizado para definirlas, y que hace que sólo se puedan definir series sobre conjuntos con una operación conmutativa. Según la diversa naturaleza de C se obtienen los diversos tipos de series.

Series reales. Vamos a ocuparnos en primer lugar de las s. reales, es decir, del caso en que C es el cuerpo (v. ÁLGEBRA, 11) de los números reales; en estas s. los elementos al son todos números reales. Se definen dos operaciones, adición y multiplicación, en el conjunto de las series reales, por las relaciones

nnnli i 1 +/ bi 1 +LJ(ai+bi)J ,i-1i=Ii=Iin a] [ 1b,J -[albn_I+a2b?_2+ ...+an_2b2+an_Ibl]. i=I i=l

Se comprueba fácilmente que con estas operaciones el conjunto de las s. reales es un anillo conmutativo (v. ÁLGEBRA, 10), cuyo elemento unidad es el

[1 +0+0+... +0],

y cuyo elemento nulo es el (0+0...+0). Se dice que una s. real es convergente cuando la sucesión que la define es convergente, es decir, cuando existe un número S, tal que, para todo número, e, positivo y distinto de cero, existe un número natural, n, tal que

al-S rí >n.

Se puede demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una s. real sea convergente es que sea una sucesión de Cauchy.

Entre las s. reales presentan un interés especial aquellas cuyos elementos tienen todos el mismo signo, es decir, las s. en que todos los elementos son mayores o iguales que cero o menores o iguales que cero; en estas s. se puede variar arbitrariamente el orden de sus diversos elementos o asociarlos sin que se altere su carácter de convergencia y su límite, si es que lo tiene. Según el signo de sus elementos, las s. de este tipo se llaman s. de términos positivos o s. de términos negativos; las sucesiones que definen estas s. son sucesiones monótonas, por lo que se puede dar un criterio sencillo para determinar su convergencia (v. SUCESIONES).

El estudio de la convergencia de una s. se puede reducir al estudio de la convergencia de dos s. más sencillas: una de términos positivos y otra de términos negativos, y el estudio de la convergencia de una s. de términos negativos es equivalente al estudio de la convergencia de la s. opuesta, que es una s. de términos positivos, por lo que, en definitiva, tiene un interés general dar criterios de convergencia de s. de términos positivos. Nos limitaremos a indicar unos cuantos criterios de convergencia para s. de términos positivos. Criterio de D’Alembert. La s. de términos positivosL LJ a¡ J i=ISERIESes convergente silím ajan _1 < 1;silím a?fan_]>1la s. es divergente (se define el límite superior, lim, de una sucesión (Si) como el mayor de sus puntos de acumulación, siendo punto de acumulación de la sucesión todo punto tal que en cualquier entorno (v. TOPOLOGÍA) hay puntos de la sucesión distintos de él. Criterio de Cauchy. Silím I an< 1, la s. de términos positivos[~a`J i=1es convergente; silím Ñan>1,la s. es divergente. Criterio de Raabe. Si desde un valor de n la expresiónann 1an-1se conserva superior a un número fijo l +E>1,la s. es convergente; si dicha expresión se conserva inferior a la unidad, la s. es divergente.

Observemos que en todos estos criterios quedan casos de indeterminación y que pueden extenderse al estudio de convergencia de sucesiones, puesto que si [ai] es una sucesión, la s. definida pors(1)=ai, . ., s(n) =an-an_1está determinada por una sucesión que coincide con la dada. Un concepto también importante en las s. reales es el de convergencia absoluta. Se dice que la serie[~ai~ i=1es absolutamente convergente cuando la serie[ ~ Iail J es convergente. La convergencia absoluta implica la convergencia en sentido ordinario, pero no se verifica el recíproco. El interés de este concepto es que la condición necesaria y suficiente para que puedan conmutar entre sí elementos cualesquiera de una s. es que la s. sea absolutamente convergente (teorema de Dirichlet); este concepto también resulta útil en el estudio de las s. funcionales.

Series funcionales. Cuando C es el conjunto de las funciones definidas sobre un conjunto abierto (v. TOPOLOGÍA) U de un espacio euclídeo de dimensión n, se tienen las s. funcionales. Nos limitaremos al caso n=1, es decir, al caso de las funciones reales definidas sobre la recta real. Se dice que la s. funcional[fi(x) ] i=1es convergente para a E A, cuando sea convergente la s. real[fi(a) ] i=1se dice que la serie[ fi(x) i=1es convergente en el conjunto V C U, cuando la s. sea convergente para cualquier punto de V. De acuerdo con estas definiciones, la serie[fi(x) ] i=1es convergente en el punto a, cuando para todo número, E, positivo, exista un número natural, n, tal que,[fi(x) 1 < E n’para todon">n’>n.

En general, el número n dependerá no solamente de E, sino también del punto a; si puede elegirse n con independencia de a, se dice que la s. es uniformemente convergente; más precisamente: si V es un abierto contenido en U se dice que la serien[ fi(x)] i=1es uniformemente convergente en V cuando un número, E, positivo y distinto de cero, existe un número natural, n, tal que[~fi(x) 1 n’>n y todo x de V. Si la serie[fi(x) ]es convergente en V, la aplicación, a -- límfi(a)rdefine una función, s(x), sobre V, que se llama suma de la s. y que se suele indicar porns(x)= límfi(x); n -> oosi la convergencia de la s. es uniforme en V puede demostrarse que dado un número, E, positivo y distinto de cero, existe un número, n, tal quen’S(x)- ~fi(x)

Nos limitaremos a indicar, finalmente, que las s. cuyos elementos son funciones definidas en un espacio complejo son del mayor interés para el estudio de la teoría de funciones (v. FUNCIONES I), pero su desarrollo excedería de los límites razonables.

V. t.: TAYLOR, TEOREMA DE.

M. LAPLAZA GARÚA.

BIBL.: V. la de SUCESIONES.