Rouché-frobenius, Teorema de

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Matemáticas

Teorema clásico dentro del Álgebra lineal que hace referencia a la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Sea, a;lxl + ai2x2 + ... + a;?x? = c;,

para,

i=1, 2,, r,

un sistema de r ecuaciones lineales, cuyos coeficientes a;; son elementos de un cuerpo conmutativo K (v. ÁLGEBRA), al que pertenecen también los coeficientes c;. Se dice que el sistema es compatible si existe al menos una solución, es decir, un conjunto de elementos (SI,, s?) de K, tales que, para todo i,

a;lsl + ai2s2 + ... + a;ns,, = c;.

Sean R y r los rangos de las matrices (v.) al, al2 ... al? clal, al2 .. al,

a2l a22 ... a2n C2 ya2, a22 ... a2n

ar,.. ar2 ......... arn Crarl...................... ar2 arn

El teorema de R. establece los siguientes resultados: la condición necesaria y suficiente para que el sistema de ecuaciones sea compatible es que R=r, y la condición necesaria y suficiente para que el sistema admita una única solución es que R=r=n (númerq de incógnitas).. La demostración de este teorema se puede llevar a cabo mediante la teoría de determinantes o aplicando relaciones de dependencia lineal en. espacios vectoriales definidos sobre K. Cuando el sistema de ecuaciones dado es homogéneo, es decir, cuando los coeficientes c; son todos nulos, se verifica en cualquier caso que R=r, y el sistema de ecuaciones admite la solución (O, O, ..., O); en este caso suele ser interesante determinar si el sistema homogéneo admite soluciones distintas de la anterior; la aplicación inmediata del teorema de R. a este caso prueba que la condición necesaria y suficiente para que existan soluciones de un sistema homogéneo distintas de la (0,0,.... 0) es que R = r sea estrictamente menor que el número de incógnitas. Este teorema es el punto de partida de la teoría de dependencia lineal sobre cuerpos.

M. LAPLAZA GARCÍA.

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