Planetas II. Órbita de los Planetas CIENCIA

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Ciencia

Leyes de Kepler. El movimiento de los p. alrededor del Sol (órbita relativa) está determinado por la ley de atracción newtoniana (V. GRAVITACIÓN), pero sus principales características quedan definidas en tres leyes dadas por Kepler (v.) de forma empírica, tomando como base las observaciones de Tycho-Brahe. Su enunciado es el siguiente:Primera ley. Los p. describen órbitas planas elípticas alrededor del Sol, ocupando éste uno de los focos. Matemáticamente, esta ley puede escribirse en la forma:

r=p/(1 +e cos f)(1)

donde r=SP es la distancia Sol-p., p el parámetro de la i-1 elipse, e suexcentricidad, y

f =ASP

el ángulo que forma la dirección SA, o dirección del perihelio, con Sp. En realidad esta ley, como deducida de la newtoniana, no asegura el carácter elíptico del movimiento, aunque sea siempre así en el movimiento de los p. Designando por a el semieje mayor, la fórmula (1) es válida en todos los casos, poniendo:

p=a (1-e2) en el movimiento elíptico (OSe<1),

p = a(e2 - 1) en el hiperbólico (e> 1),

y e=1 en el parabólico.

Segunda ley. Las áreas barridas por los p. en su movimiento son proporcionales a los tiempos empleados en describirlas.

Si c denota la constante de las áreas (área barrida en la unidad de tiempo), esta ley, rigurosamente exacta, se expresa así:

rz df = 2c dt.(2)

Tercera ley. El cociente a3/T2, entre el cubo del semieje mayor y el cuadrado del periodo orbital, es el mismo para todos los p.

En realidad, la ley es sólo aproximada. Su expresión exacta es:

kz (ms+mp)=4rr2a3/T2=nza3,(3)

donde k es la constante de gravitación, m? mo, las masas del Sol y el p., yn=2;r/T el movimiento medio.

En el caso elíptico, introduciendo una nueva variable E, dada por

r=a (1-e cos E)

e integrando entre dos instantes lo (época de paso por el perihelio A) y t, la fórmula (2) nos da la ecuación de Kepler

E-e sen E=n(t-to),

que relaciona la anomalía excéntrica E con la anomalía media M = n(t- to).

Finalmente, unos sencillos cálculos permiten llegar a la relación

tag (fl2)=(~l1+el1/1-e) tag (E/2),

entre la anomalía excéntrica y la anomalía verdadera f. Elementos orbitales. Son unas constantes que definen la forma y orientación de la órbita, permitiendo calcular efemérides, o sea, posiciones del p. en el espacio. Los más empleados son:

a=semieje mayor

cw=argumento del perihelioe=excentricidad

T= periodo sidéreoi= inclinaciónto=época de paso por el perihelio

fi= longitud del nodo

Cuatro de ellos (a, e, T, lo) ya han sido mencionados; veamos el significado de los otros tres. Sea Sxyz un triedro trirrectángulo con origen en el Sol, coincidiendo el plano Sxy con el plano de la eclíptica (v. COORDENADAS ASTRONóMtCAS), el eje Sx con la dirección del punto vernal, y el eje Sz con el polo norte eclíptico. Entonces, el plano de la órbita corta al plano Sxy según una recta NN’ llamada línea de los nodos. El punto N, por el que pasa el p. de la parte inferior a la superior de la eclíptica, es el nodo ascendente, el punto N’ el descendente. Según esto, la longitud del nodo es el ángulon. f1= XSN,la inclinación i, el diedro que forman ambos planos y el ángulow=NSA,contado sobre la órbita desde el nodo ascendente hasta el perihelio, el argumento del perihelio.

Entre estos siete elementos, existe la relación (3) (tercera ley de Kepler); por tanto, solamente seis de ellos son independientes (p. ej., a, e, i, co, 91, lo) y definen la órbita de un modo completo. En ocasiones, algunos elementos orbitales se sustituyen por otros equivalentes: p. ej., el argumento del perihelio por la longitud del perihelio

TU=11+cw,l

a época to por la longitud media del p., Lo= ni-nto,etcétera. Con frecuencia también se consigna el periodo sinódico

S= ± 27,l(n?- no).

donde nI? no, son los movimientos medios del p. y la Tierra, respectivamente.

En los cuadros anterior y siguiente figuran los elementos orbitales de los p. para la época 1 en. 1950 a 0 h. TU (tiempo universal):Determinación de órbitas. Perturbaciones. Cada observación terrestre(ai,(V. COORDENADAS ASTRONÓMICAS), es decir, la ascensión recta a,, y la declinación Si, para una cierta época ti, equivale a un par de complicadas ecuaciones

al=a;(a, e, i, f1, Tu, Lo, ti),

Si=Si(a, e, i, I l, Tú, Lo, ti);

por tanto, tres datos de observación del tipo (0`131,t1), (a2, d2, t2), (a3, 83, t3), serán necesarios para determinar los seis elementos orbitales. Entre los métodos desarrollados para resolver este importante problema, deben mencionarse los de Laplace y Gauss, del que derivan casi todos los demás. El primero determina previamente las coordenadas cartesianas heliocéntricas de un punto y las componentes de la velocidad en dicho punto, sirviéndole estas seis componentes para obtener los elementos orbitales. Gauss, por el contrario, obtiene previamente las coordenadas heliocéntricas de dos puntos y, con ayuda de éstas, los elementos orbitales. Modificaciones importantes de estos métodos se deben a Encke, Olbers, Gibbs, Herrick, Oppolzer, etc.

En todos estos métodos se supone que las órbitas satisfacen rigurosamente las leyes enunciadas. Pero esto es cierto solamente en el idealizado problema de dos puntos o esferas atraídas según la ley de Newton. En la realidad, el movimiento de los p., satélites, etc., está perturbado por dos causas fundamentales: 1) la forma no esférica de los cuerpos; 2) la existencia de un numeroso conjunto de p., satélites, cometas, etc.

El estudio de estas perturbaciones, que constituye el principal objeto de la Mecánica celeste, ha sido resuelto en cada caso de acuerdo con el tipo de problema planteado; pero pueden resumirse las tendencias en dos grandes clases: unas que buscan la solución por métodos de integración numérica, y otras por métodos analíticos. En este sentido, es fundamental la aplicación del método de variación de constantes (Lagrange), en virtud del cual se supone que el movimiento puede describirse en la misma forma que en el caso de dos cuerpos puntuales, aunque con elementos orbitales variables, esto es, por medio de funciones a(t), e(t), i(t), cte., del tiempo. Así se llega a expresar cada elemento orbital como suma de términos seculares (desarrollos en serie de potencias de t) y términos periódicos o mixtos. Notemos, sin embargo, que algunos desarrollos, válidos para ciertos intervalos de tiempo, no son, en general, convergentes, por lo cual es necesario rehacer los cálculos de los coeficientes que intervienen en las series mencionadas.

P. ej., si consideramos la parte secular de la longitud del perihelio de Marte en la época 1900 (enero 0 a 12 h. TU), tenemos

zu=334° 13’ 5",53+6626",73 t+0",4675 t2,

donde t está expresado en siglos julianos. Dando a t el valor 1/2 (50 años julianos), resulta

Tu,950=334° 13’ 5",53+55’ 13",47=335`S’ 19",

que difiere en un segundo del consignado en el cuadro anterior.

V. t.: TIEMPO 1.

R. CID PALACIOS.

BIBL.: A. D. DUBYAGO, The Determination of Orbits, Londres Nueva York 1961; P. R. ESCOBAL, Methods of Orbit Determination, Nueva York 1965; D. BROUWER y G. M. CLEMENCE, Methods of Celestial Mechanics, Londres-Nueva York 1961; F. TISSERAND, Traité de Mécanique celeste, París 1891-96.