Parábola y Paraboloides

Categoria:

Matemáticas

Parábola. Si en la ecuación general de las cónicas (v.) aoo + a, IX ¡ +a22xi + 2aolxl + 2ao2x2 + 2a l2XIX2 = O,se verificaal,aI2 ~ =0a I2a22yaoo ao, ao2l ao, al, aI2 0 ao2 aI2 a22se tiene la cónica llamada parábola. Su ecuación puede escribirse en forma reducida, tomando como eje x (figura 1), el eje de la parábola; y como eje x2 la tangente en el vértice (punto en que el eje corta a la curva):x2,-2px1=0.(1)El puntoF(2,01 se llama foco; y la recta_pxl=- 2 ,directriz.

La propiedad fundamental de la parábola, que sirve muchas veces para definirla es: los puntos de la curva equidistan del foco y de la directriz. La distancia del foco a la directriz es el parámetro p.

A diferencia de la elipse (v.) y de la hipérbola (v.), que pueden tomar formas diferentes (cuando varía su excentricidad c/al), todas las parábolas tienen la misma forma, es decir, son semejantes.

Una traslación de ejes en la ecuación (1) de la curva permite ver que la gráfica de la función:y=ax2+bx+ces una parábola que tiene su eje paralelo al eje y.

La parábola se define en Geometría proyectiva como la cónica (no degenerada) que es tangente a la recta del infinito de su plano.

La tangente en un punto M de la parábola es bisectriz del ángulo formado por el radio vector MF, y la perpendicular a la directriz MD.

El lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de las tangentes a una parábola es directriz.

Las proyecciones del foco sobre las tangentes están en la tangente en el vértice.

Paraboloides. a) No reglado o elíptico (fig. 2): Es la cuádrica (v.) de ecuación:2 2x3= al + az(2) Se puede engendrar por el movimiento de la parábola: xi-aIx3 x2=0que, manteniéndose en un plano paralelo al x2=0, y con su eje paralelo al eje x3, tiene su vértice sobre la parábola:x; =azx3 x1=0o viceversa (superficie de traslación). Este paraboloide admite solamente secciones elipses y parábolas; en particular, circunferencias producidas por dos haces de planos paralelos. También posee dos puntos cíclicos o umbílicos. Todos sus puntos son elípticos.

b) Reglado o hiperbólico (fig. 3): Es la cuádrica de ecuación:x¡ xZx3= z-i.(3) al a2Puede obtenerse mediante el movimiento de la parábola xi=-aZx3’? x1=0que manteniéndose en un plano paralelo al x1=0, y con su eje paralelo al eje x3, tiene su vértice sobre la parábola:xi =a2 X3 x2=0o viceversa, por lo que es, también, una superficie de traslación. Este paraboloide es reglado, pues escribiendo su ecuación en la forma:XI X2 XI X2x3- (-a1+az/ Cal a2/se ve que contiene los dos sistemas de rectas: x1 xzal a2 x1 - x2 - 1 al a2 Áyx1 x2 -+-_~ al a2 x1 x2 1--- - x3 al a2 kTodas las rectas del primer sistema son paralelas al plano:x1 x2 -_-=0; al a2 y las del segundo, al planoxi x2 -+-=0 al a2(planos directores). Todos los puntos de la cuádrica son hiperbólicos. Admite secciones hipérbolas y parábolas, solamente.

L. ESTEBAN CARRASCO.

BIBL.: G. SALMON, Treatise on conic sections, Nueva York s. f.; H. LEBESGUE, Les coniques, París 1942; P. ABELLANAS, Geometría Básica, Madrid 1961.