Mecánica II. Mecánica Estadistica. FÍS.

Categoria:

Física

Una cuestión de número de grados de libertad. La M. estadística es una rama de la Física teórica cuyo propósito es la descripción mediante métodos estadísticos de propiedades (valores medios así como fluctuaciones en torno a éstos) de sistemas macroscópicos. Como en cualquier rama de la Física teórica, el camino es el siguiente: 1) a partir de resultados experimentales se extraen correlaciones o, en otras palabras, hipótesis (postulados o axiomas) sobre determinadas magnitudes físicas (v. MEDIDA II) que se conviene en llamar. 2) La decantación de la etapa anterior produce, en general, hipótesis sencillas a partir de las cuales se construye un formalismo matemático para la extracción de conclusiones lógicas o aproximadas. 3) Por último, se acaba en una tabla de valores numéricos de las magnitudes físicas, que, contrastados con resultados experimentales directos o indirectos, da o no validez a las etapas anteriores

A diferencia de la M. ordinaria (v. i), en M. estadística se introduce un elemento probabilístico en el conocimiento de las magnitudes físicas de la etapa primera. Este elemento probabilístico no tiene nada que ver con otro elemento probabilístico que se introduce en M. cuántica sino que se superpone a este último. En efecto, si se conociese la naturaleza de las fuerzas intermoleculares o interatómicas en un sistema macroscópico (un líquido, un trozo de metal o incluso un campo de radiación) y si, además, se conociese en un instante dado el estado del sistema (clásicamente se describe por las coordenadas de posición y de velocidad, o sea, los grados de libertad de las partículas y cuánticamente por la función de onda del sistema) entonces es posible predecir determinísticamente (tanto en el caso clásico como en el cuántico) el estado del sistema en cualquier otro instante de tiempo, mediante las ecuaciones de evolución bien de la M. clásica (ecuaciones de Newton o de Hamilton) bien de la M. cuántica (ecuación de Schródinger). Ahora bien, el postulado básico de la M. estadística es que no es posible en la práctica (y si lo fuese lo consideramos como caso irrelevante singular) conocer el estado de un sistema macroscópico si no con una cierta probabilidad. Una razón obvia es la siguiente: en un cm3 de líquido hay unas 1023 partículas. Parece imposible llegar a conocer las posiciones y velocidades de todas ellas en un mismo instante y, en consecuencia, el estado del sistema se nos hace inasequible. Podíamos haber cogido el sistema en una situación particular con todas las partículas en un rincón, con velocidades dadas, pero ello, aparte de artificial, es irrelevante para la descripción de procesos naturales

Lo que sí conocemos es que todo sistema macroscópico posee propiedades físicas bien definidas (valores medios de densidad, de temperatura, etc.) y precisamente el propósito en M. estadística es relacionar dichos valores medios a la dinámica microscópica, habida cuenta del elemento probabilístico a introducir en el conocimiento del estado del sistema. Carece, pues, de interés el estudio de la M. estadística de un punto material, a menos de considerarlo con estructura interna, en cuyo caso lo describiríamos cuánticamente como un sistema de campos, lo que ciertamente no es el caso de un punto material en M. clásica

Respecto a las propiedades observables, es ilustrativo el ejemplo de un gas. Un gas (v.) es un conjunto de un número grande de moléculas que se mueven en todas las direcciones con velocidades tan grandes o pequeñas como se quiera. Cuando el gas se dice que está en equilibrio con un medio externo, se pueden definir un volumen, una presión y una temperatura, tres magnitudes ligadas entre sí mediante una ecuación de estado. La presión es la fuerza media ejercida por el gas sobre la unidad de superficie de su contorno; ello es debido a las colisiones de sus moléculas con las paredes. La temperatura es, grosso rnodo, proporcional a la energía cinética media de sus partículas móviles. Una hipótesis concreta en M. estadística es que para cualquier instante en el tiempo, cualquiera de los estados de movimiento del sistema, compatible con la temperatura y volumen dados del gas, es igualmente probable. Sobre esta hipótesis se demuestra que un número muy grande de estados de movimiento corresponde a un solo valor de la presión. Así se justifica estadísticamente la ecuación de estado que es una propiedad macroscópica entre valores medios. Tal relación fue primero postulada sobre datos experimentales hasta la aparición de los métodos de la M. estadística. De este modo se dice que la M. estadística da el fundamento a la Termodinámica (macroscópica o fenomenológica). Historia y desarrollo de la Mecánica estadística. En su etapa más primitiva dentro de la Física, la M. estadística se considera una teoría cinética (v.). Hoy la teoría cinética es sólo uno de sus aspectos (v. cuadro). Señalemos los nombres de P. Gassendi (1592-1652), R. Hooke (1635-1703) y especialmente Daniel Bernoulli (170082) aunque las ideas atomísticas, fundamento de la teoría cinética, cabe encontrarlas ya en los griegos. D. Bernoulli fue el primero en dar la interpretación de la presión de un gas perfecto a partir de las variaciones de velocidad de las moléculas al chocar contra las paredes del recipiente

En el s. xix la teoría cinética fue desarrollada por J. Herapath (1821), J. J. Waterston (1845), J. P. Joule (1848), A. P. Krbnig (1856), R. Clausius (1857), J. C. Maxwell (de 1859 a 1879), culminando en L. Boltzmann (de 1868 a 1904). En 1859, Maxwell (v.) descubrió la ley de distribución de velocidades de un gas en equilibrio. En 1866, Boltzmann (v.) formuló por primera vez las propiedades de un gas inhomogéneo (fuera de equilibrio) y en 1872 descubrió la primera ley de evolución de un gas inhomogéneo, enunciando una ecuación y un teorema (dicho teorema 3C) que llevan desde entonces su nombre. Recientemente este teorema se sabe que está limitado a la descripción de sistemas diluidos (no es válido, p. ej., para un líquido). Con signo menos y salvo un factor de dimensionalización, la magnitud 3C introducida por Boltzmann permitió dar fundamento estadístico al segundo principio de la Termodinámica o principio de crecimiento de la entropía (v.). Boltzmann demostró asimismo que un gas cuyo estado evoluciona de acuerdo con su ecuación, alcanza finalmente, monótona y unívocamente, el estado de equilibrio descrito por Maxwell en 1859

Hoy se denomina a dicho estado un estado ele Maxi-vellBoltzmann y se sabe que corresponde bien al estado de equilibrio de un gas a suficientemente alta temperatura (tal como la temperatura ambiente, p. ej). Para las temperaturas bajas, el estado de un gas no puede ser ni cuantitativa ni cualitativamente descrito por una distribución de Maxwell-Boltzmann. Es preciso introducir efectos cuánticos. Esto fue desarrollado por S. N. Bose (1924) y A. Einstein (1924) para gases perfectos (p. ej., un gasde fotones, v.) de partículas descritas por ondas simétricas. La distribución se denomina de bosones o de Bose-Einstein. Para partículas cuya función de onda sea antisimétrica, ni la distribución de Maxwell-Boltzmann ni la de BoseEinstein son aplicables. El sistema puede ser entonces descrito mediante una distribución descubierta por F. Fermi (1926) y P. A. M. Dirac (1926). Obviamente, la nueva distribución, válida, p. ej., para electrones en un metal, se denomina distribución de Fermi-Dirac o de fermiones

Fenómenos típicamente cuánticos en los que la distribución de Maxwell-Boltzmann no es aplicable son la superfluidez (P. Kapitza, 1938; L. D. Landau, 1940), la superconductividad (v.; F. London, 1935; J. Bardeen, L. N. Cooper y J. R. Schrieffer, 1957; N. Bogoliubof, 1958)

La primera teoría sistemática y general de las propiedades de equilibrio de un sistema arbitrario fue dada por 1. W. Gibbs (1901), que, a su vez, desarrolló numerosas aplicaciones a la Termodinámica. Independientemente, A. Einstein (1902 a 1905) propuso una teoría sistemática de las fluctuaciones en un sistema arbitrario. En 1900, y a partir de ideas enunciadas anteriormente por Boltzmann, M. Planck (v.) dedujo la distribución correcta de la radiación de un cuerpo negro, descubriendo al mismo tiempo el cuanto de acción que fue el punto de partida de la M. cuántica de la materia y de la radiación. Impulsos en la dirección de la M. estadística de sistemas cuánticos fueron dados por A. Einstein (1907), P. Debije (1912), J. von Neumann (1927), L. D. Landau (1927), P. A. M. Dirac (1929) y P. Jordan (1933)

El estudio de los sistemas densos se debe esencialmente a J. D. van der Waals (1873), H. Kammerling-Ornes (1901), H. D. Ursell (1927), J. Yvon (1935), J. Mayer (1937), B. Kahn y G. E. Uhlenbeck (1938). Más concretamente, el estudio de los líquidos avanzó gracias a los trabajos de J. Kirkwood (1942), M. Born y H. S. Green (1947), T. Morita (1958), J. Percus y G. Yevick (1958). En el estudio de los gases, nombres ilustres son G. S. Darwin y R. H. Fowler (1922), y A. 1. Khinchin (1949). En cuanto a las transiciones de fase, han sido fundamentales los trabajos de L. Onsager (1944), L. von Hove (1949), C. N. Yang y T. D. Lee (1952). Numerosos investigadores se ocupan hoy de esta materia

Con respecto a la continuación de las ideas de Boltzmann, probablemente uno de los campos de la M. estadística en que mayor esfuerzo se ha puesto hasta el presente, aunque desgraciadamente sin mucho éxito, conviene recordar el trabajo de fundamentación de P. y T. Ehrenfest (1911). En las aplicaciones a la obtención de coeficientes de transporte, tales como viscosidad, conductividad calorífica, difusión, etc., nombres ilustres son D. Hilbert (1912), S. Chapman (1916) y D. Enskog (1917). El mismo Enskog (1922 a 1928) fue el pionero en la descripción moderna de un líquido de equilibrio. La primera ecuación, análoga a la de Boltzmann, pero para sistemas cuánticos, se debe a W. Pauli (1928). La formulación sistemática de la teoría de gases densos fuera de equilibrio se debe a N. N. Bogoliubof (1946), aunque ya los resultados a partir de las ideas de Kirkwood (1946) eran cualitativamente aceptables. Después conviene señalar en nuestros días G. E. Uhlenbeck y E. G. D. Cohen y colaboradores, de un lado; e 1. Prigogine, P. Résibois y R. Balescu y colaboradores, de otro, entre una colectividad de físicos estadísticos hoy ya innumerable

M. G. VELARDE

BIBL.: S. G. BRUSH, Kinetic Theory, Londres 1972; L. D. LANDAU y E. M. LIPSHiTz, Física estadística, Barcelona 1971; L. BoLTZMANN, Lectures on Gas Theory, Berkeley 1962; S. CHAPMAN y T. G. COWLING, The Mathematical Theory of Non Uniform Gases, 3 ed. Cambridge 1971; 1. W. GIBBS, Elementary Principies in Statistical Mechanics, Nueva York 1960; E. G. D. COHEN, Fundamental Problems in Statistical Mechanics, Amsterdam 1968; M. G. VELARDE, Temas de termodinámica y Física estadística, Madrid (en prensa)