Maxwell, Ecuaciones de FÍS.

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Física

Introducción. El estado en que se encontraban los conocimientos de los fenómenos eléctricos y magnéticos sobre los que M. basó su teoría, estaban resumidos en las leyes experimentales y ecuaciones deducidas de ellas, de Coulomb, Gauss, Faraday y Ampére (V. ELECTROSTÁTICA; ELECTROMAGNETISMO). Con estas leyes quedaban descritos con bastante precisión estos fenómenos para sistemas estacionarios y cuasi-estacionarios. La descripción de estos fenómenos se podía hacer mediante ecuacionesintegrales donde figuraban los valores de las funciones a lo largo de una línea o de una superficie, o mediante ecuaciones locales donde figuraban valores relativos a un punto dado. Los dos modos de analizar los hechos son equivalentes; el primero se interpreta más fácilmente por la teoría de las acciones a distancia; el segundo está más de acuerdo con las modernas teorías de acciones de contacto (v. CAMPOS, TEORÍA DE, 2). No obstante, ap’icadas a sistemas extensos, ambas conducen al mismo resultado

La diferencia entre las dos teorías se manifiesta de una manera clara y terminante cuando se estudian fenómenos rápidos. Es imposible, en tal clase de fenómenos, mantener las acciones a distancia y hacer intervenir funciones integrales como el potencial escalar y el potencial vector (V. ELECTROMAGNETISMO; MAGNETISMO) que fueron creadas para comodidad en los cálculos, pero que no son susceptibles de una interpretación concreta en física clásica

La necesidad de hacer figurar el elemento tiempo en la expresión de los potenciales, para poder explicar los fenómenos de propagación, obliga a transformar estos potenciales en potenciales retardados, que sólo se pueden precisar si se conoce la velocidad de propagación

En la aportación de M. a la teoría del electromagnetismo se puede distinguir dos etapas bien diferenciadas. En la primera considera regímenes variables del sistema en los que cualquier alteración mecánica o eléctrica será causa de un estado que se llama cuasi-estacionario, o de variación lenta con respecto a la variación de la luz; y supo hacer encajar perfectamente todas las ecuaciones anteriores, teniendo la suerte de que con pequeños retoques, sin tener que modificar profundamente el contenido matemático, se extendían, con bastante facilidad, las ecuaciones de la estática a los estados intermedios cuasi-estacionarios. La idea directriz dé M., en el paso de los estados de equilibrio de las variables, fue que, después de toda una serie de experimentos desligados, anteriores a él, no hizo más que en cualquiera de las aplicaciones de la fem (fuerza electromotriz), introducir las fuerzas electromotrices suplementarias nacidas por inducción (V. ELECTROMAGNETISMO)

-Era lógico que en la extensión a estados cuasi-estacionarios no se cambiara mucho en el modo de pensar, ya que se trataba de variaciones lentas de los parámetros mecánicos (cambio de posición relativa a los imanes o circuitos que constituyen el sistema en cuestión), o variación de los parámetros eléctricos, estando los elementos mecánicos en reposo, como variaciones bruscas de campo, imanación, intensidad, etc., pero siempre variaciones donde el hombre lo más que puede producir, frente a la velocidad de la luz, son cambios realmente irrisorios

Pero cuando Hertz introduce las propagaciones de mucha velocidad, ya no sirvieron las imágenes anteriores, y, por tanto, las herramientas de la primera etapa de M., los potenciales escalar y vector, aunque seguirían siendo fecundadas en los fenómenos rápidos, no podían dar relación exacta de lo que en ellos ocurría. Entonces M. trató de modificar sus ecuaciones en derivadas parciales, y él mismo las extendió utilizando un camino distinto al que había usado Lorentz, siendo M. el primero que introduce los potenciales retardados; con ello extiende las ecuaciones locales encontradas para fenómenos cuasiestacionarios a fenómenos rápidamente variables, desarrollando la teoría de las acciones de contacto. Con esto quedaba ya preparado el camino para que Einstein llegara a los fenómenos de variación muy rápida

Las ecuaciones de Maxwell. Los hechos experimentales en la época de M. permitían describir la relación entre las corrientes eléctricas y los campos magnéticos de la forma:rot H=47rique resumía el conjunto de las leyes de Biot-Savart y de Ampere (v. ELECTROMAGNETISMO); sin embargo, esta relación no estaba bien establecida, ya que requiere un término adicional; la idea genial de M. reside precisamente en hallar la omisión, descubriendo con ello un nuevo e insospechado camino, importante en el campo del electromagnetismo

La aceptación de la relación rol H=47ri, donde i representa el vector corriente, implica automáticamente quediv i=0,al ser la divergencia del rotacional de cualquier vector nula. Sin embargo, la ecuación de continuidad de la carga esdivi=- =- divD aat( 4que muestra que, en general, la div i es distinta de cero, aunque se anule en el caso de la corriente continua; de aquí dedujo M. que la ecuaciónrol H=47rino se verifica para corrientes no continuas. Propuso entonces escribir la ecuación de continuidad en la forma div J’=0,donde1 ODJ’=i+ ; 47r atesto indica muy claramente que debe reemplazarse el vector i por el vector J’, ya que éste es un vector cuya divergencia siempre es nula y que además se reduce a i en el caso de corrientes continuas; al vector J’ se le llama corriente total, al vector i corriente de conducción y al término vector1 OD 47r atque representa una nueva clase de corriente, corriente de desplazamiento que existe en los medios eléctricos e incluso en el vacío, y que gracias al cual hay siempre en un circuito con un condensador una conservación de la corriente total. Ahora bien, como el vector desplazamiento D es

D = E + 47rP,

donde E es el vector campo eléctrico y P el vector Polarización (v. ELECTROSTÁTICA), la corriente total se puede escribir:aP 1 aE at 47, atlo que se explica simplemente, por parte de la corriente de desplazamiento, teniendo en cuenta que, cuando polarizamos un dieléctrico (v.), separamos las cargas positivas y negativas, y que mientras dura esta separación se mueven las cargas, circulando una corrienteaP at llamada corriente de polarización; el tercer término introducido por M. se suele llamar corriente de desplazamiento en el vacío. De esta forma, la corriente total es suma de tres términos distintos, aunque dos están solapados en el vector D, dando lugar a la ecuación obtenida por

M.: ODrol H=47rJ’=47ri+,

atque midiendo H e i en u.e.m y D en u.e.e, toma forma 1 aDrol H=47ri+- -C atEl paso derol H=47ria1 OD rot H =47ri +c atse puede comprobar experimentalmente que es exacto: basta aplicar una fem a las placas de un condensador entre los que existe un dieléctrico uniforme; en el dieléctrico no existe corriente de conducción, pero debe haber una corriente de desplazamientoOD at ’ no es difícil comprobar la presencia de esta corriente por su campo magnético

En realidad, toda la teoría electromagnética de la luz y de las ondas hertzianas depende de la inclusión de los términos adicionalesaP 1 aE at 41r at en la corriente total. El despreciar la corriente de desplazamiento es exacto para las condiciones permanentes en queaD -0, aty es difícilmente aproximado si la velocidad de variación de D con el tiempo no es grande, estado al que se denomina cuasi-continuo. En general, todos los problemas eléctricos corrientes son cuasi-continuos; sólo cuando se llega a frecuencias muy elevadas, como las de la luz, la corriente de desplazamiento predomina sobre la de conducción

Con estas modificaciones, M. acepta las leyes experimentales anteriores: los teoremas de Gauss, aplicados a los campos eléctricos y magnéticos, cuyas ecuaciones son:

div D = 41rp;div B = 0,

y las leyes de 1 ení ,- Faraday sobre la inducción electromagnética, de cxpresi:ín1 aBrot E=--_-. atAhora estamos en condiciones de resumir las ecuaciones fundamentales del campo electromagnético; figurando en ellas unas ecuaciones bien concretas:

div D=47rp

(1) div B=O

(2) 1 aDrot H=47ri+-

(3) c at1 aBrot E=---

(4) c at

La interpretación física de estas ecuaciones es bastante clara. La primera es una consecuencia directa de las leyes de Coulomb y Gauss; indicando que, si no hay densidad de carga, las líneas de fuerza del vector D son cerradas, mientras que si las hay, los puntos en que se encuentran pasan a ser manantiales o sumideros de líneas; esto es, esta ecuación es la que permite hablar de la existencia de cargas electrostáticas, siendo, por tanto, posible su aislamiento. La segunda ecuación dice que siempre las líneas de B son cerradas y que, por tanto, carece de sentido hablar de la existencia de cargas magnéticas; es imposible aislar los polos de un imán. La tercera da la relación entre las corrientes eléctricas y los campos magnéticos. La cuarta resume la ley de la inducción de Faraday, dando la relación existente entre los campos eléctrico y magnético

Estas cuatro ecuaciones forman un sistema y son las llamadas ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético. Para su uso se emplean unidades mixtas o gaussianas, esto es: D, E y p se miden en uee (unidades electrostáticas), mientras que B, H e i se miden en uem (unidades electromagnéticas)

Estas ecuaciones fueron desarrolladas hacia 1870, pero no permiten explicar la evolución de un campo electromagnético si no se admiten ciertas relaciones entre las inducciones y los campos, relaciones que dependen de la naturaleza de los medios; se denominan relaciones fundamentales y son:

D=kE;

(5)B=p.H;

(6)¡=oE

(7) donde k, w y a- son cantidades sólo dependientes del medio y que pueden ser constantes, funciones de puntoo incluso dependientes del tiempo si el medio no está en estado estacionario

A esta lista se pueden añadir las ecuaciones que definen los potenciales A y w, que son:B=rot A,

(8) que no define completamente A,aAE=--grad ~p.

(9) at

En las condiciones de continuidad se añade la condicióndiv A = 0,pero al tratarse aquí de corrientes oscilantes, es mejor generalizar la condición y definir la ecuación:div A+ kg á(p =0

(10) at

En los estados continuos y cuasi-continuos, esta nueva definición es la misma que antes, y el estudio no queda afectado por esta modificación; sin embargo, la nueva forma simplifica mucho el cálculo de A y ~p en los estados no continuos

Consecuencias de las ecuaciones de Maxwell. De las ecuaciones de M. se deduce que cualquier distribución de carga decrece exponencialmente a una velocidad absolutamente independiente de cualquier perturbación electromagnética que pueda ocurrir al mismo tiempo, lo que justifica que se haga p=0 en la práctica

Pero la consecuencia más importante de las ecuaciones de M. es la predicción de las ondas electromagnéticas. Suponiendo un medio no conductor tal como el vidrio, en el que se puede hacer o=0 y suponiendo que k y w son constantes, basta hallar el rotacional de la ecuación de

MaDrot H=47ri+aty

hacer uso de la expresión matemática rot (rot) = grad - div - 72, para obtener:kaE __k _agrad div H-VZH= c rot r3 t = cat(rot E), donde, sustituyendodiv H y rot E,quedapzH - kg a2H cz atz ,o bien, eliminando H en vez de E: kp, YE pzE cz atz ,que son las ecuaciones normales del movimiento undulatorio, y prueban que las ondas electromagnéticas se propagan con una velocidadc ~l kg en el vacío, dondeesta velocidad es precisamente c, que es la relación entre la unidad electromagnética y la unidad electrostática de corriente que se puede determinar experimentalmente y cuyo valor en unida(L:,+ir 2,998-101°. Por otro lado, se encontró exp::.:uitr~tallrreutz que la velocidad de la luz en el vacío tima el rr~ar.r~, :alor, de donde se llegó a la convicción de que las ondas luminosas son de naturaleza electromagnética

En los medios eléctricos no conductores, k no es igual a la unidad y p. depende de la frecuencia de las ondas, aunque para las ondas luminosas en la región visible se puede poner p.=1; entonces la velocidad de la luz valee ~ky como en un medio cuyo indice de refracción sea n, sabemos que vale c/n, resulta que k=n2 si la hipótesis inicial es válida. Este resultado, que se conoce con el nombre de relación de Maxwell, se verifica, aproximadamente, por muchas sustancias, pero falla porque no tiene suficientemente en cuenta la estructura atómica. Se cumple mejor con ondas de baja frecuencia que con ondas de alta frecuencia. Al tratar solamente con fenómenos macroscópicos y suponer M. que la materia es continua y que no tiene ninguna estructura atómica, la teoría de M. tiene limitaciones muy fundamentales, cuales son el que no explica el fenómeno de la dispersión ni el cambio del índice de refracción con la frecuencia

No obstante, se puede comprobar fácilmente de sus ecuaciones que los vectores E, H y la dirección de propagación forman un triedro dextrógiro, demostrando que las ondas electromagnéticas son transversales y no longitudinales

A pesar de todo, si se conserva a en las ecuaciones

172E y O2H,

aparece un término más; esto es, queda, suponiendo p=0:kg a2H 47rucr aE 02H= _c28t2r)t2i) tykp. ú2E 47r~cu (3E 72E=____.___ +_c2 i)t2 Ot2 Otrelación conocida como ecuación de telegrafía, a partir de la cual se puede deducir que el término adicional corresponde a una disipación de energía

Crítica de las ecuaciones de Maxwell. Es de resaltar, primeramente, la necesidad de emplear cuatro vectores para explicar el estado eléctrico de un cuerpo: los vectores E, D, H y B. Cuando existe un H, por la presencia de materia o de medio, se crea un B; en tal caso se dice que el medio se ha polarizado, esto es, que sus moléculas se han orientado; pero en el vacío, ¿qué sentido tiene esto? Nos vemos obligados a admitir una polarización en el vacío, aunque es raro pensar que algo se oriente donde no existe nada, igualmente se puede extender esto a los vectores E y D. No obstante, Lorentz señaló una analogía fundamental, dimensional, muy curiosa entre los vectores D y H, E y B, así como entre k y p,: basta sustituir en las ecuaciones electrostáticas la "carga" por el producto "carga-velocidad", para obtener las magnéticas, analogía que puede simplificar el problema

A pesar de todo, las ecuaciones de M. explican todos los fenómenos corrientes, e incluso una nueva serie de ellos no previstos en teorías anteriores. Su insuficiencia, al menos en la forma dada por M., se muestra en la electrodinámica de los 4ut;rpos en movimiento, ,luedatrdo l:cs teríormente ,.(.)rreI-,idab por Lorentz, dando asl el grtul>c, de ecuaciones de PYl -Lorentz, invariantes en la tc:c~hía de :a relatividad (v.)Energía del campo electromagnético. La energía total es suma de las energías electrostática y magnética; esto se demuestra teniendo en cuenta la velocidad de variación de la energía en un volumen dado. La fuerza que actúa sobre la carga unidad esV A B cla velocidad de realización del trabajo sobre la carga unidad valevAE~E+ ~V=E-V; cde donde la velocidad total con que las fuerzas realizan el trabajo será:J ri `f (E-V)gdV=c f f f (E-i)dv;usando las ecuaciones de M. y teoremas integrales, obtenemos, para la velocidad a la que el campo realiza el trabajo, la expresión:

4rr f f (H /’, E) ds- 47r f f f 1HüB +E. OD-) dv

, que se puede escribir, si k y N son constantes en el tiempo:

f f f (_B - 8 H07r -+_- g E ) dv= = f f 47r (E A H) ds+ +

(velocidad a que el campo realiza el trabajo). De esta expresión se deduce que la energía electromagnética es1 [BAH+DA El, 87rsuma de la energía electrostática más la energía magnética. Se llama vector de Poynting al vectorc4~r [E A Hl,y representa la velocidad de irradiación de energía por unidad de superficie

Los potenciales. M. llevó a cabo el estudio de las ondas eléctricas en una segunda etapa, introduciendo los potenciales A y ,p obtenidos eliminando E, B, H y D en sus ecuaciones:

kp. ,32Ak¡£ f)2(p47rpOZAc2 ut2 -4agi;7=---C2C2 Ot2 k

la primera se reduce a la ecuación normal del movimiento ondulatorio en medios descargados, donde p=0; lo mismo sucede en la segunda en medios no conductores. En ambos casos, esto demuestra la posibilidad de existencia de ondas eléctricas con velocidadc/ J kp,

En el caso quelos potenciales se convierten en 1 t3ZA 72A-c2 tltz -47r1-,OZ

A-f f_f flhrr/e dv; dv, que se llaman potenciales retardados; rt-c es el "tiempo retardado" y1P1 t-r/csignifica que para obtener w en el instante t, debe medirse un tiempo antesrt_, cdonde r/c es el tiempo que tardaría una onda electromagnética en ir desde un dv al punto donde se calcula ~p

V. t.: ELECTRICIDAD; MAGNETISMO; ELECTROMAGNETISMO.

E. YUSTA GARCFA

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