Máximos y Minimos

Categoria:

Matemáticas

En un conjunto de números reales X, máximo es un número M que pertenece a X tal que todo otro número de X es menor que M; y mínimo es un número m que pertenece a X y tal que todo otro número de X es mayor que m. No todo conjunto X de números reales posee un máximo (o mínimo). Así, conjunto de los números x tales que1<x

Dada una función (v.) real definida en un conjunto C (v. CONJUNTOS, TEORÍA DE), el máximo y el mínimo del conjunto de valores de la función, cuando existen, se denominan, respectivamente, máximo y mínimo absolutos de la función; es decir, g es el máximo absoluto (mínimo absoluto) de la función f(x) definida en un conjunto C cualquiera y cuyos valores son números reales, si existe un elemento a en C en el que es

g=f(a)

y, además, para todo x de C es

f(x)S1£ (ó f(x)’g)

No toda función real tiene máximo (mínimo); así, la función

y=x

definida en el conjunto

1<x<2

no tiene ni máximo ni mínimo absolutos. La existencia de máximo (mínimo) absoluto depende, no sólo de la naturaleza de la correspondencia (v.) que define la función, sino de la del conjunto C en el que está definida. Los conocidos teoremas de Weierstrass (v.) aseguran la existencia de ambos cuando la función es continua y el conjunto C es compacto

Cuando el conjunto C de definición de la función f(x) pertenezca a un espacio dotado de un sistema de entornos, como son los espacios métricos (v. ESPACIOS MATEMÁTIcos iv), se pueden considerar las nociones de máximos (mínimos) locales o relativos. La función f(x) tiene un máximo relativo (mínimo relativo) en el elemento a de C, si existe un entorno de a tal que es

f(x)_ f(a))

para todo x de dicho entorno, es decir, f(a) es máximo (mínimo) absoluto cuando sólo se consideran los elementos de C pertenecientes al entorno

En el caso en que C pertenezca a un espacio euclídeo de n dimensiones, lo que equivale a considerar funciones reales de n variables realesf(xl, x2, ... x?),los métodos para la determinación de los extremos (máximos y mínimos) relativos, consisten en aproximar la función f por otra más simple y expresar para ésta la condición de extremo

La aproximación local más simple es la lineal, es decir, la diferencial (v. CÁLCULO I); y si en el punto

a=(al, a2, . ., a,)

la función/ tiene un extremo relativo, la diferencial deberá ser nula. Luego, condiciones necesarias para la existencia de tal extremo, son:

D,1f(a) = 0,Dx2f(a) = 0, ..., DJ(a) = 0

Como para las funciones de una variable, la anulación de las derivadas primeras no son condiciones suficientes. Para obtener éstas, se han de considerar aproximaciones de la función de orden superior, y las más simples son los polinomios dados por la fórmula de Taylor. Si f tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en el punto

(al, a2, . ., a?)

es:

nf(xl, ..., x?)-f(al, ..., a?)=D,,f(a)(x¡-a,)+ L=ln+1Dzix¡f(e)(xi-a;) (x¡-a¡), 1,¡-1

y como el primer sumando del segundo miembro es nulo, el signo de la diferencia vendrá dado por el segundo sumando, y se puede probar que si la forma cuadrática correspondiente es definida (positiva o negativa), su signo coincide con el de dicho término. Luego es condición suficiente para que en

(al, a2, ..., a?)

la función/ tenga un máximo o mínimo relativo (suponiendoD J(a) = 0)que la forma cuadrática n DXixif(a)(xi-a¡) (xi-ai)t.i=lsea definida, negativa o positiva. Para n=2, resultan como condiciones necesarias para que en el punto (al, a2) exista extremo,D, ta)=0,Ds2f(a)=0,y supuestas verificadas éstas, es condición suficiente que sea

D.,f(a)D.’,f(a)-Dzixzf(a) > 0;siDx,

f(a) < 0existe máximo y siDX=f(a) > 0existe mínimo

Cuando se trata de determinar los extremos de una función&I, x2, . ., xn)entre cuyas variables existan r n< n condiciones de ligadura

F =f+ Z Ár1Pr

r=[con m parametros arbitrarios ar (multiplicadores de Lagrange) y se determinan los extremos de

F respecto de las variablesXI, x2, ..., xn

Así se obtienen las n+m ecuaciones mDz,f+ ~Á,.DxitPr=O,i=1, ..., n,yrpr=O,

r=1,-^ r=1para determinar las incógnitas x,, ar.

E. LINÉS ESCARDÓ

BIBL.: V. la de CALCULO I