Matrices (matemáticas)

Categoria:

Matemáticas

Una m. de tipo m X n sobre un cuerpo (V. ÁLGEBRA) k es un conjunto de m X n elementos del cuerpo k, distribuidos en m columnas y n filas, y que se suele representar abreviadamente por (at;); dos m. (a;;) y (bi;) son iguales cuando son del mismo tipo y para cualesquiera i, f se verifica quea¡i=b;i

Entre las operaciones que se pueden definir entre las m. existen tres fundamentales: a) Adición, dada por

(a¡¡) +(b;i)= (a;¡+ b;¡)

b) Producto por un elemento r del cuerpo cuya definición viene dada por

(a=¡)=(raji)

c) Producto de matrices, dado por

(at¡)(bii) =(Ea¡kbk¡)

Se deduce de estas definiciones: 1) La adición solamente puede realizarse entre m. del mismo tipo. 2) El conjunto de las m. del mismo tipo con la operación de adición constituye un grupo conmutativo (v. GRUPOS, TEORÍA DE). 3) El conjunto de las m. del mismo tipo con las operaciones de adición y de producto por elementos del cuerpo constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo k (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII). 4) Si (a¡¡) es una m. del tipo m X n y (b;i) es una m. del tipo m’ X n’, para que esté definido el producto

(a¡¡) (bti)

es necesario y suficiente que n= m’. 5) El producto de m. es distributivo con respecto a la suma (siempre que estén definidas las operaciones correspondiente):

A(B+C)=AB+AC; (D+E)F=DF+EF

Se denomina m. nula a la m. cuyos elementos son todos nulos, y constituye el elemento nulo del grupo formado por las m. del mismo tipo. Se dice que una m. es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas; se dice que una m. cuadrada (a;¡) es simétrica cuando se verifica que

a¡¡ =a¡¡

para cualesquiera i, j, y se dice que es hemisimétrica cuando

aij= -aji,

para cualesquiera i, j. Se denominan m. diagonales a las m. cuadradas (a;¡), tales que

ati=0

para

i es diferente a j,

y m. unidad a las m. diagonales (a;¡), tales que a¡;=1,para todo i. Dada una m.

A=(aü), se llama m. traspuesta a la m.

A’=(a¡¡)

Si (a;¡) es cuadrada, su determinante, ¡a;¡¡, se define como el elemento del cuerpo dado por

E(- 1)e¡alil a2;2 ... an;,

en que

[i1, i2, . ., inl

es una permutación de

[1, 2, ..., n]

y e; es el índice de la permutación, es decir, e;=1 si la permutación es de orden impar y el=2 si es de orden par. Las propiedades fundamentales de los determinantes son las siguientes: 1)

¡(a¡¡)(b¡i)J=la¡¡¡ ~bijJ;

2)

latil = laiil ;

3) Si se consideran los vectores (v.) que tienen como componentes las filas o columnas de una m. cuadrada (a¡¡), la condición necesaria y suficiente para que sean linealmente independientes es que

Jatil=0;

4) Si se cambian entre sí dos filas o dos columnas de una m. cuadrada, el determinante cambia de signo; 5) Si se multiplican todos los elementos de una fila, o de una columna, por un elemento del cuerpo, el determinante de la m. queda multiplicado por ese elemento; 6) El determinante no varía si se suma a una fila, o a una columna, una combinación lineal de las restantes filas o columnas, respectivamente

En una m. cuadrada (a;¡) se denomina adjunto del elemento a;¡, y se designa por A;¡, al producto de (-1)¡+i por el determinante de la m. que resulta de suprimir la fila y columna en que figura a;¡. El cálculo del determinante de una m. puede hacerse mediante un cálculo recurrente sobre el número de filas o columnas de las m. cuadradas, puesto que el determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna cualquiera por sus adjuntos. Se llaman m. singulares a las m. cuadradas cuyo determinante es nulo. Dada una m. Cuadrada

(ati)=A,

se llama inversa de A, y se representa por A-1, a una m. cuadrada tal que

A-1A=I

(siendo I la m. unidad; esta relación es equivalente a la relación

AA-I =!)

La condición necesaria y suficiente para que una m. cuadrada A posea m. inversa es que A sea no singular, y en este caso

A-1=(A¡il IA I)

Dada una m

(ati)=A,

se llaman menores de la m. a los determinantes de m. cuadradas contenidas en la m. A; si consideramos todos los menores. de una m. que sean distintos de cero, el máximo entre todos los órdenes de las m. que los determinan es, por definición, el rango de la m., concepto de aplicaciones útiles en la Geometría lineal

M. LAPLAZA GRACIA

BIBL.: P. ABELLANAs, Elementos de Matemáticas, Madrid 1961; íD, Geometría Básica, Madrid 1961; 1. BouTELOUP, Cálculo de matrices, Buenos Aires 1966