Matemática

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INTRODUCCIÓN. Siendo la M. una de las ciencias fundamentales, no es fácil encontrar una definición simple de ella. Desde los griegos hasta casi el s. XIX, el objeto de su estudio fueron los números, las magnitudes y las figuras, una vez separada de algunos de los fenómenos de la mecánica, la música, etc., de que había también tratado. Pero se fue convirtiendo, cada vez más resueltamente, en una doctrina de tipo deductivo hasta abocar modernamente en el estudio de las estructuras (v. más adelante), convertido prácticamente en lo esencial del pensar matemático

Sus principios empíricos fueron los de toda ciencia: la investigación de determinados fenómenos de la Naturaleza de los que, por abstracción, fue obteniendo sus propias leyes. Por eso sus figuras, objeto de la Geometría (v.), no son más que una imagen ideal y abstracta del espacio del Universo, y sus números, objeto de la Aritmética (v.), abstracciones de mediciones y cómputos. No de otro modo se explica la repugnancia con que fueron acogidos los números negativos, cuando fueron introducidos para dar sentido a determinadas operaciones formales; la crítica argumentaba que si eran menores que cero, o sea, según se entendía, menores que nada, no se sabía qué cosa podían ser, puesto que no puede haber cantidades menores que nada. Otro tanto puede decirse de los números imaginarios, de los puntos impropios, etc

Estos ejemplos muestran cómo el operar matemático ha actuado unas veces por sugerencia de problemas y necesidades del mundo externo y otras, en cambio, los problemas se han planteado desde dentro, provocados por la dinámica de la M. misma. De un discurso del prof. Sixto Ríos tomamos algunas notas para presentar un panorama general de la andadura de la ciencia matemática a lo largo de los siglos

II. EVOLUCIÓN HISTÓRICA. 1. La Antigüedad. El primer concepto matemático que surge ya en los pueblos primitivos es seguramente el de número (v.); más en concreto, el de número natural. El hombre lo necesitaba para contabilizar su rebaño o realizar intercambios comerciales. Quizá aparece la primera idea de abstracción al comprender que tres ovejas y tres piedras tienen algo en común. Pero pocas civilizaciones, como la babilónica y la maya, lograron construir un proceso para la enumeración oral y escrita de conjuntos de más de cuatro o cinco objetos

Similarmente a como esta rudimentaria Aritmética resulta un producto del hombre nómada, eJ sedentario da a luz un germen de Geometría, la que le era necesaria para fijación de límites, medición de tierras y aplicaciones a la construcción. Una y otra cosa no pasaban de ser una colección de reglas prácticas para problemas muy concretos; no eran conocimientos sistemáticos y organizados en una forma propiamente científica. Para ello fue necesario llegar a una época en la que el "ocio organizado" permitiera dedicarse a la especulación sin ninguna solicitación de tipo material y aplicado

Es así como se conforma la M. griega, en el seno de una sociedad mercantil y esclavista, a la que no interesa mejorar por perfeccionamientos técnicos el rendimiento del trabajo de los esclavos, y a la cabeza de la cual figura una democracia aristocrática de ciudadanos cuya vida confortable les permite alejarse de la realidad material y despreocuparse de las aplicaciones que la ciencia empírica podía aportar a los problemas de la vida ordinaria. Así, los griegos reciben la herencia de una M. experimental y concreta y elaboran toda una doctrina científica que pasa a ser ya desde entonces M. propiamente dicha. Y la cultivan, no por su utilidad, sino por puro placer intelectual y por el deseo de conocer la Naturaleza

El modelo de la M. griega fue, sin duda, la Geometría. Inventada la demostración, esto es, el modo de obtener por un proceso puramente lógico y no experimental una proposición a partir de otra, se planteaba el problema de poder deducir todas las proposiciones de una teoría a partir de un pequeño número de ellas (V. AXIOMA), acaso obtenidas, éstas sí, de la experimentación. Esta tentación, para la armonía del pensamiento griego, de sistematizar toda una ciencia mediante una tal axiomática, tuvo su cumplimiento en la obra de Euclides (v.), que fue prácticamente hasta el siglo xix toda la Geometría. Quizá trajese también, como contrapartida, que la Geometría hubiera vivido durante todo ese tiempo complaciéndose en la contemplación de su propia perfección, sin acabar de separarse de las bases empíricas que la motivaron y encontrándose, cuando llegó el momento de su crisis, con un menor grado de abstracción del que habían ya conquistado el concepto de número y el Análisis

2. El camino del Análisis. Los mismos griegos habían ya profundizado notablemente en el concepto de número, para ellos todavía expresión de la medida de una magnitud. El Libro V de los Elementos de Euclides presenta, más que un barrunto del número real, una rigurosa elaboración del mismo, equivalente a la que muchos siglos después realizó Dedekind (v.). Aunque abstracto en sí, el número y su aritmética seguía ligado a problemas de aplicación y de resolución de cuestiones técnicas. Toda la M. medieval, que en este terreno puede representarse por la irrupción del Álgebra (v.), mantiene este carácter

Con el Renacimiento (v.) se intensifica el deseo de que la Naturaleza sirva al hombre, lo que implica la necesidad de estudiarla directamente; se intensifican el comercio, la minería y la industria; la observación y la experimentación son el punto de partida para la axiomática, como en la Geometría de los griegos. En ésta la época de Galileo (v.)

El s. xvii marca una revolución en la M., como en el pensamiento científico en general. Quizá el problema más acuciarte era el estudio del movimiento (v.), en el que jugó un papel principal la invención cartesiana de la Geometría analítica (v. GEOMETRíA iv). A su vez, esta Geometría, que permitió dar una interpretación a los nuevos tipos de números y conseguir su aceptación, no justificada solamente por un puro formalismo, fue también el puente de enlace entre las dos ramas matemáticos: la Geometría y la Aritmética, extendida ya hacia el Álgebra y que iba a dar ahora origen a su más potente rama: el Análisis (v.). La introducción y el estudio de la noción de función (v.) y el cálculo infinitesimal (v. CÁLCULO III) supuso una aportación mayor que todo lo que los matemáticos habían hecho hasta entonces

Como es habitual, la creación de un concepto y laconstrucción de un mecanismo formal para desarrollarlo provoca una época de gran florecimiento de resultados y de enriquecimiento de todas las teorías nacidas a su sombra. Es también en ese campo el Siglo de las Luces (v. ILUSTRACIóN) el que se entusiasma con las conquistas de los seguidores de Newton (v.) y de Leibniz (v.), que llevan hasta sus últimas consecuencias los métodos formales de cálculo que aquéllos crearon. Desaparece la preocupación por el rigor ante la abundancia de nuevos hallazgos y la seguridad en la potencia del instrumento. Acaso pueda citarse a Euler (v.) como modelo de ingenio, fantasía y ampulosidad en el tratamiento de todas las materias, y a Lagrange (v.) como la voz sensata que modestamente va, en casos concretos, introduciendo el rigor en cada una de las nuevas lucubraciones

Así se llega al s. XIX y esta preocupación por el rigor se hace general; es preciso retornar a los fundamentos. Es éste el gran siglo del Análisis matemático (v.), en el que queda configurado y reducido a sus límites y organizado con precisión. Termina, justamente, con la axiomatización del número. Y, por fin, se señala ya que la esencia de la M. no está en la naturaleza de los objetos que estudia, sean números, espacios, etc., sino en las relaciones que hay entre esos objetos, los cuales son descritos por algunas de sus propiedades que se toman como axiomas de la teoría. La M., como estudio de estas relaciones, acaba por ser la M. estructural, tal como hoy la pensamos. Pero para ello tenía que pasar primero por la prueba de la crisis de la Geometría

3. Las grandes crisis. Se ha sufrido ya la crisis del Análisis: todo el cúmulo de resultados nacidos al calor de la creación y de la potencia del cálculo infinitesimal, sin atender cuidadosamente a lo que en la base del mismo había, tuvo que ser purgado drásticamente. El s. XIX es el siglo del rigor en el Análisis

Acaece entonces la crisis de la Geometría, el modelo contemplado desde los griegos de lo que tiene que ser una ciencia lógico-deductiva. Si toda proposición debe derivar, a través de un proceso lógico, de aquellas primeras proposiciones admitidas como ciertas -los axiomas (v.)-, la verdad de una proposición estriba en el hecho de que no se haya cometido ningún error en la cadena de silogismos que desde los axiomas conducen hasta ella. La verdad es, pues, simplemente la coherencia lógica interna de todo el sistema

Pero los axiomas no pueden derivarse por demostración de ninguna otra proposición: han de ser admitidos como ciertos sin demostración; como ciertos, dentro de lo que aquí significa verdad: coherencia interna. Esto se confundió con el hecho de pensar que eran tan verdaderos, tan evidentes, que no necesitaban demostración. Ciertamente que Euclides se preocupó de que sus axiomas se ajustasen a observaciones del espacio físico. Si fuesen, entonces, también verdaderos en este sentido de su adecuación al espacio físico, todo lo deducido lógicamente de ellos, esto es, toda la Geometría euclídea, representaría un conjunto de leyes del mismo espacio físico. La Geometría euclídea es, así, la que describe el Universo; sus leyes son, para Kant (v.), juicios a priori. Cualquier Geometría nacida de otros axiomas sería falsa. Tendríamos que decir que sería falsa desde el punto de vista de su adecuación al espacio del Universo. Pero los términos ya se confunden: se piensa que será falsa incluso en su coherencia interna

Esta concepción recibe un duro golpe al comprobarse que con axiomas distintos de los de Euclides se pueden construir otras geometrías (v. LOBACHEVSKI), las que se llamaron no-euclídeas, que en punto a coherencia interna nada dejan que desear a la euclídea (v. GEOMETRÍA v). Esto produce una revolución copernicana en cuanto al entendimiento del espacio y de la Geometría. Ya no se puede confudir coherencia con adecuación a la realidad. Un espacio matemático (v.), el espacio de una Geometría, no tiene por qué ser la representación ideal del espacio físico. Y aunque se sigue pensando que es el espacio euclídeo el que ciertamente se acopla al Universo, cosa que más tarde también se pondrá en duda, al menos la Geometría se aparta ya de su consideración de ciencia natural que hasta entonces prácticamente había tenido, se hace tan abstracta como el Análisis, y la M. en general deja de ser considerada como un cuerpo de verdades relativas a conceptos que representan realidades físicas. El matemático no tiene por qué partir de un conjunto de axiomas que correspondan a un cierto comportamiento observable de la Naturaleza; es libre de introducir conceptos abstractos cuyas aplicaciones no se vean inmediatas, ni aun remotas; y es sorprendente que tal desarrollo resultase extraordinariamente fecundo tanto en la teoría como en las aplicaciones

Llegamos así, con los finales del s. XIX, a la gran crisis de la M., aquella que hace bambolear no ya unos resultados concretos, ni siquiera el entendimiento de una determinada rama, como las citadas, sino los mismos fundamentos de la M. toda

A partir de la aritmetización del Análisis, a que antes se ha aludido, se cimenta en los números reales todo el cuerpo de la M. El esfuerzo de autores como Dedekind (v.), Cantor (v.) y Peano intenta establecer esta fundamentación en el sistema más sencillo de los números naturales. Y al demostrar que éstos pueden ser definidos en términos de la teoría de conjuntos (v.), debida principalmente a Cantor, pasa a ser esta teoría la base de la M. En este punto, cuando parece ya puesto el cimiento de toda la moderna concepción de la M., entran en juego las llamadas paradojas del infinito (v.) y del continuo (v.); en realidad, una transcripción al nivel de las nuevas ideas de clásicas paradojas griegas. Estas paradojas, que muestran la no consistencia de la base conjuntista, producen entre los matemáticos una profunda escisión, por la diferencia de criterios sobre el concepto de su ciencia que las mismas han elevado a conciencia. A este momento de la historia del pensamiento matemático que acaece entre 1900 y 1930, aproximadamente, se le conoce con el nombre de la crisis de los fundamentos

4. Las escuelas. Esta escisión condujo a la formación de diversas escuelas de pensamiento sobre las bases y fundamentos de la M. Las controversias entre unas y otras eran prácticamente la continuación de las que no mucho antes habían enzarzado a Kronecker con Dedekind y, sobre todo, con Cantor. Kronecker sólo aceptaba la definición de un ente matemático si podía ser verificado en un número finito de pasos. Esto le hizo chocar con las concepciones de Dedekind sobre el número irracional y con los problemas del infinito actual que planteaba la teoría de Cantor y que representaban una tendencia totalmente opuesta a la suya en el proceso de la aritmetización de la M

La teoría de conjuntos de Cantor, y, consecuentemente, la de los números transfinitos, que aportaba un campo de investigación enteramente nuevo y apto para satisfacer las mayores exigencias de rigor una vez aceptadas sus premisas, fue acogida finalmente en vista de su enorme importancia para la fundamentación de la teoría de funciones reales.y de la Topología (v.). No obstante, quedaban algunas dificultades de tipo lógico, puestas de manifiesto con la aparición de las paradojas, y esto dio lugar a la creación de las distintas escuelas matemáticas. Aquí la situación fue muy análoga a lo que ocurrió cuando se desarrolló el cálculo infinitesimal. La euforia producida por los nuevos y ricos resultados emanados de la teoría de los números transfinitos hizo que se procediera con escaso espíritu crítico; así surgieron las contradicciones: en realidad, una alarmante llamada al rigor

Lo que las paradojas representan, pues, no es la demostración de la falsedad de toda la doctrina, sino la señal de que algo hay en la teoría que necesita ser aclarado y purificado. En la búsqueda de los nuevos fundamentos aparece, por un lado, la escuela formalista, encabezada por Hilbert (v.) y cuya herencia ha recogido seguramente el grupo Bourbaki (v.). Este formalismo busca una base axiomática para la teoría de conjuntos, análoga a la que servía para la Geometría elemental. Se desinteresa de qué cosa sean los conjuntos, definidos aquí mediante unas determinadas relaciones, los axiomas, que eliminan las situaciones "patológicas" de las paradojas; nada le dice la naturaleza de los entes con que trabaja ni la posible adecuación de sus teoremas a situaciones reales. Sucesivamente va desvaneciéndose la noción misma de conjunto, fuente de todas las polémicas anteriores, para llegar a concebir las estructuras matemáticas como los únicos objetos de la M. Estas estructuras tienen en su origen un cierto contenido intuitivo, pero es precisamente vaciándolas de este contenido como se las hace susceptibles de interpretaciones nuevas. De este modo, la unidad que confieren a la M. no es el esqueleto sin vida de la lógica formal, sino, como dice el mismo Bourbaki, el instrumento que han utilizado todos los grandes pensadores que han tendido a sustituir el cálculo por las ideas (V. t. ESTRUCTURA)

Por el contrario, el intuicionismo, cuyo máximo representante es Brouwer (v.), no quiere renunciar a la intuición (v.) directa de los conceptos matemáticos. Ningún concepto es aceptable si no puede ser construido. Sigue la línea antes trazada por Kronecker y niega el significado de los teoremas de existencia si al mismo tiempo no permiten construir los conceptos en ellos contenidos; de lo contrario, dice, la M. degenera en un juego. De este modo sólo pueden ser considerados aquellos conjuntos definidos mediante una ley que permita obtener tantos elementos como se desee; y si esta construcción ha de ser efectiva, comportará un número finito de operaciones, o al menos ro superior a la potencia de los números naturales. Esto dota de una indudable perfección lógica a la doctrina, pero tiene el grave inconveniente de hacer desaparecer una importantísima parte de los resultados obtenidos por la M. clásica y, por supuesto, de los construidos después

Finalmente, surgió una escuela, el logicismo, cuyo programa fue reducir la M. a la lógica simbólnte en vista de su enorme importancia para la fundamentación de la teoría de funciones reales.y de la Topología (v.). No obstante, quedaban algunas dificultades de tipo lógico, puestas de manifiesto con la aparición de las paradojas, y esto dio lugar a la creación de las distintas escuelas matemáticas. Aquí la situación fue muy análoga a lo que ocurrió cuando se desarrolló el cálculo infinitesimal. La euforia producida por los nuevos y ricos resultados emanados de la teoría de los números transfinitos hizo que se procediera con escaso espíritu crítico; así surgieron las contradicciones: en realidad, una alarmante llamada al rigor

Lo que las paradojas representan, pues, no es la demostración de la falsedad de toda la doctrina, sino la señal de que algo hay en la teoría que necesita ser aclarado y purificado. En la búsqueda de los nuevos fundamentos aparece, por un lado, la escuela formalista, encabezada por Hilbert (v.) y cuya herencia ha recogido seguramente el grupo Bourbaki (v.). Este formalismo busca una base axiomática para la teoría de conjuntos, análoga a la que servía para la Geometría elemental. Se desinteresa de qué cosa sean los conjuntos, definidos aquí mediante unas determinadas relaciones, los axiomas, que eliminan las situaciones "patológicas" de las paradojas; nada le dice la naturaleza de los entes con que trabaja ni la posible adecuación de sus teoremas a situaciones reales. Sucesivamente va desvaneciéndose la noción misma de conjunto, fuente de todas las polémicas anteriores, para llegar a concebir las estructuras matemáticas como los únicos objetos de la M. Estas estructuras tienen en su origen un cierto contenido intuitivo, pero es precisamente vaciándolas de este contenido como se las hace susceptibles de interpretaciones nuevas. De este modo, la unidad que confieren a la M. no es el esqueleto sin vida de la lógica formal, sino, como dice el mismo Bourbaki, el instrumento que han utilizado todos los grandes pensadores que han tendido a sustituir el cálculo por las ideas (V. t. ESTRUCTURA)

Por el contrario, el intuicionismo, cuyo máximo representante es Brouwer (v.), no quiere renunciar a la intuición (v.) directa de los conceptos matemáticos. Ningún concepto es aceptable si no puede ser construido. Sigue la línea antes trazada por Kronecker y niega el significado de los teoremas de existencia si al mismo tiempo no permiten construir los conceptos en ellos contenidos; de lo contrario, dice, la M. degenera en un juego. De este modo sólo pueden ser considerados aquellos conjuntos definidos mediante una ley que permita obtener tantos elementos como se desee; y si esta construcción ha de ser efectiva, comportará un número finito de operaciones, o al menos ro superior a la potencia de los números naturales. Esto dota de una indudable perfección lógica a la doctrina, pero tiene el grave inconveniente de hacer desaparecer una importantísima parte de los resultados obtenidos por la M. clásica y, por supuesto, de los construidos después

Finalmente, surgió una escuela, el logicismo, cuyo programa fue reducir la M. a la lógica simbólica (V. LÓGICA II), concepción sustentada por B. Russell (v.), autor de una de las paradojas que provocaron la crisis. La antinomia (v.) de Russell se refiere a los conjuntos que no son elementos de sí mismos y, después del análisis hecho sobre ellos, podría enunciarse así: "un cierto conjunto es un elemento de sí mismo si, y sólo si, no es un elemento de sí mismo". Ya se entiende que lo que necesita aclaración es la idea misma de conjunto. El modo ideado por Russell para evitar las contradicciones es su teoría de los tipos lógicos. Observa que no todas las entidades lógicas que se manejan son de la misma jerarquía:cuando se utiliza, p. ej., la palabra "todo" en un cierto conjunto de objetos, este conjunto no es del mismo tipo que los objetos mismos. Así, el conjunto de todos los conjuntos es un nuevo tipo de conjunto, de orden superior a los que lo constituyen; y el número de todos los números sería un nuevo tipo de número. Aunque los resultados obtenidos por esta escuela no son, al parecer, totalmente satisfactorios, han servido para revisar la lógica simbólica, cuya algebraización perseguida por Tarski sea acaso la dirección más notable seguida hasta ahora; pero, sobre todo, es indudable que los avances conseguidos con este estudio superan con creces las dificultades y las dudas que el primer planteamiento pudo provocar (v. LóGICA II)

5. Las estructuras matemáticas. Una estructura es un conjunto en el que se han definido unas determinadas relaciones entre sus elementos, elementos de naturaleza, por supuesto, no especificada. A estas relaciones se les atribuyen algunas propiedades que se formalizan mediante un sistema de axiomas. A diferencia de como ocurría en la M. griega, hemos visto también cómo no es esencial que estos axiomas traduzcan determinadas intuiciones o experiencias del mundo sensible; su única limitación es que el sistema de resultados que aparezcan como consecuencias lógicas de tales axiomas no contenga contradicciones internas. Así, el conjunto de todas estas consecuencias, obtenidas de los axiomas, sín introducir ninguna otra hipótesis externa a los mismos, constituye la teoría de la estructura. La M. resulta entonces como un conjunto de estructuras

De cuáles sean las relaciones definidas entre sus elementos dependerá el tipo de estructura. Así, pueden ser operaciones, y se tratará entonces de una estructura algebraica, distinta según las propiedades de esas operaciones; o será una estructura topológica, si las relaciones fueran dadas por una topología; o una estructura diferencial; o una estructura de orden; etc. Al prescindir en sus axiomas de toda referencia al significado intuitivo de los conceptos, se gana en posibilidades de aplicación, que abarcará ahora un campo aún más amplio que el que permitió definirlas, para servir de síntesis a zonas del pensamiento matemático tenidas hasta hace poco por distintas y en las que, sin embargo, se encuentran caracteres comunes. Esta síntesis que busca el esqueleto formal sustentador, según la carne de que se le recubra, de diferentes teorías, hace que se ponga la atención no tanto en la teoría misma, sino en los esqueletos; estos esqueletos son las estructuras

Casi desde comienzos del siglo, han sido dos, siguiendo este punto de vista, las ramas fundamentales que han polarizado todos los incontables resultados obtenidos hasta entonces: el Álgebra (v.) y la Topología (v.); su origen remoto se encontraría en la Aritmética y la Geo-. metría. Todavía hoy, que se han popularizado ya por la sucesiva introducción de esos estudios en los distintos niveles, de arriba abajo, de la enseñanza, se siguen llamando "Matemática moderna". Ésta fue, sin duda, casi toda la M. del primer tercio del s. xx, cuando fue invadida por el Álgebra lineal y la teoría de grupos

Una simbiosis entre ambos tipos de estructuras, iniciada hacia 1935 con la teoría de la cohomología, condujo a la Topología algebraica, de la que Dicudonné ha llegado a afirmar que es el hecho fundamental de este tiempo, el que será destacado por los futuros historiadores de la M. Inicialmente, los métodos y conceptos empleados eran de naturaleza topológica y fueron introducidos para resolver problemas topológicos; luego resultó que en eldesarrollo de estos problemas a la nueva luz surgieron otros de naturaleza algebraica y, así, aquellos problemas que parecían tan complejos fueron contestados por la maquinaria algebraica en términos relativamente sencillos. Los nuevos métodos nacidos de tan fértil colaboración comenzaron a crecer y a reproducirse de modo que resultaban luego aplicables no sólo a cuestiones topológicas, sino, lo que era totalmente inesperado en 1940, a situaciones matemáticas del Álgebra y del Análisis. Hacia mitades de los años cincuenta se produjeron hechos en una doble vertiente: por una parte, el resurgimiento del punto de vista geométrico que iba a llevar a la Topología diferencial, y de otra, la ampliación del camino más algebraico que desembocaría en una especialidad, el Álgebra homológica, que está en trance de ocupar la M. toda

A partir de la 11 Guerra mundial, el progreso de la M., como de las ciencias en general, ha sido vertiginoso; han crecido e incluso nacido ramas enteras de la misma; su desarrollo ha repercutido en muchas otras disciplinas, no sólo en aquellas en las que el fenómeno era ya tradicional, como en las ciencias aplicadas y la técnica, sino en otros campos muy diferentes de la vida cultural, social y económica: psicología, sociología, lingüística, etc.; gran parte de la producción matemática ha partido de puntos radicalmente nuevos, que parecen presagiar otra Era en la historia de la ciencia matemática; finalmente, es destacable también que casi todo el enorme crecimiento así logrado ha sido debido a los propios estímulos internos de la M. más que a las necesidades externas a que había que atender

La tremenda aportación realizada durante los años 1950-70 conduciría a una situación insostenible si no hubiera otra tendencia, además de la de producir nuevos trabajos: la tendencia a la síntesis. Afortunadamente, la diversidad de los nuevos conceptos provoca por reacción un esfuerzo unificador y simplificador, que actualmente busca una nueva "estructuración", la cual habrá de ser aplicable a las antiguas estructuras. Las nuevas estructuras probablemente van a ser las categorías (v. CATEGORíAS II), creadas por Eilenberg y McLane a principios de los años cuarenta, olvidadas durante casi diez años y reencontradas luego, y que parecen repetir sobre un nuevo nivel la historia del Álgebra y la Topología de los años veinte

Las categorías se fijan no sólo en las estructuras antiguas sino, lo que es más importante, en las aplicaciones o correspondencias (v.) propias de las mismas: homomorfismos entre estructuras algebraicas, aplicaciones continuas entre espacios topológicos, etc. Una categoría aparece así como un conjunto de estructuras y el conjunto de sus aplicaciones propias o morfismos. Lo importante, ahora como antes, es establecer relaciones entre distintas categorías, es decir, correspondencias propias entre ellas. Esas correspondencias son los Íunctores que transforman las estructuras de una categoría en las de la otra y los morfismos en los morfismos. Esta teoría de categorías y functores es posiblemente el pilar en que se asienta la M. de hoy (V. ÁLGEBRA; LÓGICA III)

6. Previsiones posibles. No es fácil, a la vista del crecimiento de la producción matemática, y pese a la tendencia sintetizadora que hemos puesto de relieve, predecir las vías que la M. va a seguir. Parece que la axiomatización de una teoría ha de conducir a su logificación, esto es, al estudio de la estructura formada por la sucesión de razonamientos dentro de esa teoría. Se llegaría así a una meta-matemática, puesto que la esencia y la organización - misma de la M. sería ya el objeto del estudio; pero en realidad en esta reflexión "meta-matemática" tendría que emplearse lenguaje matemático, por lo que podría ser considerada como un capítulo de la M. Aparte de esa visión extramatemática, es indudable que el cultivo de las actuales teorías solamente, sin pensar en las que todavía pueden construirse, abre un panorama inmenso de desarrollo que más bien amenaza con una "superpoblación". Pensemos en un ejemplo, el de la Geometría algebraica a partir de los trabajos de Grothendieck: dice Dieudonné que varias generaciones de matemáticos pueden cifrar la misión de sus vidas en explorar todas las fascinantes posibilidades de este vasto territorio. Piénsese también en el lugar nuclear que va ocupando el Análisis funcional. Pero vamos a detenernos brevemente en una faceta dejada al margen en las últimas observaciones

La aparición, hacia los años cuarenta, de los ordenadores (v. CALCULADORAS, MÁQUINAS) provoca una auténtica revolución, tan importante en la M. como pudo ser el invento de las cifras o, en el campo de la cultura en general, la introducción de la escritura o la invención de la imprenta. Desde nuestro punto de vista, cada vez tienen más acceso al cálculo numérico ramas del Análisis que parecían alejadas de las aplicaciones, a la vez que, como contrapartida, se van creando a su alrededor nuevas teorías analíticas de las que, todavía, apenas se puede decir algo

Cierto que la M. va a ser sólo una de las zonas a tratar por la informática (v.), cuyo desarrollo va a desembocar quizá en una nueva era cultural, pero es labor del matemático poner a disposición de quienes hayan de usarlos los instrumentos oportunos para realizar estudios en otras áreas, sin inmiscuirse en lo que es propio de éstas, del mismo modo que el geómetra presenta al físico modelos de espacios matemáticamente estudiados, sin decidir cuál es el apropiado para explicar la teoría del físico. Quizá en un futuro muy próximo de la automática (v.) se llegue a la formación de un especialista "multivalente" con aptitudes para cada una de las componentes del problema, o a un equipo en el que formen parte el matemático, el físico, el especialista en electrónica, etc. Al matemático corresponderá siempre, aun cuando se trate de disciplinas muy distintas de la suya, construir los modelos teóricos a través de los cuales haya de realizarse el estudio. En ese sentido suele decirse que la M. es el lenguaje de la ciencia

Por lo demás, parece claro que en este terreno de la M. aplicada, beneficiada por la revolución de las calculadoras, van a conocer un gran progreso distintas técnicas ya actualmente en pleno crecimiento, como son: las técnicas de la aproximación, que permiten el paso del Análisis clásico al discreto, con dominio de aplicación primordialmente en la mecánica y en la Física; las técnicas aleatorias, con numerosas aplicaciones en Física, Biología o Economía; las de optimización; etc

No se pueden terminar estas reflexiones sin un profundo acto de fe en la unidad de la M. La exposición de las distintas partes de la misma puede crear una impresión de atomización, mucho mayor a la vista de su enorme expansión en distintas direcciones. Pero, como se ha visto, hay una unidad estructural que las comprende, y hasta se prevé para muy pronto una unificación de las tendencias abstractas y aplicadas, al igual que en épocas anteriores, hasta constituir lo que algún autor ha empezado a llamar ya M. universal

III. METODOLOGIA. 1. Axiomas, definiciones, deducción y teorías. Siendo la M. una ciencia deductiva, cada una de sus ramas está constituida por un conjunto de proposiciones, obtenida cada una, por un proceso de deducción (v.), de otra u otras proposiciones de la misma teoría. Siguiendo, al revés, un camino ascendente y pasando así de cada proposición a aquella o aquellas de las que se deduce, se habrá de llegar forzosamente, si se ha de evitar el círculo vicioso, a unas primeras proposiciones, no deducidas de ninguna otra y de las cuales se deducen por un proceso lógico todas las demás. Esas proposiciones se llaman los axiomas (v.) o postulados de la teoría en cuestión. Los axiomas no se demuestran sino que se eligen o postulan como proposiciones básicas de la teoría, la cual consta de todas las que se pueden obtener de los mismos mediante un proceso deductivo. Evidentemente, una teoría (v.) puede ser desarrollada a partir de sistemas distintos de axiomas; los axiomas de un sistema serán, respecto del otro sistema, proposiciones probadas a partir de los de éste. Todavía algunos autores hacen distinciones entre postulados y axiomas, pero, en general, son tomados como términos sinónimos y no vamos a entrar en esa discusión

Elegido un sistema de axiomas, cada una de las proposiciones que de ellos se va lógicamente deduciendo es un teorema; cada teorema se apoya, pues, directamente en los axiomas o en otros teoremas obtenidos de ellos. Un teorema que se obtiene directamente de otro, como consecuencia inmediata, se dice que es un corolario de éste. Suele darse también el nombre de lema a un teorema que sirve de preparación a otro, por hacerse uso en la demostración de éste de los resultados obtenidos en el lema

Ya hemos observado la diferencia que existe entre la axiomática de Euclides; en la que los axiomas eran sugeridos por propiedades del espacio material, y la axiomática formalista que no exige una llamada a la intuición inmediata. Esto se traduce de un modo muy claro en el mismo establecimiento de las definiciones. Una definición (v.), dicho sea de un modo simplista, no es más que el hecho de poner nombre a un determinado concepto. Pues bien, para Euclides, que intenta idealizar el espacio material, las definiciones son meras descripciones de objetos previamente conocidos por la experiencia u observación; cuando define una recta diciendo que "es la línea que yace igualmente respecto de todos sus puntos", no hace más que describirla, decir al lector cuál de las líneas que conoce es una recta, e inmediatamente se desentiende de tal definición y no vuelve a emplearla en toda la obra; y si utiliza después propiedades de la recta, de ningún modo quedan éstas implícitas en la definición. Dar hoy una definición matemática, por el contrario, de ningún modo es describir un objeto, ni siquiera preocuparse de si aquel objeto existe; los objetos matemáticos son definidos precisamente por sus propiedades, y cada vez que queramos hacer aparecer a tal objeto en el transcurso de la teoría, de lo que tendremos que cuidar es de comprobar que se cumplen las condiciones que la definición exige. Cuando se dice que un grupo (v. GRUPOS, TEORíA DE) es un conjunto más una operación definida entre sus elementos, que verifica determinadas propiedades, si en algún momento hemos de afirmar después que algo es un grupo, habremos de comprobar ineludiblemente que se cumplen las propiedades dichas en la definición. A veces suele llamarse a esas propiedades los "axiomas del grupo",MATEMÁTICA III - IVo del objeto en cuestión; ya se comprende que la palabra axioma está empleada en otro sentido que antes, o bien conduce a una teoría particularísima

2. Cuestiones didácticas. Estas observaciones pueden hacer entender el mayor grado de abstracción que la M. actual tiene respecto a la clásica. No obstante, es bien sabido que lo que en una época es un concepto sumamente abstracto puede ser un lugar común en la siguiente, y para un matemático de hoy, tan intuitiva es la idea de grupo como la de triángulo; y, por supuesto, tan clásica. Pero puede plantearse, y de hecho se ha planteado, un problema complejo cuando se quiere llevar esta concepción de la M. al campo de la enseñanza. Es justificado que haya una tendencia universal a ir implantando los métodos de la M. actual en los distintos niveles de enseñanza, puesto que el progreso acelerado de la ciencia exige imperiosamente una revisión periódica y una puesta al día en las diversas materias. Esto conduce a tener que abandonar, por una parte, un cierto número de nociones, quizá útiles todavía, pero menos que otras, y por otra, a buscar una mayor eficacia y economía en el agrupamiento de nociones, y esto precisamente viene a favorecer la introducción de las técnicas modernas de la M. Por otro lado, esta orientación, aun en niveles bajos de enseñanza, puede ser t..ds formativa que las meras técnicas elementales de cálculo de la enseñanza clásica

El problema didáctico que la actual abstracción plantea es que una exposición crudamente axiomática de la teoría resulta prácticamente inabordable para el principiante. Ahora bien, históricamente, los axiomas no han surgido como puro capricho de uno o más autores, sino como cristalización de propiedades suministradas por la intuición. Entonces, parece que el camino a seguir es el de la construcción de las definiciones a partir de modelos concretos proporcionados por la experiencia, no una seca enunciación axiomática. En este camino de buscar situaciones habituales y sencillas que nos provean de modelos cómodos para llegar a mayores abstracciones, lo que se ha venido a llamar "pedagogía de la situación", se han hecho estupendos esfuerzos y se ha llegado a resultados verdaderamente ingeniosos y útiles. Nombres como los de Papy, Revuz o Fletcher, son hoy conocidos de todos los cultivadores de la M. a nivel de enseñanza media

En España fue seguramente pionero en esta preocupación por una presentación gratamente didáctica de la ciencia el fallecido prof. Puig Adam. Cuando llegó el momento de enfrentarse con la cuestión de renovación de los programas y de las orientaciones de la M. del Bachillerato, se constituyeron comisiones oficiales, en conexión con la OCDE, presididas por el prof. Abellanas, las cuales han venido editando libros piloto para los distintos cursos del Bachillerato, que sirvieron de modelo para el cambio de cuestionarios y para la composición por autores particulares de textos que respondieran a ellos

IV. PUBLICACIONES Y REVISTAS. Ante el cúmulo inmenso de trabajos que día a día enriquecen ta producción matemática, sería inútil buscar un título que englobase todo el conocimiento actual. Ciertamente se han realizado ensayos de composición de una Enciclopedia matemática que produjeron en su tiempo buenos frutos, pero hoy día está totalmente rebasada y, sobre todo, el movimiento vital es tan grande que sería difícil tener actualizada una obra de esta envergadura cuando no sedispone de perspectiva para encuadrar en cada momento los resultados fundamentales que se van obteniendo. Una solución sería no pretender recoger toda la literatura producida, sino buscar una exposición sistemática de toda la base. En ese sentido, es de elogiar el esfuerzo serio y potente que desde 1930 y ss. está realizando el grupo francés constituido en torno al nombre ficticio de Nicolás Bourbaki (v.) que emprendió la elaboración de los Éléments de Mathématique con el propósito de en- . marcar toda la M. en el molde de la teoría de estructuras. Pese a todo, su programa, que partía de una cimentación rigurosa de todos los fundamentos, ha tenido que ser periódicamente revisado, modificando en cada reedición los volúmenes anteriores, y está aún lejos de ser completado

Es más factible recoger en volúmenes monográficos la literatura referente a cada uno de los temas de mayor interés. En este sentido la firma alemana Springer edita una colección, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, donde especialistas de cada materia presentan unificado el panorama de lo más descollante producido en ella. Y recientemente, la firma angloamericana Academic Press ha emprendido la publicación de unos Advances in Mathematics en los que se expone el estado actual de teorías en general muy concretas de cada una de las ramas de la M. Muy interesantes, porque van dando noticia recientísima, a medida que va construyéndose, de cada teoría, son las publicaciones informales, multicopiadas, de los distintos Seminarios de la Facultad de Ciencias de París; en ellos están, a veces, las cuestiones todavía en fase de elaboración, pero allí aparece a lo vivo la M. que se está haciendo. Algo parecido puede decirse de la colección Lecture Notes in Mathematics, de Springer

La cita de libros, generales o específicos, sería interminable. Acaso sea más interesante una pequeña relación de colecciones, bien que los textos que las componen sean de una total variedad en los temas tratados. La misma casa Springer publica la llamada "Colección amarilla" bajo el título genérico de Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Clásica es también la edición de Hermann, París, de las Actualités Scientifiques et Industrielles, dedicadas a todas las ramas de la ciencia pero entre las que hay importantes obras matemáticas, entre ellas la misma producción de Bourbaki. Importantes son también las colecciones norteamericanas Princeton Mathematical Series, de la Univ de Princeton, y Colloquium Publications, de la American Mathematical Society. Finalmente, hay numerosas editoriales que dedican buena parte de su producción a textos matemáticos. Citemos como ejemplo: Gauthier-Villars y Dunod en Francia, y las angloamericanas Academic Press, Interscience, McGraw Hill, Van Nostrand y Addison-Wesley

De enorme importancia es el papel desempeñado por las revistas matemáticas en las que los autores van publicando los resultados de sus investigaciones. Para facilitar el conocimiento de cuanto se va obteniendo en cada una de las zonas de investigación, se publican revistas de recensiones, en las que cada trabajo va resumido y juzgado por un especialista en la materia; las más importantes son la americana "Mathematical Reviews", la alemana "Zentralblatt für Mathematik", y la rusa "Matetematicheski sbornik". En cuanto a revistas propiamente de investigación, son numerosísimas; unas sin especialización por una parte concreta de la M. y otras dedicadas precisamente a alguna especialidad. Entre las primeras, algunas son universalmente conocidas, como: "Transactions of the American Mathematical Society", "Annals of Mathematics", "American Journal of Mathematics", "Mathematische Annalen", "Journal de Crelle", etc

En España, la Real Sociedad Matemática Española publica dos revistas, la "Rev. Matemática Hispano-Americana", dedicada a temas de investigación, que nació en 1919 como heredera de la "Rev. de la Real Soc. Matemática Española", y que va actualmente por la cuarta serie, y la "Gaceta Matemática", destinada a temas más elementales y de didáctica y que ha sucedido, desde 1949, a la anterior "Matemática Elemental". A partir de 1948 se viene publicando en el Seminario matemático de la Facultad de Ciencias de Barcelona la "Collectanea Mathematica", de elevado nivel de investigación. Hay también artículos matemáticos en ediciones periódicas de revistas de las Academias de Ciencias

V. t.: INVESTIGACIÓN I; LÓGICA II-III; CIENCIA

JOSÉ J. ETAYO.

BIBL.: N. BOURBAKI, Éléments d’histoire des mathématiques, París 1960; D. J. STRUIK, A concise history of Mathematics, Nueva York 1948; O. BECKER, 1. E. HOFMANN, Geschichte der Matematik, Bonn 1951; J. REY PASTOR, J. BABINI, Historia de la Matemática, Buenos Aires 1952; E. T. BELL, Los grandes matemáticos, Buenos Aires 1948; J. R. NEWMAN, The World of Mathematics, 4 vol., Nueva York 1956 (antología de textos); J. DIEUDONNÉ, Recent Developments in Mathematics, "American Mathematical Monthly", 71 (1964); J. J. ETAYO, La obra matemática de Bertrand Russell, "Gaceta Matemática", 22 (1970) 3-10; J. KUNTZMANN, Oú vont les mathématiques?, París 1967; S. Ríos, El matemático en la era tecnológica, Madrid 1970