Lie, Marius Sophus

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Biografía GER

Matemático noruego n. en Nordfjordejdet el 17 dic. 1842 y m. en Oslo el 18 feb. 1899. La principal aportación de L. a la Matemática se centra en la teoría de los grupos continuos de trasformaciones que pasamos a explicar brevemente.

Sean

x’i=fi(xl, ..., xn ñl, . ., Ár),n(1) n funciones de las variables

XI, ..., x?

y los parámetros

tales que se puedan despejar XI, ..., x, en función de

x’1, ..., x’nYXI,., Ár.

Dando a los parámetros unos valores determinados Á1 =al, ..., ñr=ar

se obtienen las n ecuaciones siguientes

x’i=fi (XI, .., xn,al, .. ., ar),i=1, . . , n(2) de las que se dice que constituyen una trasformación (v.) de las variables

XI, ..., xn

en las variables

X’1l..., X ,I.

Cuando despejamos

XI, ..., xn

en función de

x’1, ..., Xn

y los parámetros, obtenemos la llamada trasformación inversa de la (2).

Dando a los parámetros otros valores k1=bl, ..., Ár=br obtenemos otra trasformación, que escribiremos en la forma

xi’=fi(Xl, ..., Xn, bl, ..., br),i=1, . ., n(3) La trasformación producto de (2) por (3) es, por definición, la que resulta de eliminar

x’1, .... x’n

entre (2) y (3).

Supongamos que las funciones f i cumplen las siguientes condiciones: 1) Son continuas en las variables y los parámetros. 2) Para cualesquiera dos conjuntos de valores

al, ?, arYbl, . ., br

de los parámetros, el producto de la trasformación (2) por la (3) es una trasformación del tipo

X’i=fi (XI, ..., xn, ct, ..., cr)i=1, .. , n(4)

donde

CI, . ., cr

son funciones de

al, ..., ar, bl, ..., br

exclusivamente. 3) Existe un conjunto de valores de los parámetros tal que la trasformación correspondiente es

x’i=xii=1, ..., n(5) 4) Para toda trasformación determinada por un conjunto de valores de los parámetros, la trasformación inversa es de la forma siguiente:

xi=fi (x’I, ..., x’n, di, . ., dr),i=1, .. , n(6)

donde

dl, ., dr

dependen solamente de los valores de los parámetros de la trasformación dada.

Verificándose estas cuatro condiciones se dice que el conjunto de las trasformaciones determinadas por todos los conjuntos posibles de valores de los parámetros es un grupo continuo de trasformaciones con r parámetros.

Sea un grupo continuo de trasformaciones con un parámetro y dos variables y sea

x’i=fi(xl,.x2, x)i=1, 2(7) una trasformación del grupo. Designemos por a al valor del parámetro tal que la trasformación correspondiente es

X i=xi.

Desarrollando las dos funciones (7) por la fórmula de Taylor (v.) obtenemos

fi(xi, x2, a+dX)=fi(xl, x2, a)+ati 1ax]da(8) =a Escribiendo

Xi=fi(xl, x2, a+dx),dx¡=x’i-x¡ y teniendo en cuenta que

fi(XI, x2, a)=xi

(8) se trasforma en

afi

dxi= [ aX I- d~(9) a

que constituye lo que se llama una trasformación infinitesimal. Esto puede generalizarse a grupos con un parámetro y un número cualquiera de variables.

Lie demostró que a un grupo continuo con un parámetro puede asociarse una única trasformación infinitesimal y recíprocamente. La aplicación más importante de esta teoría se realiza en el campo de las ecuaciones (v.) diferenciales. Consideremos una ecuación diferencial de variables separadas. L. dio un método de construir las trasformaciones infinitesimales que dejan invariante una ecuación de este tipo. Construyendo los correspondientes grupos continuos de un parámetro se puede estudiar la ecuación diferencial mediante éstos. Así, L. intentó construir para las ecuaciones diferenciales una teoría análoga a la de Galois (v. ÁLGEBRA, II) para las ecuaciones algebraicas, intento que no logró plenamente.

V. t.:ÁLGEBRA;ECUACIONES;TRANSFORMACIÓN (Matemáticas); GRUPOS, TEORÍA DE.

L. VICENTE CÓRDOBA.

BIBL.: M. NOTHER, Sophus Lie, "Math. Annalen", 53, 1900, 1-4l. l.